§ 5. Физические основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики
В условиях задач этого раздела температура задается в градусах Цельсия. При проведении числовых расчетов необходимо перевести температуру в градусы Кельвина, исходя из того, что 0° С = 273° К. Кроме того, необходимо также представить все остальные величины в единицах системы СИ. Так, например, 1л = 10~J м"; L\R' = 10б CMj = 109 мм\ Если в задаче приведена графическая зависимость нескольких величин от какой-либо одной и при этом все кривые изображены на одном графике, то по оси у задаются условные единицы. При решении задач используются данные таблиц 3,6 и таблиц 9—11 из приложения.
5.1. Какую температуру Т имеет масса /и = 2 г азота, занимающего объем V = 820 см3 при давлении р = 0,2 МПа?
Решение:
Температуру азота можно определить из уравнения
Менделеева — Клапейрона pV = — RT, откуда
М
температура азота Т = ^^. Молярная масса азота
mR
// = 0,028 кг/моль. Подставляя числовые данные, получим
У _ 0,2-106 820-10"6 -0,028 _2§ок или Т = 1°С. 2-Ю"3.8,31
5.2. Какой объем V занимает масса /и = 10г кислорода при давлении р = 100 кПа и температуре t = 20° С? Решение:
Выразим объем кислорода из уравнения Менделеева —
Клапейрона pV- — RT, откуда V = . Молярная
И VP
масса кислорода р — 0,032 кг/моль. Подставляя числовые
т/ 10"2 • 8,31 • 293 _ , 1Л_3 з
данные, получим V = =— = 7,6 • 10 м .
0,032-105
5.3. Баллон объемом V = 12 л наполнен азотом при давлении р = 8,1 МПа и температуре t = 17° С. Какая масса т азота находится в баллоне?
Решение:
Массу азота можно выразить из уравнения Менделеева —
in р Vli
Клапейрона pV = — RT, откуда т = — . Молярная
р RT
масса азота р = 0,028 кг/моль, т = 1,13 кг.
5.4. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t{=TC было рх = 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке р = 130 кПа?
Решение:
гр гр
По закону Шарля = отсюда Т2 7; =280 К,
Р2 Т2 Pi
р{ =105Па; Т2 =364 К.
5.5. Каким должен быть наименьшей объем V баллона, вмещающего массу m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре t - 20° С выдерживают давление р = 15,7 МПа?
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV =
= — RT, откуда V - т^ . Молярная масса кислорода
М MP
р = 0,032 кг/моль, Т = 293 К. Тогда V = 31 л.
5.6. В баллоне находилась масса /л, = 10 кг газа при давлении =10 МПа. Какую массу Am газа взяли из баллона, если давление стало равным р2 =2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для
P\V\ Щ П /14 первого СОСТОЯНИЯ =—І-Д (L)S ДЛЯ второго
т Р
состояния 2 = — R — (2). Разделив (1) на (2), получим Т М
п у YYi
1 ' =—Поскольку объем баллона не изменяется, то
РтУг mi
Р\ Щ Р\ т\ р, - р2 — = —L или -?-L = !—; = ———, откуда
р2 т2 р2 т{ + Ат тх рх
Ат=М^-р^;Ат = 7,5 кг. Р)
5.7. Найти массу т сернистого газа (S02), занимающего объем К =25 л при температуре f = 27°C и давлении р = 100 кПа.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV
=—Л7\ откуда т = Г = 300К; Г = 25-10_3м3. Мо-
р RT
106
лярную массу данного вещества можно определить по формуле и = М,.к — (1), где Мг — относительная
молекулярная масса вещества; к = 10~3 кг/моль. Относительную молекулярную массу найдем из соотношения Mr = ^ntAr,, — (2), где и, — число атомов
і-го химического элемента, входящих в молекулу данного вещества; АГ1 — относительная атомная масса і-го
химического элемента. В нашем случае для сернистого газа формула (2) примет вид Mr = nsAr s + п0АГ 0, где ns = 1
(число атомов серы в молекуле сернистого газа); nQ - 2 (число атомов кислорода в той же формуле); Ar v и Ar 0 — относительные атомные массы серы и кислорода. По таблице Д. И. Менделеева найдем Аг н= 32, Аго=\6.
После подстановки в формулу (3) значений ns, п0, Ar s и
Аго получим Мг-1-32 + 2-16 = 64. Подставив это
значение относительной молекулярной массы, а также значение к в формулу (1), найдем молярную массу
сернистого газа: ц = 64 • КГ3 кг/моль. Тогда т = 65 г.
5.8. Найти массу т воздуха, заполняющего аудиторию высотой h = 5 м и площадью пола S = 200 м2. Давление воздуха /? = 100кПа, температура помещения t = \l°С. Молярная масса воздуха // = 0,029 кг/моль.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV =
=—RT, откуда т = ^ ^ . Объем комнаты V = hS . Тогда ju RT
масса воздуха т = ВЮі • j = 290 К; m = 1,2 т.
RT
5.9. Во сколько раз плотность воздуха рх, заполняющего помещение ЗИМОЙ (FJ = 7° С), больше его плотности р2 летом (t2 =37° С)? Давление газа считать постоянным.
Решепие:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для
PV\ т п /14
первого СОСТОЯНИЯ -?—!- = —R — (1), для второго
М
X) V 171
состояния =— R — (2). Разделив (1) на (2), при Т2 М
Vx mi р] Р-, р, Т->
р = const имеем —— — —- = — = —, откуда — = —,
Т2 V2 m/p2 pi р2 Тх
где Тх =280К; Т2 =310К. Тогда рх /р2 =1,1. ¦
5.10. Начертить изотермы массы /« = 0,5 г водорода для температур: а) /, = 0° С; б) /2 = 100° С.
Решение:
Р, Па
0 4-і—і—і—п—і—і—і—і—і і і—і—і—і і і—і—ті
15 30 45 60 75 90 а) Из уравнения Менделеева —Клапейрона найдем pV =
= — RTx; pV = 567 Дж. Зависимость давления р от объема Р
V выражается соотношением p-S61/V. 198
б) Из уравнения Менделеева — Клапейрона найдем pV = т
= — RT2; pV = 775 Дж. Зависимость давления р от объема М
115
V выражается соотношением р=—р~-
5.11. Начертить изотермы массы /?? = 15,5г кислорода для температур: a) tx = 39° С; б) t2 =180° С.
Решение:
а) Из уравнения Менделеева —Клапейрона найдем pV = ~{пг/p)RTx; pV = 1255 Дж. Зависимость давления р от объема V выражается соотношением р = 1255/ V.
б) Из уравнения Менделеева — Клапейрона найдем pV = = (777 / P)RT2 ; pV = 1823 Дж. Зависимость давления Р от объема V выражается соотношением р = 1823 / V.
5.12. Какое количество v газа находится в баллоне объемом V = 10 м" при давлении р =96 кПа и температуре t = 17° С? Решение:
Число молей газа определяется следующим соотношением
v = — . Тогда уравнение Менделеева —Клапейрона мож- М
но записать в виде pV =—RT = vRT, откуда v = .
р RT
Здесь Т = 290 К. v = 0,4 кмоль.
Массу 777 =5 г азота, находящегося, в закрытом сосуде объемом V = 4 л при температуре tx = 20° С, нагревают до температуры t2 = 40° С. Найти давление рх и р2 газа до и после нагревания.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV =
= — RT. По условию /77 = const, тогда для первого состоя- М
ния рух = — RT{i для второго состояния p^V-i^ — RTj, р ~ р
mRT, mRT-y „
откуда р\ = L: /?-> = . Подставляя числовые
pV ~ pV
данные, получим ^ = 108 кПа; р2 =116 кПа.
Посередине откачанного и запаянного с обеих концов капилляра, расположенного горизонтально, находится столбик ртути длииой / = 20 см. Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на Д/ = 10 см. До какого давления р0 был откачан капилляр? Длина капилляра L = 1 м.
Решение:
Объем воздуха с каждой стороны от столбика ртути при горизонтальном положении капилляра: V0=Sh, где 200? у,і р, 1 к Рг h+AI
h-Ы
S — площадь поперечного сечения капилляра, КРО 'ШШ h = ~ м- Давление
в этом положении равно р0. При вертикальном положении капилляра объем воздуха в его верхней части Vx=S(h + Al), давление равно рх. Т. к.
Т = const, то по закону Бойля — Мариотта F0/?0 = Vx рх или
hp0=p{(h + Al) — (1). Давление р2 в нижней части
капилляра складывается из давления воздуха р{ и
давления столбика ртути р. Тогда для нижней части
капилляра hp0 = + p)(h - А/) — (2). Решая совместно
m „ p{h-Al){h + Al)
уравнения (1) и (2), найдем р0=— — В
2hAl
условиях данной задачи /? = 200 мм рт. ст. =26,6кПа. Отсюда р0 = 50 кПа.
5.15. Общеизвестен шуточный вопрос: «Что тяжелее: тонна свинца или тонна пробки?» На сколько истинный вес пробки, которая в воздухе весит 9,8кН, больше истинного веса свинца, который в воздухе весит также 9,8кН? Температура воздуха / = 17° С, давление /? = 100кПа.
Решение:
На тела, находящиеся в воздухе, действует выталкивающая сила Архимеда FA = pgV, где р — плотность воздуха, V— объем тела. Т.е. тело теряет в весе столько, сколько весит воздух в объеме данного тела. Объем свинца Ух-пг/ р{. Воздух в данном объеме весит mxg. Согласно
201? уравнению Менделеева — Клапейрона р Vx = — RT, отку-
Р
да 777, Тогда тт?, g = = . Объем пробки
1 Д77 1 ДГ Р
= —. Вес воздуха в данном объеме 77?, ? = . Ис-
тинный вес свинца Pl=g(m + mx)i истинный вес пробки
1 1
КР2 Pi J
Ґ 1 і Л
Р2 = g(/7? + 7772 ). Тогда АР = g(m2 - тх) =
RT АР = 58,6 Н.
5.16. Каков должен быть вес р оболочки детского воздушного шарика, наполненного водородом, чтобы результирующая подъемная сила шарика F = 0 , т.е. чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и водород находится при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно внешнему давлению. Радиус шарика г = 12,5 см.
Решение:
Результирующая подъемная сила F = mxg- (m2g + Р), где тх — масса воздуха в объеме шарика, т2 — масса водорода в объеме шарика. Так как F = 0, то Р = g(rnx - т2). Из
уравнения Менделеева — Клапейрона найдем т = "^^г • Тогда P = = -//,); Р = 96 мН.
5.17. При температуре / = 50° С давление насыщенного водяного пара р = 12,3 кПа. Найти плотность р водяного пара.
Плотность вещества определяется соотношением =
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV =
т пгг pVp „
= — RT, откуда т=- . Тогда плотность водяного пара
р RT
р = —; р = 0,083 кг/м3. н RT
5.18. Найти плотность р водорода при температуре t = 10° С и давлении р = 97,3 кПа.
Решение:
Т = 288 К. Плотность вещества определяется соотношением р = -р-. Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV = — RT, откуда m . Тогда плотность водо- р RT
рода р = — \ /? = 0,081 кг/м3. RT
5.19. Некоторый газ при температуре / = 10° С и давлении р - 200 кПа имеет плотность р = 0,34 кг/м3. Найти молярную массу // газа.
Решение:
Г = 283 К. Согласно уравнению Менделеева — Клапей-
т, m mRT тт m
рона pV = — RT, откудар . Но — = р, отсюда
р pV V
= р = 0,004 кг/моль.
Р
5.20. Сосуд откачан до давления р = 1,33 • 10"9 Па; температура воздуха t = 15° С. Найти плотность р воздуха в сосуде.
Решение:
Т - 288 К. Плотность вещества определяется соотношением С°гласко уравнению Менделеева — Клапейрона pV = — RT, откуда m = ^ . Тогда плотность р RT
воздуха р = р-1,6-10"14 кг/м3. RT
5.21. Масса m = 12 г газа занимает объем V = 4 л при температуре /, = 7° С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной р = 0,6 кг/м3. До какой температуры t2 нагрели газ?
Решение:
Запишем уравнение состояния газа до и после нагревания
pV{ = ™RTx — (1); pV,= — RT, — (2). Поскольку М Р
„ m р RT,
V2 =—, то (2) можно переписать: — =—откуда
Рг Рг М
— (3). Давление р найдем из (1): р-1—^-. p2R pVx
J1
Подставив данное выражение в (3), получим Т2 = L*
ViPi
Р ст 204
5.22. Масса w = 10r кислорода находится при давлении г =304кПа и температуре г, =10° С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объ-
Т2 = 1400 К.? ем V2 =10 л. Найти объем Vx газа до расширения, температуру іt2 газа после расширения, плотности рх и р2 газа до и после расширения.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона уравне-
т
ние состояния газа до нагревания pxVj = — RTX; после на-
М
гревания p^V-y - — RTПо условию рх = р2= р\ отсюда М
Fj =2,4-10~3 м3; А = 4,14 кг/м3;
рр RTX
Г2=^,7І=1170К; А =1 кг/м3.
mR RT-у
5.23. В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление р и плотность
р водяного пара при температуре / = 400° С, зная, что при этой
температуре вся вода обращается в пар.
Решение:
В начальном состоянии плотность воды рх = m/Vx. После
т т-т ТГ ЛГГ 1
нагревания р2 = — .По условию V2 =2Fl9 тогда р2 = — рх;
V2 2
р2 =500 кг/м . Запишем уравнение состояния водяного
т т
пара при Г = 673К: p2V2 = — RT или 2 p2Vl=—RT.
р р
Поскольку Vx = —, то р2 = ; р2 = 155 МПа. А 2М
5.24. Построить график зависимости плотности р кислорода: а) от давления р при температуре Т = const = 390 К в интервале
О < р < 400 кПа через каждые 50 кПа; б) от температуры Т при р = const = 400 кПа в интервале 200 < Т < 300 К через каждые 20К.
Решение:
Воспользуемся формулой, полученной в задаче 5.17: рц
р . Молярная масса кислорода р = 0,032 кг/моль. RT
а) При Т = const = 390 К: р » 10~5 • р ; 5,0 4,0- 3,0 - 2,0 - 1,0 - 0,0
р,кг/м:
/?, кПа
і і 1 і 1 ¦ і « і і
0 50 100 150 200 250 300 350 400 р, кПа 0 50 100 150 200 250 300 350 400 А кг/м3 0 0.5 1 1,5 2 2.5 3 3,5 4
б) При р - const = 400 кПа: р = 1540/7\ 10-1 р, кг/м" 6 4 - 2 -
0
Г, К 1
—г~
280
200
260
300
220
240
Т, К 200 220 240 260 280 300 р, кг/м3 7,70 7.00 6,42 5.92 5,50 5,13
5.25. В закрытом сосуде объемом V -1 м3 находится масса щ = 1,6 кг кислорода и масса т2 = 0,9 кг воды. Найти давление р в сосуде при температуре t = 500° С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.
Решение:
По закону Дальтона р = р{ + р2, где, согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, р1 = — парциальное
Р\У
т RT
давление кислорода р{ = 0,032 кг/моль. р-> - — пар-
p2V
циальное давление водяного пара р2 = 0,018 кг/моль. От ( \ 11Ц т2
RT
сюда р =
V
; /> = 640кПа. В сосуде 1 объем V\ = 3 л находится газ под давлением рх = 0,2 МПа. В сосуде 2 объем V2 = 4 л находится тот же газ под давлением р2 = ОД МПа. Температуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким давлением р будет находиться газ, если соединить сосуды 1 и 2 трубкой?
Решение:
По закону Дальтона р-р[ + р'2, где р[ и р2 — парциальные давления газа после соединения сосудов. По закону Бойля — Мариотта р\ (vx + V2) = P\V\'» Pi fa + У і) = РУ г
P\VI . Г P2V7 Р\У\ + PlV2
отсюда P\ = ' ; p7 = 1 1 ; p = 1—.
Fx yx+v2 F2 Vl+V2 У Vx + V2 Подставляя числовые данные, получим: р -140 кПа.
В сосуде объемом V. = 2 л находится масса /и, = 6 г углекислого газа (С02) и масса т2 закиси азота (N20) при температуре t -127° С. Найти давление р смеси в сосуде.
Решение:
По закону. Дальтона Р - Р] + Р2, где, согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, Рх - Ш— парциальное
давление углекислого газа (= 0,044 кг/моль), Р2 = m,RT
— парциальное давление закиси азота (//, = с 777, 77/ ^ —l +—
RT
; /> = 415кПа.
М2 J
= 0,044 кг/моль). Отсюда Р = 5.28. В сосуде находится масса тх = 14 г азота и масса т2 = 9 г водорода при температуре / = 10° С и давлении р = 1 МПа. Найти молярную массу // смеси и объем V сосуда.
Решение:
Моля ная масса смеси і есть отношение массы смеси т
к количеству вещества смеси у, т.е. м = — — (1). Масса
у
смеси равна сумме масс компонентов смеси т = тх + т2.
Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов. Подставив в формулу (1)
772 "i" 772
выражения 777 и У , получим JU = ! — (2).
тх//их +m2/ju2
Далее, применив способ использованный в задаче 5.7, найдем молярные массы азота и ц2 водорода:
jux =28-10 кг/моль, р2- 2-Ю" кг/моль. Подставим значение величин в (2) и произведем вычисления:
14-10~3 + 9-Ю"3 ,
и = і г = 4,6-10 кг/моль. Запишем уравне-
14-10 9'10
28-Ю"3 2-Ю"3? т, +/77, л
ние состояния смеси газов: pV = —1 -RT . Отсюда
/'
найдем V=W] +nh RT; Г = 11,7л. ИР
5.29. Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5). После того как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным р = 0,14 МПа. Какая масса т эфира была введена в сосуд?
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, в начальный момент, когда сосуд был заполнен воздухом,
p{V= — RT. Когда в сосуд ввели диэтиловый эфир,
/'в ( \ 777„ 777
pV =
+ —
\Ръ И)
RT = ^RT + — RT = p{V+ — RT, откуда И И -RT = pV-plV = (p-pl)V; /77 = ^ . Молярная
р RT
масса диэтилового эфира (С2Н5ОС2Н5) — // = 74х х 10~3 кг/моль (см. задачу 5.7), соответственно т = 2,5 г.
5.30. В сосуде объемом V = 0,5 л находится масса т = 1 г парообразного йода (l2). При температуре / = 1000° С давление в сосуде рс = 93,3 кПа. Найти степень диссоциации а молекул йода на атомы. Молярная масса молекул йода р = 0,254 кг/моль.
Решение:
Степенью диссоциации а называют отношение числа молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул
209
газа, т.е. степень диссоциации показывает, какая часть молекул распалась на атомы. В результате диссоциации мы
2 ост „ (l -а)-т имеем v, = атомарного иода и v2 = -—
И М
молекулярного йода. Их парциальные давления:
2amRT /1N _
Pi = (О; Рг =" — (2). По закону
pV pV
mRT (л \ up У л
Ц + а), откуда а = ?-?s 1; а = 0,12.
pV mRT
Дальтона PG~P\+Pi- Подставляя (1) и (2), получим Рс ~
5.31. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре степень диссоциации молекул углекислого газа на кислород и окись углерода а = 0,25 . Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях будет больше того давления, которое имело бы место, если бы молекулы углекислого газа не были диссоциированы?
Решение:
Решение аналогично задаче 5.30: — = 1 + а; а = 0,25;
Р
— = 1,25. Р
5.32. В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота (по массе) при давлении р = 100кПа и температуре f = 13°C.
Найти плотность р воздуха и парциальные давления рх и р2
кислорода и азота.
Решение:
Рассмотрим некоторую массу т воздуха, занимающую объем V. Данный объем будет содержать массу 0,236т
кислорода и 0,164т азота. Согласно уравнению
т
Менделеева — Клапейрона pV = — RT, где р — моляр-
М
ная масса воздуха. Разделив на К, получим p = — RT, от-
М
куда плотность воздуха Р = Р = Ь2 кг/м3. Парциаль-
0,236m D_ 0,23 6р __ ное давление кислорода рх = /а = — RT;
M\V Mi
/?t=2lKna. Парциальное давление азота р2 = в»764/и х
p2V
xRT = °,764p RT; р2 = 79 кПа. Mi
5.33. В сосуде находится масса /;;, = 10 г углекислого газа и масса Я72=15г азота. Найти плотность р смеси при температуре t = 27° С и давлении р = 150 кПа.
Решение:
По закону Дальтона давление смеси газов р = р{ + + р2 — (1), где Pi и р2 парциальные давления углекис-лого газа и азота. Согласно уравнению Менделеева — Кла-
77? 777
пейрона pxV=-LRT —(2); p,V = -^-RT — (3). Складної " Mi ґ
777, 777- — + —
{Ml Ml)
вая (2) и (3), с учетом (1), получим: pV = х RT — (4). Плотность смеси р = /7?| *7. Объем сосуда г
\
iih
У Mi Mi
V выразим из (4): V- (тх+т2)
; = 1,98 кг/м .
{щ /М\ +щ/м2)
RT р
, тогда р =
р RT 5.34. Найти массу т0 атома: а) водорода; б) гелия. Решение:
Масса молекулы равна отношению молярной массы к
числу Авогадро: т--^—. Поскольку молекула водорода
na
М
состоит из двух атомов, то масса одного атома т0 =
2 NA
07
а) Масса атома водорода т0 = 1,67 -10"" кг. б) Масса атома гелия т0 = 6,65 • 10~27 кг.
5.35. Молекула азота, летящая со скоростью v = 600 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда по нормали к ней. Найти импульс силы FAt, полученный стенкой сосуда за время удара.
Решение:
Av
Запишем второй закон Ньютона в виде F = т—, отсюда
At
FAt = mAv — (1). Поскольку удар был упругий и происходил по нормали к стенке, то скорость молекулы после удара равна по модулю скорости до удара и противоположна по направлению. Тогда Av = v-(-v) = 2v — (2).
Масса молекулы т (3), где р — молярная масса
^А - - азота, NA — число Авогадро. Подставив (2) и (3) в (1), получим FAt = ; FAt = 5,6- 10"23Н-с.
5.36. Молекула аргона, летящая со скоростью v = 500 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда. Направление скорости молекулы и нормаль к стенке сосуда составляют угол а = 60° . Найти импульс силы FAt, полученный стенкой сосуда за время удара.
Решение:
По второму закону Ньютона FAt = mAv. Считая положительным направление нормали, внешней к стенке, получим: Av = v2 cos а - (- \\ cos а) = v2 cos a + vt cos a . Таким образом, FAt = 2mvcosa. Масса молекулы аргона
Тогда FAt = ^-cosa; FAt =3,3-10"23H.c.
5.37. Молекула азота летит со скоростью v = 430 м/с. Найти импульс mv этой молекулы.
Решение:
Импульс молекулы р = mv , где масса молекулы азота т = . Отсюда р = ; р = mv = 2-10-23 кг-м/с.
5.38. Какое число молекул п содержит единица массы водяного пара?
Решение:
Число молекул, содержащееся в некоторой массе вещества, можно найти из соотношения: n = v-NA, где v — количество молей в данной массе вещества;
23 1 w
7Уд=6,02-10 моль" — число Авогадро. v = —. Тогда,
И
N
при т = 1, для водяного пара п = —— ; п = 3,3 • 10 .
И
5.39. В сосуде объемом V = 4 л находится масса м = 1 г водорода. Какое число молекул п содержит единица объема сосуда?
Решение:
Число молекул водорода N, содержащееся во всем
АГ т АГ
сосуде, можно наити из соотношения: N- — NА. Тогда число молекул в единице объема n = N/V или „ = 7,5-1025 м-3.
иУ
5.40. Какое число молекул N находится в комнате объемом V = 80 Mj при температуре / = 17° С и давлении р-100 кПа?
Решение:
Число молекул N, находящихся в комнате, можно найти
777
из соотношения: N = — NA. Согласно уравнению Менде-
И
леева — Клапейрона pV =—RT, откуда — = Тогда
р р RT
RT
5.41. Какое число молекул п содержит единица объема сосуда при температу ре t = 10° С и давлении р = 1,33 ¦ 1(Г9 Па?
Решение:
Число молекул N, содержащееся во всем сосуде, можно
найти из соотношения: N = — NA. Тогда число молекул в
М
единице объема п = — или п = . Согласно урав-
V pV
нению Менделеева — Клапейрона, pV =—RT, откуда
М
т PV -г PNА 1л 1ЛІ1 -3
— = -—.Тогда ??= ,77=3,4-10 м .
р RT RT
5.42. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо подогревать стенки сосуда при откачке для удаления адсорбированного газа. На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом /* = 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул Sq = 10"19 м2. Температура газа в сосуде t - 300° С. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.
Решение:
Давление р газа в сосуде связано с числом молекул п в единице объема сосуда соотношением р = пкТ или
Р 0)» Где N — число молекул в объеме
К = 4Л7*3/3 — (2). По условию эти N молекул образуют
g
мономолекулярный слой, следовательно, N- —, где
S = 4nr2 — (3). Подставляя (2) и (3) в (1), получим
3кТ О.П
р = ; р = 2,4 Па.
s0r
5.43. Какое число частиц находится в единице массы парообразного йода (l2), степень диссоциации которого А = 0,5 ? Молярная масса молекулярного йода JLI = 0,254 кг/моль.
Решение:
2 am „ (a-\)m Имеем Vj = атомарного иода и v2 = - —
/л JLI
молекулярного йода (см. задачу 5.30). В единице массы
2 а а-\ v, = —; v2 = . Число частиц в единице массы
ju ju 2 а 1-а +
і .Л
парообразного йода п - N/
; п = 3,56-1024 кг"1.
М М 5.44. Какое число частиц N находится в массе w = 16 г кис-лорода, степень диссоциации которого а- 0,5 ?
Решение:
Количество атомарного кислорода, находящегося в данной 2 am
массе, = , количество молекулярного кислорода
М
(і -а)'іп „ 2am v2 = 1—. Общее количество кислорода v = +
ju ju
(\-a)-m тт АГ
+ - —. Число частиц в массе m кислорода N = NAv .
М
После несложных преобразований получим N = NA х к
xmja +1) лг = 45.1023
5.45. В сосуде находится количество vx =10"7 молей кислорода и масса т2= Ю-6 г азота. Температура смеси / = 100° С, давление в сосуде /? = 133мПа. Найти объем V сосуда, парциальные давления р{ и рг кислорода и азота и число молекул п в единице объема сосуда.
Решение:
По закону Дальтона р = р{+р2 — 0)- Согласно урав-
ГПі
нению Менделеева — Клапейрона, pxV =—-RT — (2) и
Mi
пі*
p-yV = — RT — (3), где px— молярная масса кислорода, Ml
р2— молярная масса азота. Решая (1) — (3), получим \
m-
pV - RT
или pV-RT
откуда
Ґ \ m\ + m2
Mi
кИї ft j
RT
Л
lib
V =
v. +•
; К = 3,2л. Парциальное давление кисло
Ml J рода р, найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона рУ = vxRT , откуда р{ = vxRT/V ; рх = 98 МПа. m2RT p2V
; р2= 35МПа.
Парциальное давление азота р2 - Для нахождения числа молекул п в единице объема сосуда воспользуемся формулой, выведенной в задаче 5.41: п = pNA /RT; її = 2,6-1019м-3.
5.46. Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре / = 17° С. Молярная масса воздуха р = 0,029 кг/моль.? Р-.
Средняя квадратичная скорость молекул
п /=7 /3-8,31.290 СЛЛ ,
Для молекул воздуха V v = J—^ ^^— =500 м/с.
5.47. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.
Решение:
Средняя квадратичная скорость молекул гелия -fvf = '3 RT ¦ /=? 13RT
, молекул азота — -Jv2 = / . Отсюда отноше-
V Mi " V
л/ vj2 i ц->
ние JLj== — . Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.
V,2 V Mi
Молярная масса азота {л2 = 0,028 кг/моль. Тогда тЩ=2,65.
5.48. В момент взрыва атомной бомбы развивается температура Т ~ 107 К. Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы на атомы, а атомы ионизированы, найти среднюю квадратичную скорость иона водорода.
Решение:
Средняя квадратичная скорость иона водорода [ЗRT
= , где молярная масса иона водорода
V М
р = 0,001 кг/моль. Отсюда Vv2" = 5 -105 м/с. 218? 5.49. Найти число молекул п водорода в единице объема сосуда при давлении р - 266,6 Па, если средняя квадратичная
скорость его молекул = 2,4 км/с. Решение:
В задаче 5.41 была получена формула, выражающая число
молекул газа в единице объема п = ^А . Средняя
RT
_ I3RT
квадратичная скорость молекул водорода
'.' М
отсюда RT = \4v^\ -и/3. Тогда п = •
1 J •
п = 4,2-1024 м-3.
5.50. Плотность некоторого газа р = 0,06 кг, средняя
квадратичная скорость его молекул = 500 м/с. Найти
давление р, которое газ оказывает на стенки сосуда.
Решение:
Давление газа определяется основным уравнением моле-
2 711 7
кулярно-кинетической теории (MKT): p = — 7i— (1),
где 71 — число молекул в единице объема, 77?0 — масса молекулы. Кроме того, її и 77?0 связаны соотношением:
п=—. Тогда уравнение (1) можно записать следующим
Щ
Р~2
образом* р = —: р- 5 кПа.
5.51. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости
молекул воздуха? Масса пылинки w = 10~8r. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого // = 0,029 кг/моль.
Решение:
Среднюю квадратичную скорость молено выразить с
„ гт I3RT [МГ
помощью следующих соотношении: Vv" = = J .
\ /.і V m
Для пылинки = ^KL. # Для воздуха -jv^ =
ЗкТ „ [=т ІЗ RT
v; IRm лі y-) 7
— ; ^i = l,44-107.
v2 V M
M
5.52. Найти импульс mv молекулы водорода при температуре / = 20° С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости. л_
Na
Решение:
Масса молекулы водорода m =
скорость
квадратичная
Ее средняя Тогда mv = 6,3-10"24 кг-м/с.
_ jli j3RT _
N.
M
Nf 5.53. В сосуде объемом V= 2 л находится масса /и = 10г кислорода при давлении р = 90,6 кПа. Найти среднюю? А Pt Pt о
К.п.Д. двигателя ?/= — =— — (1), откуда т = —. С
О mq rjq
другой стороны, // = I fj 1 — (2) (см. задачу
уєг (/?-!)
є 16
2.214). В условиях данной задачи (5 = — - — = 2,5;
8 6,4
/ = 1.3; Ру = 3,29; /Г-1 = 2,29; гГ1 =2,30; >5-1 = 1,5. Подставляя эти данные в (2), получим rj - 0,49 = 49% . Тогда т = 5,9 кг.
5.216. Найти изменение AS энтропии при превращении массы т = 10 г льда (t = -20° С) в пар (/„ = 100° С).
Решение:
Изменение энтропии при переходе вещества из состояния
1 в состояние 2 AS = , где, согласно первому началу
і 1
термодинамики, dQ = dU + dA = — CvdT + pdV . Т. к. из
И
ТЛ т RT
уравнения Менделеева — Клапейрона давление р = ,
р V
т „ т RT ___
то aQ= — CvdT + dv . При переходе из одного агре-
р р V
гатного состояния в другое, общее изменение энтропии складывается из изменений ее в отдельных процессах. При нагревании льда от Т до Т0 (Т0 — температура плав-
h і У -р
ления) А5, = Г^— = тсл /л-f, где сл = 2.1 кДж/(кг-К) - Т Т ' Т
Удельная теплоемкость льда. При плавлении льда
"-3268 3 21
Тогда масса частицы т - pV - . Отсюда
6
у пра
5.55. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого
газа V7 = 450M/C. Давление газа /? = 50кПа. Найти плотность р газа при этих условиях.
Решение:
Давление газа определяется основным уравнением MKT: 2 /770 V2
п 2— ^ " ГДЄ п число молекул в единице
объема, /770 — масса молекулы. Кроме того, п и т0
связаны соотношением: п- — . Тогда уравнение (1)
тс
'О
~2
можно записать следующим образом: = откуда
Р = Щ\ Р = 0,74 кг/м3.
V"
5.56. Плотность некоторого газа р = 0,082 кг/м3 при давлении /? = 100кПа и температуре / = 17° С. Найти среднюю квадратичную скорость ЇЇ молекул газа. Какова молярная масса р этого газа?
Решение:
™ - Ру2 Гг \їр
Из предыдущей задачи р--—, откуда Vv = М-;
3 у р
ЇЇ = 1,9 км/с. Молярную массу р этого газа можно найти 222 5.218. Найти изменение AS энтропии при плавлении массы т = 1кг льда (/ = 0° С).
решение:
При, плавлении массы т льда при температуре Т имеем Дгде Я = 0,33 МДж/кг — удельная теплота плавления. AS = 1209 Дж/кг.
5.219. Массу m - 640 г расплавленного свинца при температуре плавления tm вылили на лед (/ = 0° С). Найти изменение ДS энтропии при этом процессе.
Решение:
Предположим, что система «свинец — лед» замкнута, т.е. потерь тепла во внешнюю среду не происходит и весь образовавшийся пар сконденсировался и остался внутри системы в виде воды. Тогда изменение энтропии системы AS будет складываться из изменения энтропии свинца AASJ при затвердевании, изменения энтропии свинца AS2 при охлаждении до t - 0° С и изменения энтропии льда при таянии ASb. Т. е. AS = ASX + AS2 + AS^. Задачу рассматриваем при условии, что льда имеется достаточное количество для поддержания температуры t = 0° С. Обозначим 7] =600 К — температура плавления свинца, 72 =273 К — температура льда. Имеем clSx = dQ]/T или
AS, = -ff^Sl = -Hl^L ^ ГДе Я = 22,6 кДж/кг — удельная те- 1 т\ т\
Плота плавления (кристаллизации) свинца. dS2 = —, от- Внутренняя энергия газа W — RT. Воздух можно
2 р
считать (в процентном соотношении) двухатомным газом,
т.е. число степеней свободы і = 5. Тогда W-——RT;
2 р
W = 210 Дж.
5.60. Найти энергию WBp вращательного движения молекул, содержащихся в массе т = 1 кг азота при температуре t = 7° С.
Решение:
/ т
Внутренняя энергия газа W- RT. Поскольку моле-
2 М
кула азота состоит из двух атомов, то для нее количество степеней свободы вращательного движения / = 2. Тогда
Wbp=-RT¦ Wep = 83 кДж.
5.61. Найти внутреннюю энергию W двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V = 2 я под давлением р = 150 кПа.
Решение:
Согласно уравнению состояния идеального газа
pV-~RT — (1). Внутренняя энергия газа W =——RT р 2 р
і
или, с учетом (1), W = — pV. Для двухатомного газа
количество степеней свободы / = 5, тогда W =
W = 750 Дж. 224 5.62. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объем V = 20 л, ГГ=5кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул л/v2 = 2-Ю" м/с. Найти массу т азота в баллоне и давление р, под которым он находится.
Решение:
Энергия поступательного движения молекул азота
«Г ПП'2 2JF . _
W = . откуда пі - -==-; т - 2,5 г. Согласно основному
2 v2
2 т v2
уравнению MKT р=—п—^— — (1), где п — число
молекул в единице объема, т0 — масса одной молекулы. Очевидно, что произведение пт0 - р — плотности азота. Тогда nmQV = pV = т — массе всего азота, находящегося в баллоне. Умножив правую и левую части уравнения (1) на
0 V2" 2 v2" mv2
V, получим pV = ^птQV— = — пі—. Но = W ,
З 2 3 2 2
2 W следовательно, pV - -W , откуда р = ——; р = \Ы кПа.
* 3v
5.63. При какой температуре Т энергия теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия преодолели земное тягоюние и навсегда покинули земную атмосферу? Решить аналогичную задачу для Луны.
Решение:
Согласно условию задачи средняя квадратичная скорость атомов гелия должна быть равна второй космической
8 - 3268 2 2 5
скорости, т.е. = 11,2 км/с. , откуда
Г «2-Ю4К. Для Луны ЇЇ = 2,4 км/с, тогда
Т = 900 К.
5.64. Масса m = 1 кг двухатомного газа находится под давлением /? = 80кПа и имеет плотность р = 4кг/м\ Найти
энергию теплового движения W молекул газа при этих условиях.
Решение:
Энергия теплового движения двухатомного газа
W = — vRT=——RT. Согласно уравнению Менделе- 2 2 р
m 5
ева — Клапейрона pV = — RT, тогда W = — pV . Так как
р 2
V — ——, то окончательно имеем W =—; W - 50 кДж. Р 2 р
5.65. Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем F = 10CMj при давлении /? = 5,ЗкПа и температуре t = 27° С? Какой энергией теплового движения W обладают эти молекулы?
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV =
in N -—RT = vRT. Количество вещества v= , где N —
число молекул в данном объеме вещества, NA — число 226
Авогадро. Тогда pV RT. Но -к — постоянной
Больцмана. Отсюда окончательно имеем pV = NkT,
откуда N = ; N = 1,3 • 1019. Энергия теплового движения кТ
5 m m N
двухатомного газа W = RT, где — = v = , тогда
2 // //
W = -—RT\ W = 0,133 Дж.
5.66. Найти удельную іеплоемкость С кислорода для: а) V = const; б) р - const.
Решение:
Молярная теплоемкость С и удельная теплоемкость с
С
связаны соотношением С - рс. Отсюда с- —. а) При
М
С /
V- const cv= — , где Cv = — R. Для кислорода / = 5,
М 2
следовательно, Cv Тогда удельная теплоемкость
5/?
кислорода при постоянном объеме cv - —;
2 р
cv =650Дж/(кг-К). б) При Р = const Cp=Cr+R = ^R. 1R
Отсюда с =—; с =910 Цж/(кг-К). 2р
5.67. Найти удельную теплоемкость ср : а) хлористого водо-рода; б) неона; в) окиси азота; окиси углерода; д) паров ртути.
227 Удельная теплоемкость с = —- , где молярная теплоем-
кость Ср = Cv + R . Поскольку С, = то Ср .
Для одноатомных газов Ср = 20,8 Дж/(моль-К), для двухатомных газов Ср = 29,1 Дж/(моль-К), для многоатомных Ср =33,2 Дж/(моль-К).
а) И на =0,0365 кг/моль, ср » 800 Дж/(кг-К);
б) //Л1 = 0,02 кг/моль, ср = 1040Дж/(кгК);
в) //ЛГ; = 0,03 кг/моль, с, =970 Дж/(кг-К);
г) juco = 0,028 кг/моль, ср = 1040 Дж/(кг*К);
д) JLIHK =0,201 кг/моль, ср = 103 Дж/(кг-К).
Найти отношение удельных теплоемкостей ср/су для кислорода.
Решение:
Для кислорода ср =910 Дж/(кг-К), cv =650 Дж/(кг-К) (см.
с
задачу 5.66); — = 1,4 .
Су
Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа с = 14,7 кДжу(кг-К). Найти молярную массу // этого газа.
Решение:
Молярная теплоемкость Ср и удельная теплоемкость ср газов связаны соотношением С = срр, откуда 228 И = —— — (1). СР=СГ + R — (2), ГДЕ МОЛЯРНАЯ ТЕПЛО- С
ЕМКОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ СУ Д113 ДВУ*"
7
АТОМНОГО ГАЗА / = 5, ТОГДА ИЗ (2) СР= — Я — (3).
7 R
ПОДСТАВИВ (3) В (1), ПОЛУЧИМ // ; // = 0,002 КГ/МОЛЬ.
5.70. ПЛОТНОСТЬ НЕКОТОРОГО ДВУХАТОМНОГО ГАЗА ПРН НОРМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ Р - 1,43 КГ/М\ НАЙТИ УДЕЛЬНЫЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ С,- И
СР ЭТОГО ГАЗА. РЕШЕНИЕ:
МОЛЯРНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ С И УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ С СВЯЗАНЫ СООТНОШЕНИЕМ С = РС. ОТСЮДА С = С/Р. ПРИ
С І
V = CONST СУ =—-, ГДЕ СУ = — R. ДЛЯ ДВУХАТОМНОГО ГАЗА
2
І = 5, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, CR= — R. ТОГДА УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛО-
2
ЕМКОСТЬ ДВУХАТОМНОГО ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЕМЕ
5 R 1
CV-— — (1). ПРИ Р-CONST C=—R. ОТСЮДА С = 2 Р 1 2 '
1R
= — — (2). СОГЛАСНО УРАВНЕНИЮ МЕНДЕЛЕЕВА — КЛАПСЙ- 2 Р
Т Т Т
РОНА PV = —RT ИЛИ Р- — RT. НО — = Р, ТОГДА Р VP V
Р Р&Т
Р = —RT. ОТКУДА И = — (3). ПОДСТАВЛЯЯ (3) В (1) И
И Р
(2), ПОЛУЧИМ СШУ - ^J - СР = • НОРМАЛЬНЫХ УСЛОВИ- ЯХ Р = 1,013-105 ПА, Г = 273 К. ТОГДА CV = 650 ДЖ/(КГ-К), С Р =910 ДЖ/(КГ-К).
5.71. МОЛЯРНАЯ МАССА НЕКОТОРОГО ГАЗА // = 0,03 КГ/МОЛЬ, ОТНОШЕНИЕ СР /CV = 1,4 . НАЙТИ УДЕЛЬНЫЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ С,- И С ЭТОГО ГАЗА.
РЕШЕНИЕ:
УДЕЛЬНЫЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ СУ И С ВЫРАЖАЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМ
С ¦ С,
ОБРАЗОМ СУ =—- — (1); С =—- — (2), ГДЕ МОЛЯРНАЯ Р Р
ТЕПЛОЕМКОСТЬ CP=CY+R = ^R + R — (3). ПО УСЛОВИЮ С
— = 1,4 ИЛИ С =1,4СГ, ТОГДА ИЗ (3) 1,4CV=CY+R. CV
СУ — (4), CP=^R— (5). ПОДСТАВИВ (4) В (1) И (5) В
5 R 1R
(2), ПОЛУЧИМ СУ- — ; CV - 693 ДЖ/(КГ-К); С =—;
2Р V 2 Р
СР=910 ДЖ/(КГ-К).
5.72. ВО СКОЛЬКО РАЗ МОЛЯРНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ С' ГРЕМУЧЕГО ГАЗА БОЛЬШЕ МОЛЯРНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ С" ВОДЯНОГО ПАРА, ПОЛУЧИВШЕГОСЯ ПРИ ЕГО СГОРАНИИ? ЗАДАЧУ РЕШИТЬ ДЛЯ: А) V = CONST- Б) Р = CONST.
РЕШЕНИЕ:
ЗАПИШЕМ УРАВНЕНИЕ РЕАКЦИИ 2Н2+02=2Ы20. ТАКИМ ОБРАЗОМ ИЗ КОЛИЧЕСТВА І/, = 3 МОЛЬ ДВУХАТОМНОГО ГАЗА ПОЛУ- 230 ЧАЕТСЯ КОЛИЧЕСТВО V2 = 2 МОЛЬ ТРЕХАТОМНОГО ГАЗА, Т.Е. ДО
О _ .7R
СГОРАНИЯ СП =3 — И СР1=3-^~; ПОСЛЕ СГОРАНИЯ
СУ2= ГЦ- И СР2= ГЦ-. ТОГДА А) -^- = 1,25;
2 2 С,/ -
Т2
6)^ = 1,31.
5.73. НАЙТИ СТЕПЕНЬ ДИССОЦИАЦИИ А КИСЛОРОДА, ЕСЛИ ЕГО УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ С, = 1,05 КДЖ/(КГ-К).
РЕШЕНИЕ:
ПУСТЬ Т — ПОЛНАЯ МАССА КИСЛОРОДА. ТОГДА ОТІ — МАССА ДИССОЦИИРОВАННОГО КИСЛОРОДА, А (І -А\Т — МАССА
НЕДИССОЦИИРОВАННОГО КИСЛОРОДА. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛА, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ НАГРЕВАНИЯ ГАЗА НА НЕКОТОРУЮ ТЕМПЕРАТУРУ
ДТ : Q-CPMAT ИЛИ Q = (\ - A)M + CPOM\ АТ, ГДЕ СР И
СР — СООТВЕТСТВЕННО ТЕПЛОЕМКОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ ДИССОЦИИРОВАННОГО И НЕ ДИССОЦИИРОВАННОГО ГАЗОВ. ТОГДА СРТАТ = [С^ (L -A)M + СРАМ]- AT, ОТСЮДА
Н (T \ Х ГУ» І+ 2 R FF 1 R -cp=cp(l-a) + cfa . Т.к. cp =— , то cp = и
І JLL 2 JLL
5 2 R
CP ~~——» ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ НЕДИССОЦИИРОВАННОГО ГАЗА І = 5 2 М
R
А ДЛЯ ДИССОЦИИРОВАННОГО / = 3. ТОГДА С (L-A) +
JU
М 2/.1 2Р R
2/JC-IR
; А= 0,362.
3 R 5.74. Найти удельные теплоемкости с,- и ср парообразного йода (l2), если степень диссоциации его а = 0,5. Молярная масса молекулярного йода // = 0,254 кг/моль.
Решение:
Теплоемкость при постоянном давлении с = — (7 + 3а)
2jli
(см. задачу 5.73); ср = 139 Дж/(моль-К). Аналогично можно найти теплоемкость при постоянном объеме О = cvmAT ; Q = \су (l - а)т + cfam • АГ, отсюда cv = Су (l - а) + cfa .
і R и 5 R в 3 2R
Но Су = , следовательно, с,- = ; ср = , тогда
2// 2// 2 //
сг =--(\-а) + --а= — [5(1-а)+6а] = -^-(5 + а); 2 // 2 // 2// 2//
сг = 89,97 Дж/(моль-К).
5.75. Найти степень диссоциация а азота, если для него отношение ср / Су = 1,47 .
Решение:
Теплоемкости при постоянном давлении и постоянном
R
ооъеме для частично диссоциированного газа ср = — х
І. р
х(7 + 3а); Су = — (5+а) (см. задачи 5.73 и 5.74). Тогда 2//
у - — = jCi ; ;/(5+а)= 7 +За ; 5/+ а/= 7 + За ; сг 5 + а
-а/ + 3а = 5у -7 ; 5/ + а/ = 7 + За : -ау + За = 5/ - 7 :
а{3-у) = 5у-7; а = 0,228.
3-/
5.76. Найти удельную теплоемкость ср газовой смеси, состоящей из количества v, = 3 кмоль аргона и количества і/, = 3 кмоль азота.
Решение:
Количество тепла, необходимое для нагревания смеси газов ка некоторую температуру AT : Q = ср{пц+ т2)-АТ
или Q = (cp]m]+cp2m2)-AT. Тогда ср{пц + ш2)-АТ =
/ v Cn\W\ +Сп2т2
= {с ,///, +с ^пи у Д7\ отсюда с =— ——-. Т.к. ар-
' ///, + т2
гон — газ одноатомный, то число степеней свободы і = 3 ,
. , т i + 2R
а азот — двухатомный, поэтому і = 5 . Т.к. с = . то
2 р
5 R 7І? _
с ,= и с , = . Тогда теплоемкость смеси при
2 //, 2 ju2
_ / 2//, + lRm2 / 2рг _ R / 2(5у, + 7І'2 ) . р = const. с = — ,
Wj + т{ + /7/-,
+ R(5,i+7v2) 685>72Дж/(кг.К).
у,//,+У2//2 2(у,//,+v2//2j
5.77. Найти отношение cj,/ci для газовой смеси, состоящей из массы ///, = 8 г гелия и массы т2 = 16 г кислорода.
Решение:
Удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении
ср = 1 — = — (см. задачу 5.76). Аналогично
т | + т2
Можно найти теплоемкость смеси при постоянном объеме: Q~ сг(ш, + /77,)д7' и О = (с, 1т[ +сГ2т2)АТ , откуда
233 /77, + 7772 2 // ' " 2 //,
5 Я x
сГ2 = . Тогда удельная теплоемкость газовой смеси
2 //2
.. Зі?777,/ 2 и, + 5Rm->/2ц-> _ при К = со/75/ : су = ! — = — . Отсюда
777, + /77-,
ср _ зя//7, / 2//, + 5і&77, / 2/л2 777, + /772
сг 777, + /772 зі&77, / 2 JU{ + 5я/772 / 2//2 '
ср_ = 5/77, ///, +lm2/jj2 = 5//7,//2 ч- 7 /772//, fp = 1 59 cf 3//7, / //, + 5/772 / //2 3/77,//2 + 5/772//! '
5.78. Удельная теплоемкость газовой смеси, состоящей из количества у, = 1 кмоль кислорода и некоторой массы т2 аргона
равна Су = 430 Дж/(кг-К),. Какая масса т2 аргона находится в газовой смеси?
Решение:
Количество тепла, необходимое для нагревания смеси на некоторую температуру AT 0 = Cy(mx+m2)-AT или
О = (суХт{ + cV2m2)- АТ . Отсюда cv(тх + т2) = cvxmx + cV2m2.
Теплоемкость при постоянном объеме cv = . Для
2//
кислорода = 5, а для аргона і2 = 3, поэтому
CD ID
cn = — = 650Дж/(кгК) и = — = 312,5 Дж/(кг-К). 2//i " 2//2
Тогда (/7?, + т2) = с,,,тх + cV2m2; /7?2 (су - cV2) =
= т,(сп-сг), откуда щ =
Су Су2 Су Су2
Подставляя числовые данные, получим т2 = 60 кг. 234
5.79. Масса т- Юг кислорода находится при давлении ^ = 0,ЗМПа и температуре / = 10° С. После нагревания при
р-const газ занял объем V2 =10л. Найти количество теплоты
Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул
газа W до и после нагревания.
Решение:
Энергия теплового движения молекул кислорода до нагревания Wx=5mRTx/2p — (1), после нагревания
5 77?
W2 = RT2 — (2). При расширении газа была совершена
2 М
работа АА - pAV = p(v2 -Vx) — (3). Количество теплоты, полученное газом в соответствии с первым законом термодинамики, AQ = AW + AA — (4). Изменение внут-ренней энергии га^а AW =-—R(TX-T2) — (5).
2 М
Неизвестные Vx и Т2 можно найти из уравнений началь-ного и конечного состояний газа. pVx = — RTl — (6);
И
pV,, =!!LRTo _ (7). Из (6) Vx Из (7) Т2 = Bb!L.
р - рр mR
Из уравнения (1) WX = 1.8 кДж. Подставив (7) в (2), получим wi=^PV2> V2=ly6Kj^K. Из (4), с учетом (3) и (6), ґ mRT,Л
; АО = 7,9 кДж.
V,-
К " MP J
AQ = (W2-Wx)+p 1 5.80. Масса m = 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V = 2 л при температуре / = 10° С. После нагревания Давление в сосуде стало равным р = 1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?
М
При V = const А= [ pdv = 0 имеем dQ = —CvdT, отсюда
J
О = J — Cvdt - — Сг (Т2 - 7|). Температуру Т
найдем
„ М V
из уравнения Менделеева — Клапейрона p-,V= — RT2,
И
D VLI
откуда Т2 = —— ; Т-> = 747 К. Молярная теплоемкость mR
азота Су = 20,8 Дж/моль-К. Молярная масса азота // = 0,023 кг/моль. Подставив числовые данные, получим О = 4,15 кДж.
5.81. В сосуде объемом V = 0,1 МПа находится азот при давлении р. = 0,1 МПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы: а) при р = const объем увеличился вдвое; б) при У = соті давление увеличилось вдвое?
Решение:
а) При р = const количество теплоты Q = A W + A =
= —С\ АТ -г—RAT -—С AT — (1). Согласно уравнению р р р
Менделеева — Клапейрона pVx---RTx и pV-^^—RT^
р р
оTKY-да рА V = — RA Т. ил и — Д Т = _ Тогда из (1) и р R
CnpAV
получим Q = ^— = 700 Дж. о) При V = const имеем
0 = AJV=—CyAT — (1). Согласно уравнению Мен- М
делеева — Клапейрона pxV = — RTX и р-У = — RT-,, откуда
р р
VAp = — RAT, или — АТ-^^-. Тогда из (1) получим р р R
Q = CvVAp/R \ Q = 500Дж.
В закрытом сосуде находится масса /и = 14 г азота при давлении рх = 0,1 МПа и температуре ( = 27° С. После нагревания давление в сосуде повысилось в 5 раз. До какой температуры был нагрет газ? Найти объем V сосуда и количество теплоты Q, сообщенное газу.
Решение:
Состояние газа до и после нагревания описывается урав-
m
нением Менделеева — Клапейрона рУ =—RT. — (1) m
и p2V =—RT2 — (2). Поскольку V — const, то Р2 Т-у
—= — = 5, откуда Г-, = 5Т, = 1500К. Решая совместно Pi Т\
mRTx
(1) и (2), ПОЛУЧИМ V — ; V = 12,4л. Количество
теплоты, полученное газом, Q- — СГАГ, где молярная
" и
теплоемкость азота Сг = 20,8 Дж/(моль К). Q - 12,4 Дж.
Какое количество теплоты О надо сообщить массе '« = 12 г кислорода, чтобы нагреть его на Д/ = 50СС при Р = const ?
Количество тепла, необходимое для нагревания при р = const: О = cpmAt, где ср — удельная теплоемкость.
гг i + 2R т
При постоянном давлении с = . Т. к. кислород —
2 р
R 7 R двухатомный газ, то і = 5 и с = . Тогда Q = mAt;
р 2 р
О = 545 Дж. г
5.84. На нагревание массы т = 40 г кислорода от температуры = 16° С до t2 — 40° С затрачено количество теплоты 0 = 628Дж. При каких условиях нагревался газ (при постоянном объеме или при постоянном давлении)?
Решение:
В процессе нагревания при постоянном давлении 7 R
О = 7/гДГ(см. задачу 5.83) Q =872Дж. Аналогично
2 р
для нагревания при постоянном объеме Ov =сут(Т2 -7]),
R
где cv- и і = 5. Тогда 0/=626Дж. Значит, газ
р
нагревается при постоянном объеме.
5.85. В закрытом сосуде объемом V = 10 л находится воздух при давлении р - 0,1 МПа. Какое количество теплоты О надо сообщить воздуху, чтобы повысить давление в сосуде в 5 раз?
Решение:
/7/
Воздуху надо сообщить количество теплоты Q- — CVAT .
И
По уравнению Менделеева — Клапейрона VAp = — RAT,
И
откуда = Тогда Q = Cl,™?=±VAp;
mR R 2
Є = 10кДж.
5.86. Какую массу m углекислого газа можно нагреть при р-const от температуры t{ =20° С до t2 =100° С количеством теплоты ? = 222Дж? На сколько при этом изменится кинетическая энергия одной молекулы?
Решение:
р = const: с р = — . Молярная масса р-рсл-2р0.1. к.
Количество тепла Q = ср?пАТ. Теплоемкость при / + 2 Л 2 //
С02 — газ трехатомный, то / = 6. Тогда
„ 4Я ^ 4R с = 4 - = — . Откуда Q = — m (т2 - Тх),
р рс+2 р0 Рс+2Мо
значит, m = + ; 77? =3,67 г. Кинетическая энергия 4 Л(Г2-Г,)'
поступательного движения молекул W =^кТ, при / = 6:
W}=3kTx; W2=3kT2. Тогда ДЖ = W2 - Wx- Зк(Т2 - 71,); ДГ = 3,31-10-21 Дж.
5.87. В закрытом сосуде объем V - 2 л находится азот, плотность которого р = 1,4 кг/м-*. Какое количество теплоты Q надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на АТ = 100 к"?
Решение:
Т.к. объем постоянный, то количество тепла О = с{тАТ,
R
где cv , причем т. к. азот — газ двухатомный, то
//? число степеней свободы / = 5, значит cv = . Масса
2 И
m = pV щ тогда 0 = -—pVAT; Q = 207,75 Дж. 2 //
5.88. Азот находится в закрытом сосуде объемом V = 3 л при температуре /,=27° С и давлении /?,=0,ЗМПа. После нагревания давление в сосуде повысилось до р2 =2,5 МПа. Найти температуру tz азота после нагревания и количество теплоты Q, сообщенное азоту.
Решение:
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для
начального и конечного состояний p[V = — RTl — (1);
И
ні т
р*У = — — (2). Разделим (1) на (2) — = —отсюда р - р2 Т2
Т р-,
Т2 = ; Гл =2500 К. Количество теплоты, необходимое
Р\
для нагревания при постоянном объеме Q = cvmAt, где
/ R . . ^
с,- = ; / = :>, т. к. азот двухатомный газ. Следовательно,
2 и
5R тт Pv\,
с г . Из (1) ш = — — масса газа, тогда
2 и R1]
2 и Ri{
5.89. Для нагревания некоторой массы газа на Д/, =50° С при р = const необходимо затратить количество теплоты Q{ = 670 Дж. 240
Если эту же массу газа охладить на Aг, = 100° С при V = const, то выделяется количество теплоты 0,=1ОО5Дж. Какое число степеней свободы / имеют молекулы этого газа?
Решение:
Количество теплоты, необходимое для нагрева при
р = const: О, = cnmAt,, где с* — . Тогда
р р 2 ju
_ і + 2 R А ...
0 = 7??А/, — (1). Количество тепла, выделенное при
2 //
изохорном охлаждении 02 = clmAt2> где сг =——. Тогда
2 /и
Q, = -—mAt, — (2). Разделим (1) на (2): = * + 2 АГ| , 2 // 02 / Дґ2
отсюда 0/Л/2 = 02(/ + 2)АГ, ; Q\iAt2 = 22/А^ + 2Q2Atx;
/(О, Д/2 - (22Д/,) = J i = — число сте-
пеней свободы; і = 6 .
5.90. Масса т = 10 г азота находится в закрытом сосуде при температуре /j = 7° С. Какое количество теплоты О надо сообщить азоту, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость его молекул вдвое? Во сколько раз при этом изменится температура газа? Во сколько раз при этом изменится давление газа на стенки сосуда?
Решение:
3 кТ
m
Тогда ; . По условию
Средняя квадратичная скорость молекул sjv2 =
= ^ или 4Г| = Т-,; ? = 4. Т. к.
V w V /и 7,
т
= — при V = const (см. задачу 5.88), то — = 4. ^ А А
Изменение температуры АТ = Т2 - Тх - 41] - Тх = 3Тх. Коли-чество тепла, подведенное к системе Q = cvmAT, где / R . -
с,•= ; / = 5, т.к. азот — двухатомный газ, поэтому
2 //
5 7? 5 7?
сг = и О- шЗТ{; 2 = 6,23кДж.
2 // ~ 2 р
5.91. Гелий находится в закрытом сосуде объемом К = 2 л при температуре t[ = 20° С и давлении рх =100 кПа. Какое количество теплоты Q надо сообщить гелию, чтобы повысить его температуру на At = 100° С? Каковы будут при новой температуре средняя квадратичная скорость его молекул, давление , плотность р2 гелия и энергия теплового движения W его молекул?
Решение:
Количество тепла, необходимое для повышения темпе-
R . ~
ратуры Q - cvmAt, где с,- = ; / = 3 , т. к. гелии — одно-
//
3 R г „ m
атомный газ, поэтому сг = . 1. к. рхУ = — /а,,
2 р р
то m = E^IL — масса гелия в сосуде. Тогда ДГ,
IRp/V&Jj^ е = 10239Дж с ква.
~ 2 ц RTS 27J? дратичная
скорость молекул = Л/3 RT2/ р\
565км/с. Т.к. р2/р1=Т2/Т1 (см. задачу 5.88), то
р2 = = + . р2=\34 кПа^ Из уравнения Мен-
Тх 7j
делеева — Клапейрона p2V = — RT2, значит, = — =
р ~ V
-ElE. — плотность газа. р2 = ОД 64 кг/м3. Энергия RT2
3 ш 3
теплового движения молекул W RF-, = — piV ;
2 р 2
W = 402 Дж.
5.92. В закрытом сосуде объемом V = 2 л находится масса m азота и масса m аргона при нормальных условиях. Какое количество теплоты Q надо сообщить, чтобы нагреть газовую смесь на Д/ = 100°С?
Решение:
Количество тепла, необходимое для нагревания газовой смеси, О = (cnm + cV2m)At = (сп + cV2 )mAt. Теплоемкость
при постоянном объеме cv - Для аргона / = 3, т. к.
2 р
3 R гг
газ одноатомныи, тогда сп = . Для азота / = 5 , т. к. газ
2 Mi
5 R
Двухатомный, поэтому cv2 . Из уравнения Менделе-
2 р2 ґ \ М\+Мі
^ М\Мі J
г \
т т — + —
кМі Mi)
mRT, 243
RT -
Клапейрона pV-
ева
3 5 — + —
Pi J
отсюда /7? = , с— • Тогда О =
(//, + р2 )RT (pl+p2)RT
At; РШ; 6 = 154,2 Дж.
px + p2 IT 5.93. Найти среднюю арифметическую v , среднюю квадратичную и наиболее вероятную vB скорости молекул газа, который при давлении р - 40 кПа имеет плотность р = 0,3 кг/м\
На графике функции распределения молекул по скоростям приведено взаимное расположение величин скоростей vB, V и
8 RT
пр
(і);
Искомые скорости выражаются следующими соотно
шениями: v = ]2RT
ласно
vb =
(2); Vv2 =^j3RT/p — (3). Cor; т
уравнению Менделеева — Клапейрона pV = — RT или
Р
RT d
р и — pRT , откуда = — — (4). Подставив (4) в (1) —
Р Р Р
(3), получим v=J— ; V =579 м/с; v = ; vB =513 м/с:
пр
2 = — ; = 628 м/с. Полученные данные
V Р
соответствуют графику. 244
5.94. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость молекул азота больше их наиболее вероятной скорости на Av = 50 м/с?
Решение:
По определению наиболее вероятная скорость [2кТ І2 RT
v =J = , а средняя квадратичная
® \f /;? у // m у //
. По условию задачи V v" = vB + Av, тогда Av = V v"
\ P У VP
Отсюда № = ; г = ; Г = 83,37 К.
V /< V3-V2 ^/З-Л)"
5.95. Какая часть молекул кислорода при t =¦ 0° С обладает скоростями v от 100 до 110 м/с?
Решение:
Согласно закону Максвелла распределение молекул по скоростям определяется соотношением: АДГ 4 _ 2 ,
= —f=e"irAu — (1), где и — относительная
-N л/л-
скорость. По условию v = 100 м/с и Av = 10 м/с. Наиболее
h RT
вероятная скорость VB = I ; VB=376M/C. Тогда
V Р
1=100; г/2 = 0,071; е""2 =0.93; ДМ=10
vB 376' 376
Подставляя в (1) числовые значения, найдем
= 0,004 = 0,4% .I.e. число молекул, скорости которых
лежат в заданном интервале, равно 0,4% заданного числа молекул.
5.96. Какая часть молекул азота при t = 150° С обладает скоростями v от 300 до 325 м/с?
Решение:
Л/У 4 2
Из закона Максвелла имеем = —=е и~Аи — (1), где
N
Vl /ОЧ A V->_V1 /оч
относительная скорость — (2), Ап = — = — 1 (3).
Vb Vb Vb
q \2RT <л^
Здесь vB = — (4) — наиоолее вероятная скорость
V М
молекул. Решая совместно уравнения (1) — (4), получим
АА^ 4 ^ v2p (у2-УІУА. A7V=28o/o N V^ 2RT JlRT 9 N '
5.97. Какая часть молекул водорода при t = 0° С обладает скоростями v от 2000 до 2100 м/с?
Решение:
Согласно закону распределения Максвелла
= -^=ехр(- и2 )• ігАи . Относительная скорость и = —, N л/л" vB
12RT
где vB = І — наиболее вероятная скорость. В нашем
V /'
Av v
AN _ 4 AN N W
случае v = v, = 2000 м/с, Av = v2 - \\ ; Av = 100 м/с, vB= 1506м/с. Тогда и= — ; z/= 1.328; г/2 = 1,764 : / 2\ Av
exp\-n 1=0,171; Aw = —; Аг/=0,066 м/с. Окончательно
v
= 4.49%.
5.98. Во сколько раз число молекул AN,, скорости которых лежат в интервале от vB до vB + Av , больше числа молекул AN2,
скорости которых лежат в интервале от Vv*" до Vv*" + Av ?
Решение:
Воспользуемся функцией Максвелла распределения моле 2 \
mv 2кТ
< т ^
(1).
ехр
кул по скоростям: /(v) = An
2 пкТ Относительное число молекул, скорости которых лежат в
AN v°+Av
интервале от vB до vB+Av, есть - = J f(v)dv — (2).
Если Av«vB, то функция /(v) на данном интервале молено приближенно считать /(vB) = const. Тогда из (2)
vK+Av N
скольку vB
'2 kT
m
з
имеем = f{vB) J^ = /(vB)[vB+Av-vB] = /(vB)Av. ПО-
, то из уравнений (1) и (2) получим m
V ( m 2кТ
ехр
2 kT m
2 nkTJ
з
m
2 пкТ
ехр(- l)-^-Av m
ЛА^ N
AN, N
= An
2кТ
Av:
m
(3). Аналогично во 247 П AN2 N
втором случае
/ Vv2 с/г, но т. к. Av«Vv2 . то
= const. Тогда из уравнний (1) и (2) V" + Дг
^^ = /л/7] f dv = f л/v2" |Av. Поскольку средняя
N
V v
квадратичная скорость молекул Vv2 =43кТ7т, то < т V2
AM, N
in ЗкТЛзкТ
= 4 к
ехр
Av;
2лкТ
V 2кТ m J ґ З^ЗкТ
J
з
J
111 2 лкТ
m
-~ = 4л
N
— Av — (4). Разделив урав-
V. 2J m
нение (3) на уравнение (4), получим искомое отношение: Щ _ ехр (-1 )lkTAv / m fP
AN2 ~ exp(-3/2)3kTAv//n~eAP{2, ления. окончательно получим AN2 / ANX = 1,1.
— , Произведя вычис-
ехр
5.99. Какая часть молекул азота при температуре Т имеет скорости, лежащие в интервале от vB до vB + Av , где Av = 20 м/с. если: а) Т = 400 К; б) Т - 900 К?
Решение:
AN 4 7 v
Согласно закону Максвелла = —=гге " А и — (1), где
N Vv
v Av
?/= — = ) — (2); Ait =— — (3). Наиоолее вероятная
2 RT
скорость молекул v = - (4). Подставляя (4) в (3). а
V /<
/ол Гі\ мл AN 4 _! AvJJi затем (2) и (3) в (1), получим = —=е . .
N 4п ' ЛІ2ЯТ
а)^=3,4 0/0;б)і^ = 2,20/0. N N
5.100. Какая часть молекул азота при температуре / = 150° С имеет скорости, лежащие в интервале от V,=300M/C до
v2 = 800 м/с?
Решение:
Nt/N
1,2 т
В данной задаче нельзя использовать формулу Максвелла, т. к. интервал скоростей велик. Для решения задачи най-дем число молекул Аг, и N2, скорости которых больше V, и v2. Тогда скорости, лежащие в интервале от v, до v2, имеют число молекул Nx = - N2. Значения Лг, и N2 найдем по графику зависимости Nx/N от и. Наибо 2RT
= 500 м/с, тогда
VB =
лее вероятная скорость 300 п.; 800 к п І
500
= 0,6 и и 2 = = 1.6. По графику найдем 500 — = 0,87 = 87% и -^- = 0,17 = 17%. Т.е. 87% молекул N N *
движется со скоростями большими V, и 17% молекул имеют скорости превышающие v2. Тогда искомая часть
молекул = 87% -17% = 70% .
5.101. Какая часть общего числа N молекул имеет скорости: а) больше наиболее вероятной скорости vB, б) меньше наиболее вероятной скорости vB ?
Решение:
а) Т. к. в данной задаче мы имеем большие интервалы скоростей, то нельзя пользоваться функцией распре-
V
деления Максвелла. Т.к. относительная скорость и = —, то
VB
v
для v = vB имеем и = — = 1. По таблице 11 находим для
VB
N
и = 1; —- = 0,572. Значит, доля молекул, имеющих N
N
скорости v > vB, равна = 57,2% .
б) Т. к. доля молекул, имеющих скорости v > vB: N
—= 57,2% (см. пункт а), то доля молекул у которых
N
N
скорости v < vB: = 42,8%. Поэтому график функции Максвелла не симметричен.
5.102. В сосуде находится масса /и = 2,5 г кислорода. Найти число NX молекул кислорода, скорости которых превышают
среднюю квадратичную скорость • 250 F(v)
Наиболее вероятная скорость мо-
г- [кт
лекул vB = да
= л/2—, отсю-
111 V in
W vB г
= —р=г. Средняя квадра- m V2
'3 кТ v.V
m
тичная скорость Vv = ~ в = • Тогда относи- тельная скорость для v = v v
~ ЇЇ^ ' и - — - 2 - • N
и = 1,225. По таблице 11 и = 1, —— = 0,572 ; и =1,25,
N = 0,374. По графику находим, что для и-1,225
JV*
m
N N
—и 0,405. Число молекул кислорода N = — NA; N ]л 22
N = 4,705 • 1022. Тогда N, = 0.405.V ; 7V, = 1,905 • 10 5.103. В сосуде находится масса /// = 8 г кислорода при температуре Г = 1600 К. Какое число Nx молекул кислорода имеет кинетическую энергию поступательного движения, превышающую энергию 1V0 = 6,65 • 10~:о Дж?
Решение:
Кинетическая энергия поступательного движения моле-
111 v2 hiv
кулы , откуда v0 — і . Наиоолее вероятная
2 у m0
2 RT ЗкТ
скорость vB = J = , тогда относительная ско-
V V V я'о
v fF~
рость молекулы и =— = J— ; и = 1,73 . Используя график
v. V
N
к задаче 5.100, найдем относительное число молекул
относительная скорость которых больше и. Получим N
-^- = 0,12, т.е. 12% молекул имеют кинетическую энергию больше W0. Общее число молекул кислорода в сосуде
N = — Na = 1,5-1023. Следовательно, Nx = 0,\2N = 1,8-1022. И
5.104. Энергию заряженных частиц часто выражают в электронвольтах: 1эВ — энергия, которую приобретает электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов
?У = 1В, причем 1эВ = 1,602 19~,9ДЖ. При какой температуре Т0 средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул W0 = 1 эВ? При какой температуре 50% всех молекул имеет кинетическую энергию поступательного движения, превышающую энергию fV0 = 1 эВ?
Решение:
Средняя кинетическая энергия поступательного движения
3 21V
молекул fV0 = —кТ. Отсюда т = т = 7730К. Вос
пользовавшись графиком из задачи 5.100, найдем, что зна- N
чению - 0,5 соответствует значение и = 1,1. В задаче
5.103 мы определили, что относительная скорость молекул
\w Wr.
и = , отсюда Т =—rr; Т = 9600 К. V кТ кп? 5.105. Молярная энергия, необходимая для ионизации атомов яалия, IV, = 418,68 кДж/моль. При какой температуре Т газа 10% всех молекул имеют молярную кинетическую энергию поступа-тельного движения, превышающую энергию Wt ?
Решение:
Наиболее вероятная кинетическая энергия молекул 0 RT
jrr mv; ju mRT
W& = —- = — = = vRT = RT, т. к. по условию
2 2 ju
рассматривается молярная энергия, т. e. v = 1. Отношение Wj mv2 2 v2
~- = Г- = -ТГ = ir , где и — относительная СКОРОСТЬ.
Wb 2 mv] vB2
По таблице И и=1,5, -^ = 0,231; и = 2, -^ = 0,046. В
N N
N
нашем случае —L = 0,l, тогда из графика и «1,79 и
N
ЇГ « 3,2 . Значит, — = 3,2, отсюда Wt = 3,2ЖВ = 3,2RT.
Wb
W л
Следовательно, Т = ——; Т = 1,57 -10 К.
3,2 R 5.106. Обсерватория расположена на высоте h = 3250 м над уровнем моря. Найти давление воздуха на этой высоте. Температуру воздуха считать постоянной и равной t = 5° С. Молярная масса воздуха // = 0,029 кг/моль. Давление воздуха на уровне Кіоря р0 = 101,3 кПа.
Решение:
Закон убывания давления газа с высотой в поле силы тя-
pgh
f
Жести дает барометрическая формула: р = pQ ехр
\ RTj
Йодставив числовые данные, получим р = 67,2 кПа.
5.107. На какой высоте h давление воздуха составляет 75% от давления на уровне моря? Температуру воздуха считать постоянной и равной t - 0° С.
Решение:
Закон убывания давления газа с высотой в поле силы тя-
( ttgh^
RT г
. Логарифмируя обе части уравне-
жести дает барометрическая формула: р- р0 ехр ґ Pgh^
р
RT
Ч 1X1 У
откуда -?— = ехр Ро
/ Р pgh 7 RTINP/P0 ния, получим --——, откуда п = -—— =
Po RT pg
8,31- 273 -(-0,29)
п- 2296 м.
0,029-9,8
5.108. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте hx = 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабине при помощи компрессора поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте h, = 2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Температуру наружного воздуха считать равной /, = 0° С. Решение:
Согласно барометрической формуле р = рцехр ^^
V
RT
і5
где Ро = 10 Па — давление на уровне моря. Молярная мае- л
са воздуха р- 29-10" кг/моль. Тогда р{ = р0ехр
Г Mgh^
рх = 35,3 кПа. Температура воздуха в кабине соответствует давлению на высоте h2 = 2700 м, т. е. Т2 = 273 К, тогда 254
Ґ PZh^ RT, ]
Рг =РоЄ*Р Ар = 36 кПа.
; р2 = 71,3 кПа. Отсюда Ар = р2 - рх;
5.109. Найти в предыдущей задаче, во сколько раз плотность р2 воздуха в кабине больше плотности рх воздуха вне ее, если
температура наружного воздуха =-20° С, а температура воздуха в кабине t2 = + 20° С.
Решение: pgh RT
і /
Согласно барометрической формуле р- р0 ехр т
Из уравнения Менделеева — Клапейрона pV = — RT
Р Тогда = 1,7.
отношение
плотностей
рр
р =
имеем
RT
Рг _РгТ\ _ 0,713 - 253 Р\ ~ Р\тг ~ 0,353-293 5.110. Найти плотность р воздуха: а) у поверхности Земли;
б) на высоте h = 4 км от поверхности Земли. Температуру воздуха считать постоянной и равной / = 0° С. Давление воздуха у поверхности Земли р0 =100 кПа.
Решение:
а) Из уравнения Менделеева — Клапейрона (см. задачу
5.109)/?,=^-; рх =1,278кг/м3. б) На высоте /?2=4км RTX
PiP
Плотность воздуха р2 = —-—. Для нахождения р2 восполь-
RT2? /Ф2 RT;
зуемся барометрической формулой р2 = р0 ехр (
; р2 = 0,774 кг/м:
RT;
2 У
Тогда р-у -^^-ехр 2 ЛГ, 5.111. На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной t = 0° С. Задачу решить для: а) воздуха, б) водорода.
Решение:
Плотности газа на уровне моря и на высоте h
pgh RT
Г ,.„гЛ
РоР РоР
соответственно равны: рх и A =I-^J—exр
RT RT Р\
(см. задачи 5.109 и 5.110). По условию — = 2, тогда
Pi
1 (pglA
= 2 или ехр = 2 . Прологарифмиру-
V RT
J
ехр(- pgh / RT)
/ о т RT, ~ ем полученное выражение: -— = In 2 , отсюда h = In 2.
RT pg
а) Для воздуха p = 29 1 О-3 кг/моль; h = 5,53 км. б) Для водорода // = 2-Ю"3 кг/моль; /? = 80,23 км.
5.112. Перрен, наблюдая при помощи микроскопа изменение концентрации взвешенных частиц гуммигута с изменением высоты и применяя барометрическую формулу, экспериментально нашел значение постоянной Авогадро NA. В одном из опытов Перрен нашел, что при расстоянии между двумя слоями Ah = ЮОмкм число взвешенных частиц гуммигута в одном слое рдвое больше, чем в другом. Температура гуммигута г =20° С. Частицы гуммигута диаметром <т = 0,3 мкм были взвешены в жидкости, плотность которой на Ар = 0,2 -103 кг/м"* меньше плотности частиц. Найти по этим данным значение постоянной Аво- гадро N д. Решение:
RT
Запишем барометрическую формулу: р = р0 ехр *їисло частиц в единице объема п = —, откуда р = пкТ
кТ ґ pgh Л. J
Подставляя последнее выражение в барометрическую фор-
2
; и 2 = n0 exp
RT
RT
\
\
мулу, получим щ = п0 ехр
n\
отсюда, — = exp
П,
. Прологарифмировав данное вы-
ґ ugAh^ V RT ,
А, . щ NAmgAh ражение, с учетом p = NAm, получим /л—=—2—,
її 2 RT
откуда, с учетом закона Архимеда, получим
RT' 1п(/7| /п2) АГ -|
ІУд = ^—^ ; Na =6,1-10 МОЛЬ .
gVApAh
5.113. Найти среднюю длину свободного пробега Я молекул углекислого газа при температуре / = 100° С и давлении Р -13,3 Па. Диаметр молекул углекислого газа <т = 0,32 нм.
Решение:
Средняя длина свободного пробега молекул газа Я
Z
Где z =у[2сг2\>лп — среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени. Концентрация 9-З268 257? Лі silcr ПК -yjlcr рл
т 1,38-Ю-23 -373
Л =-7= = 850мкм.
л/2 -0,32 -10" -13,3-3,14
5.114. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 км от поверхности Земли концентрация частиц
газа в атмосфере п = 1015 м-3. Найти среднюю длину свободного пробега Л частиц газа на этой высоте. Диаметр частиц газа а - 0,2 нм.
Решение:
Длина свободного пробега молекул газа Л = г *—;
л/2ст 77 Я"
Л - 5,6 км.
5.115. Найти среднюю длину свободного пробега Л молекул воздуха при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха а = 0,3 нм.
Решение:
Средняя длина свободного пробега молекулы
Л - г- ^ . Из основного уравнения молекулярно-кине- \2тга 77
тической теории имеем р-пкТ, отсюда п — р/кТ. Тогда
— кТ — Л = г \ ; Л =94,2нм.
л/2я<т"р
5.116. Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул углекислого газа при температуре / = 100° С, если средняя длина свободного пробега Л = 870 мкм. 258
Середняя длина свободной» пробега молекул Л-- —, где
Z
_ 8 КГ
w = — средняя ариометическая скорость »юлекул.
V
Я Я
5.117. Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул азота при давлении р = 53,33 кПа и температуре t - 27° С.
Решение:
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории и формулы длины свободного пробега молекул имеем
кТ - V
& = —f=—(см. задачу 5.. 15). С другой стороны, Я = —. V2тса р z
шт кТ v
Приравняем правые части тих уравнении: -т=—= —,
у]2я<у р z
_ І8ЛТ _ Щт4гха2р
Іде v = / . Следовательно, z = / —;
у тир у яр кТ
?? = 2,43-109 с'1.
5.118. В сосуде объемом V = 0,5 л находится кислород при формальных условиях. Найти общее число столкновений Z ||?ежду молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени.
Решение:
Общее число столкновений Z-— — (1), где среднее
число столкновений каждой молекулы z = л/2
Концентрация молекул // = -?_ — (3), средняя арифме-
RT
- ШТ rл^ гт тическая скорость v = (4). Подставляя уравнения
V W
(3) и (4) в (2), а затем полученное уравнение в (1), найдем: 2 _ V2а2р24шт = 2ct2P24RT . z = 3.103i 2 к2Т2у[пр k2T2Jnp
5.119. Во сколько раз уменьшится число столкновений z в единицу времени молекул двухатомного газа, если объем газа адиабатически увеличить в 2 раза?
Решение:
Среднее число столкновений молекул в единицу времени f8RT 42тг<72Р
Z —
(см. задачу 5.117). Т.к. в данной
у пр кТ
формуле все величины, кроме давления р и температуры
z, /?, / Т2
Т , являются постоянными, то —- =J-L — . Из уравнения
z2 р2 у 7J
Пуассона для адиабатического процесса имеем
где у= —
показатель
plJz.Т И RJHV
PI W v 2 >
адиабаты. Поскольку теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме равны соответственно
/42 R iR
с = и су = и для двухатомного газа число
р 2 р 2 р ГуЛ^ \V2 J
степеней свободы / = 5, то показатель адиабаты
Ср i+2R2p -А _ 2, —= — ; /=1,4. Тогда — =
Су 2 р і R
\? К T-r
|Jo условию задачи — = 2 . Подставляя числовые значе-
Ух
|йия, получим — = 2,34 .
5.120. Найти среднюю длину свободного пробега Я молекул 0дота при давлении р = 10 кПа и температуре t = 17° С.
Решение:
Іїмеем: Я = г * , — (1). Из основного уравнения
л/2 ясг~/7
Цолекулярно-кинетической теории р = 77&Г найдем концентрацию //= — и подставим в (1): Я =
ri uuAviaDn.vi и у » / • /v >— ^ ,
-Jlncr-p Ї = 1 мкм.
5.121. Найти среднюю длину свободного пробега Я атомов |дия, если известно, что плотность гелия р = 0,021 кг/м3.
Решение:
Шфеднюю длину свободного пробега молекул можно — кТ
Сразить как Я = —?=—— (см. задачу 5.120). Из
л/2 по~р
уравнения Менделеева — Клапейрона pV = — RT выра-
m РР гл pRT |Йм плотность р = — =J-L- . Отсюда давление р = .
V RT р
Ш
т ЬТР Р т л по гда Я =-т=—; = —j=—; ; Я =1,78 мкм.
л/2 71<у~ pRT -Jlmj-pN.
5.122. Найти среднюю длину свободного пробега Я молекул при давлении р - 0,133 Па и температуре t = 50° С.
Решение:
Исходя из основного уравнения MKT и формулы длины свободного пробега молекул, можно получить для Я
— кТ
следующее выражение (см. задачу 5.120): Я =-т=—7—;
л/2 па~ р
Я =14,2 см.
5.123. При некотором давлении и температуре / = 0° С средняя длина свободного пробега молекул кислорода Я =95нм. Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул кислорода, если при той же температуре давление кислорода уменьшить в 100 раз.
Решение:
Среднее число столкновений молекул в единицу времени
_ V _ 18 ЯГ т Тр1 р.
z= —, где v = | и Я2=Я1 —. Т.к. — = 100, то
Л, \ пр р2 р2
5.124. При некоторых условиях средняя длина свободного пробега молекул газа Я=160нм; средняя арифметическая скорость его молекул v = 1,95 км/с. Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул этого газа, если при той же температуре давление газа уменьшить в 1,27 раза.
Решение:
По определению, средняя длина свободного пробега
— v
молекул Я = (1). С другой стороны (см. задачу 5.120),
Z
— кТ
Я = —j=—j (2). Т. к. по условию Т = const, то из (2)
-у]2па р имеем -=- = — , отсюда Л2= — Л1 = \,27ЛХ. Средняя Л2 р2 р2
[SRT
арифметическая скорость молекул v = I , и т. к.
V W
Т = const > то v. = V,. Тогда z = = —; z = 9,6 • 109 с-1. 1 2 Л2 1,27 At
5.125. В сосуде объем К = 100см3 находится масса т = 0,5 г іазота. Найти среднюю длину свободного пробега Л молекул азота.
Решение:
средняя длина свободного пробега молекул (см. задачу — кТ
&120) Я =—j=—г—. Из уравнения Менделеева — Кла- V2па р
„ т, mRT т kpV т
нейрона pV = , тогда Я = г- , ; Я = 23,2нм.
MV «$2па mR
5.126. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого р -1,7 кг/м3. Средняя длина свободного пробега его
їлолекул Я =79 нм. Найти диаметр а молекул углекислого газа. Решение:
Средняя длина свобвдного пробега молекул (см. задачу
5.Л21) Л = -=—?- . Молярная масса углекислого газа
y/2na2pNA
р~рс+2р0; р = 44• 10"3кг/моль. Из формулы для Я:
= J- г- ^—- ; а = 0,35 нм. VV2прЫАЛ
5.127. Найти среднее время г между двумя последовав ными столкновениями молекул азота при давлении р = 133 Г температуре t = 10° С.
Решение:
Имеем т= —, где v= № —средняя арифметичес v у кр
— кТ
скорость молекул, Я = г— — средняя ДЛ)
л/2 о рк
свободного пробега молекул (см. задачу 5.113). Отел
Г- - • г = 1 6 • 10"7 с
42а2ртг4тТ Aa-pJnR '
5.128. Сосуд с воздухом откачан до давле р = 1,33 • 10"4 Па. Найти плотность р воздуха в сосуде, чи молекул п в единице объема сосуда и среднюю дл: свободного пробега Я молекул. Диаметр молекул возд а = 0,3 нм. Молярная масса воздуха р = 0,029 кг/м( Температура воздуха t = 17° С.
Решение:
Основное уравнение молекулярно-кинетической ТЄО{ р = пкТ . Отсюда концентрация п = ; п = 3,32 • 1016 р
Средняя длина свободного пробега молекул Я =
42тгст'
Я = 75.33 м. Из уравнения Менделеева — Клапейр<
¦jt m m рр 9 з
pV - — RT плотность p = — -?J— \ p-1,6-10 кг/м . У p V RT
5.129. Какое предельное число n молекул газа должно на диться в единице объема сферического сосуда, чтобы молек) не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул г А = 0,3 нм, диаметр сосуда D = 15 см.
Решение:
Чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, средняя длина свободного пробега должна быть не меньше
диаметра данного сосуда. A>D> ! , отсюда
п< г- , = 1,7-1019 м~3. л/2 ttct2D
5.130. Какое давление р надо создать внутри сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом, если диаметр сосуда: a) D = \m; б) ?> = 10см; в) ?> = 100см? Диаметр молекул газа <т = 0,3 нм.
Решение:
Средняя длина свободного пробега молекул (см. задачу — кТ
5.120) ——. Чтобы молекулы не сталкивались
Ы2ка р
, откуда давление
I
D = 10 см; Р = 94,2 МПа; в) при D = 100 см; /? = 9,42МПа.
5.131. Расстояние между катодом и анодом в разрядной 'трубке */ = 15см. Какое давление р надо создать в разрядной трубке, чтобы электроны не сталкивались с молекулами воздуха |на пути от катода к аноду? Температура воздуха t = 27° С. ^Диаметр молекул воздуха <т = 0,3 нм. Средняя длина свободного ^пробега электрона в газе приблизительно в 5,7 раза больше ' Средней длины свободного пробега молекул самого газа.
друг с другом, необходимо, чтобы x>D. Рассмотрим пре-? Средняя длина свободного пробега молекул воздуха — кТ
Коъ =~7=—2— (см- заДачУ 5.120). Чтобы электроны не v2 kg р
стакивались с молекулами воздуха, необходимо, чтобы средняя длина свободного пробега электронов была не меньше расстояния между катодом и анодом, т. е. Я^ > d.
— — 51кТ
По условию Яэл = 5,7ЯВ03, отсюда d < —г— . Тогда
-41kg р
5 1кТ
давление должно быть р < —Л——-; р < 394 мПа.
42kg d
5.132. В сферической колбе объемом К = 1л находится азот. При какой плотности р азота средняя длина свободного пробега молекул азота больше размеров сосуда?
Решение:
4 з 4
Т.к. колба сферическая, то ее объем V =—kR =—кх
,3
[ D V 7iD> _ ^ J6V _
хI — I = ——. Отсюда диаметр колбы и = з/— . Средняя
длина свободного пробега молекул (см. задачу 5.121)
Я = г- ^ . По условию Я >?>, следовательно,
V2 KG' pNK
\j-— < у— ^ . Значит, плотность должна быть
V Я V2KG~pNA
р<-=— V . ; р<9,38-10"7кг/м3. 42kg2NA346V/K
5.133. Найти среднее число столкновений z в единицу времени молекул некоторого газа, если средняя длина 266? свободного пробега Л =5 мкм, а средняя квадратичная скорость его молекул = 500 м/с.
Решение:
— V
Средняя длина свободного пробега молекул Л = — . Тогда
z
V
среднее число столкновении в единицу времени z = -=¦.
л
Поскольку средняя квадратичная скорость молекул
Vv2 = J =л/3Л/—, то J— Средняя арифме-
V /и V w V /и v3
_ [Ш
*шческая скорость молекул v =
V Я77?
УІЯ/ЗтгЇЇ 7 -1
г = = ; z = 9,21-10 сек .
Л
5.134. Найти коэффициент диффузии D водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега
Л - 0,16 мкм. Решение:
По определению коэффициент диффузии D= — vA, где
v= I — средняя арифметическая скорость молекул.
V 71 М
$сйгда коэффициент диффузии водорода при нормальных
условиях D = -J—; D = 9,06-10"5 м2/с. З у я/и
5.135. Найти коэффициент диффузии D гелия при нормальных условиях.
1 I8RT
Коэффициент диффузии (см. задачу 5.134) D = — .
З у пр
Длина свободного пробега молекул (см. задачу 5.120) — кТ
Л = ——. Тогда коэффициент диффузии гелия «І2ла~р
^ 1 SRT кТ _ „ ^ _ , _ _s ->. т=——; D = 8,25-10 5 м"/с.
З у пр V2пегр
5.136. Построить график зависимости коэффициента диффузии D водорода от температуры Т в интервале 100 < Т < 600 К через каждые 100 К при р - const = 100 кПа.
Решение:
3,50 TD, 10*6 м2/с
1 8RT кТ
100 200 300 400 500 600 Коэффициент диффузии определяется следующим соот-
Подставив чис-
пр 4Ї:
ношением D =—уЛ :D
3 3
па р
з
ловые данные, получим Z) = 2• Ю~10Г2. Характер зависимости коэффициента диффузии D от температуры Т дан на графике. 268? 5.137. Найти массу т азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 5 = 0,01м2 за время г = 10 с, если градиент плоскости в направлении, перпендикулярном к площадке, Ар/ Ах = 1,26 кг/м4. Температура азота / = 27°С. Средняя
длина свободного пробега молекул азота Я = 10 мкм. Решение:
По закону Фика m = -D^-ASAt. Знак минус означает
Лк
направление вектора градиента плотности, и т. к. масса не Может быть отрицательной, то ее следует взять по модулю.
1 [8RT
Коэффициент диффузии (см. задачу 5.134) D=— Л.
З у кр
1 №. АР лол Масса азота т - — Л -1— AS At; /72 = 19,9г.
З у яр Ах
5.138. При каком давлении р отношение вязкости некото- |Юго газа к коэффициенту его диффузии ц/ D = 0,3 кг/м3, а средняя квадратичная скорость его молекул = 632 м/с?
Решение:
Коэффициент диффузии газа и его динамическая вязкость определяются следующим соотношением: (v —
средняя арифметическая скорость, Я — средняя длина свободного пробега молекул); r\ = \^vAp. Таким образом,
^ = р — плотность газа. Согласно уравнению Менде-
j^iji
яеева — Клапейрона pV = — RT или р = —— . Отсюда
И М
RT p u l=f \3RT p v2
= —. Ho Vv" = I , следовательно, — = —, откуда
p p \ p p 3
~2 ~2 P • V 77 V
p = — или p-— ; /? = 39,9кПа.
^ " 3 D 3
5.139. Найти среднюю длину свободного пробега Я молекул гелия при давлении /? = 101,ЗкПа и температуре f = 0°C, если
вязкость гелия 77 = 13 мкПа с. Решение:
Коэффициент вязкости rj = —/ТУЯ , где v = л — сред-
3 у яр
няя арифметическая скорость молекул. Из уравнения Менделеева — Клапейрона pV--RT выразим
И
/77
плотность pV =—ЯГ . Тогда коэффициент вязкости
м
l?? **ТЛ Отсюда средняя длина свободного 3 RT\ яр
. ЗДГ Гя/Г 3 [яЯГ 3 ,
прооеі а молекул Я= 77 J—— = — п ; Я = 182нм.
/?// V 8ЯГ р \ 8р
5.140. Найти вязкость 77 азота при нормальных условиях,
если коэффициент диффузии для него D = 1,42 • 10"5 м2/с. Найти диаметр молекулы кислорода, если при температуре вязкость кислорода.
Решение: Коэффициент диффузии газа и его динамическая вязкость определяются следующим соотношением: ?> = j\U (v — 270 средняя арифметическая скорость, Я — средняя длина свободного пробега молекул); ц=\л'Ар. Таким образом,
І = р — плотность газа. Согласно уравнению Мен-
/// JR.
делеева — Клапейрона pV = — RT или р-~— . Отсюда
И И
RT р RT pD pDp
— = — или = -—, откуда rj = ; ;; = 17,8 мкПас.
р р р г/ RT
5.141. Найти диаметр а молекулы кислорода, если при температуре / = 0° С вязкость кислорода 77 = 18,8 мкПа/с.
Решение:
Динамическая вязкость кислорода определяется соотно-
I I8RT
шением // = — vAp — (1), где v = I средняя ариф-
3 у пр
т кт
Метическая скорость молекул, Я = -т=—— — средняя
л/2яст р
длина свободного пробега, — плотность газа.
Йодставляя эти выражения в (1), получим ц = ^ 1 л>
Ъко V Rk
I 2k \уТ
откуда о = -—J-T-- ; сг - 0,3 нм. у 3ТЛІ У Rtt
5.142. Построить график зависимости вязкости 77 азота от температуры Г в интервале 100 < Т < 600 К через каждые 100 К.
271 Г, К
—і—
300
—I—
400
100
3,Е+01 -іЛ,мкГТа-с 3,Е+01 - 2.Е+01 - 2,Е+01 - 1,Е+01 5,Е+00 О.Е+ОО
600
500
200 Динамическая вязкость азота определяется соотношением 1_т _ 8 RT
— средняя арифмети-
i]=-vAp — (1), где v =
З у кр — кТ
ческая скорость молекул, Я = —,=—— — средняя длина
Л/2 kg р
свободного пробега, р = — плотность газа. Под-
RT
2к \МТ
ставляя эти выражения в (1), получим ?]=
Ъко V Riг 2 к
Величина
Ъпо1
¦J— =const *10~6, тогда ?7 = 10"бл/Г. V Д/т
Характер зависимости вязкости от температуры Т дан на графике.
5.143. Найти коэффициент диффузии D и вязкость іj воздуха при давлении р = 101,3 кПа и температуре / = 10° С. Диаметр молекул воздуха а = 0,3 нм. 272
Коэффициент диффузии (см. задачи 5.134 и 5.135)
В = — -/——— г-Т , ; Z) = l,45-10"4r/c. Кроме того, 3 V 7ГЦ *j2ncrlp
коэффициент диффузии D = , а коэффициент вязкости
1] = —— гЯ . Таким образом, г} = pZ), где плотность р 3 Р
можно выразить из уравнения Менделеева — Клапейрона
Т/ DT 111 РР Т РР ТЛ
pV = — RT, отсюда р = — = Тогда
р V RT RT
?і = 18,2мкПа-с.
5.144. Во сколько раз вязкость кислорода больше вязкости азота? Температуры газов одинаковы.
Решение:
Коэффициент вязкости (см. задачу 5.139)
Средняя длина свободного пробега молекул
V яр
Г 1 т 1 рр SRT 1 _
Я = —г= — • Тогда 77 = —jLJ—J г= Т. к. темпе-
77 3 RT у пр 42п<72п ( V СГ,
71\ Р\
РАТУРА ГАЗОВ ОДИНАКОВА, ТО — = !—
\A\J
ЛІ \РГ
; -!ZL = 107. ъ 5.145. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при некоторых условиях равны D = 1,42 • 10~4 м2/с и ;/ = 8,5 мкПас. Найти число п молекул водорода в единице объема.
Решение:
Коэффициенты вязкости и диффузии связаны соотно-шением rj = pD (см. задачу 5.143). Отсюда плотность
р = —. Число частиц в единице объема n=—NA = : D ppD
п = 1,8-1025 м"3.
5.146. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D -1,22 • 10"5 м2/с и 77 = 19,5 мкПа с. Найти плотность р кислорода, среднюю длину свободного пробега Л и среднюю арифметическую скорость v его молекул.
Решение:
Коэффициент диффузии газа и его динамическая вязкость определяются следующим соотношением: Z) = jvA (v —
средняя арифметическая скорость, Л — средняя длина свободного пробега молекул); ?j=^VAp. Таким образом
Л з
= р — плотность газа р-1,6 кг/м . Средняя ариф-
І8 RT
метическая скорость v= I — (2); согласно урав-
V
т
нению Менделеева — Клапейрона pV = — RT или, после
- v RT р RT v2K
несложных преобразовании, = —, но из (2) = .
// р р 8
р Vі и pv27r „
следовательно, — = , откуда р = . Средняя
р 8 8
длина свободного пробега молекул Л = ,— \—, где
4Ісг2ті
p pv2TT pR kp . 0_
n-~?— = — = s— отсюда a — —т=—-r ; Я = 83,5 нм.
кТ 8 кТ кр 4Їa27tpR
3D
Из уравнения (1) v = —; v = 440 м/с.
Я 5.147 Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром D - 0,3 мм? Диаметр молекул воздуха & =• 0,3 нм. Температура воздуха t = 0° С. Считать, что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
Решение:
%2l каплю действует сила тяжести и сила еопротивления воздуха. По второму закону
Ньютона mg + Fconp = ma . Когда капля достигнет максимальной скорости ускорение а станет равным нулю, тогда mg = F . По
Закону Стокса F = 6тгг/п>тах. Каплю считаем
Іваром, поэтому ее объем V = "j^7*3 а масса
4 , 4 я
m = pV =—ягр. Тогда имеем —7irpg = bjvrjrv. Отсюда
. Ar-pg 2{р/if pg D2pg „ , , r= — = — 7 = — . Коэффициент вязкости
18/; 9П 18>7
_100Ч \ рр Шг. 3 кТ
. задачу 5.139) 77 = — Я, гДе ^ =
3 RT у кр ' 4lna2p'
їогда, искомая, максимальная скорость дождевой капли vr=D2pg3RTyf27ra2p Г^Г = <ІЇР2pgNАтга2 ГУрГ, 18 рркТ \8RT 6р \8RT 9
v = 2,73 м/с.
5.148. Самолет летит со скоростью v = 360 км/ч. Считая, что воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости,
275? d = 4 см, найти касательную силу Fs , действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воздуха <т = 0,3нм. Температура воздуха t = 0° С.
Решение:
Av
По закону Ньютона F^ = -r/—AS . Знак минуса означает
направление градиента скорости, поэтому нас интересует
^ с ^тр Av
модуль силы. Сила на единицу площади Fs =—~ = rj—.
AS Ах
В нашем случае Av = v и Ax = d. Коэффициент вязкости
/ < 11С1 < 1У1-7Ч 1 РР кТ
(см. задачи 5.139 и 5.147). г- 2 =
3 RT\ цп -J2na р
р [8RT _ р \Шт v
- ' Отсюда Fo = '
3y/lNAna2 V лр s з4їNAna2 \ пр d
Fo= 44,77 mH/M2.
5.149. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны г = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой п = 360 об/мин. Для того чтобы внутренней цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = 1,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость 77 газа, находящегося между цилиндрами.
Решение:
Av
По закону Ньютона для вязкости F =-t]—AS. Про-
и Ах
странство между цилиндрами Ах = R-r . Линейная скорость вращения внешнего цилиндра Av = Ln , где L = 2nR — длина окружности внешнего цилиндра. Тогда Av = 27tRn . Площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра AS = 2nrh . По третьему закону Ньютона, касательная сила 276
§? == -F =;і—AS. Следовательно, F = rj 2m-h = p Ax R-r
An2Rrnh _ F(R~r) ^
й/7 . Отсюда rf = — ; /7 = 17,92 мкПас.
/?-г An'Rrnh
5.150. Найти теплопроводность К водорода, вязкость кото- 1] = 8,6 мкПа-с. решенне:
^эффициент теплопроводности К = —сгрусрЯ, а коэф-
J_
деент вязкости = — русрЯ . Отсюда следует, что коэф-
3
_
3
[иенты теплопроводности и вязкости связаны соотно-шением К = сут]. Теплоемкость при постоянном объеме
і R . с
, где 1 = 5, т.к. водород — двухатомный газ.
2//
Іогда су = ——, поэтому ? = ——7; Я" = 89,33 мВт/(м-К). 2 р 2 //
5.151. Найти теплопроводность /Г воздуха при давлении р>=100кПа и температуре / = 10° С. Диаметр молекул воздуха
0,3 нм. И&шение:
коэффициент теплопроводности К =jCypVcpA . Средняя
кТ
Чяина свободного пробега молекул Я = ———. Средняя
Ы2я<у р
ISRT
арифметическая скорость v = . Из уравнения Мен-
V W
in
Щ$леева — Клапейрона рV = — RT, плотность p = m/V =
И
_PJ? Хеплоемкость при постоянном объеме RT ' 2 ц'
где для воздуха / = 5 . Тогда коэффициент тепло-
„ 1 і R рц ISRT кТ ik проводности К — р=——; К = —== .х
3 2 р RT у яр 42яагр 6VW х jZRT/яр \К= 1ЗДмВт/(м-К).
5.152. Построить график зависимости теплопроводности К от температуры Т в интервале 100<Г<600К через каждые 100К.
Решение: г, к
I
—і—
300
0,14 т Вт/(м-К) 0,12 - 0,10 - 0,08 - 0,06 - 0,04 - 0,02 0,00
400 500
600
100 200 Имеем vXcvp — (1), где v = г^ — (2);
З у яр X =
J^— (3); p-S^- — (4). Удельная тепло- л/2 яо~ р RT
емкость. водорода cv -10400 Дж/кг-К. Подставляя = 2ксу_ Г/Г Jf
За' \Rn-
уравнения (2) — (4) в (1), получим К нйй Я = 5,4-10"3л/г. Характер зависимости теплопроводности К от температуры Т дан на графике.
5.153. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4 • 10" моле- гісул двухатомного газа. Теплопроводность газа К - 14 мВт/(м-Ю. Йайти коэффициент диффузии D газа.
решение:
Коэффициент теплопроводности К = cvpvX/3, а коэффициент диффузии D = vX/3, следовательно, коэффициенты теплопроводности и диффузии связаны соотношением K = crpD. Теплоемкость при постоянном объеме
cv = ——, где / = 5 , т. к. газ двухатомный. Число частиц в 2р
р pVN
единице объема n= — NA, а в объеме V N = п V = ———,
Р М
pN 5 R pN _ 5?vVZ)
отсюда р = —— . Тогда К = —; D = , откуда
VNA 2 р VNa IV
IVК
?> = ——; D = 2,02-10"5м2/с. 5 kN
5.154. Углекислый газ и азот находится при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение: •) коэффициентов диффузии; б) вязкостен; в) теплопровод- ностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми. ие:
Желтей а) Коэффициент диффузии (см. задачу 5.135) Z) = jX
і _
Д
= 0,8.
А б) Коэффициент вязкости (см. задачу 5.148)
// І8ЯТ 7/, 1/Г 77,
7J • ТогДа -J ; — = U:).
3tJ2Na7T
„ ік [8ЛГ Кх /, СГ а:, по,
К=—=—- , тогда -ТГ-.А j -7- = 0,96.
6л/2л*<Т V 2 12 V ^
Расстояние между стенками дьюаровского сосуда d = 8 мм. При каком давлении теплопроводность воздуха, находящегося между стенками сосуда, начнет уменьшатся при откачке? Температура воздуха t = \l°C. Диаметр молекул воздуха g = 0,3 нм.
Решение:
Теплопроводность воздуха между стенками сосуда начинает уменьшаться, когда средняя длина свободного пробега молекул станет равной расстоянию между стен-
кТ
ками сосуда, т. е. Л = d . Т. к. Л = —j=—т— (см. задачу
ы2ко р
кТ
5.120), отсюда p=—j=—7—; р = 1,25 Па. V2 K
термоса Ь- 20 см. Температура льда =0°С, температура наружного воздуха /2 = 20° С. При каком предельном давлении р воздуха между стенками термоса теплопроводность К еще будет зависеть от давления? Диаметр молекул воздуха сг = 0,3 нм, а температуру воздуха между стенками термоса считать равной среднему арифметическому температур льда и наружного воздуха. Найти теплопроводность К воздуха, заключенного между стенками термоса, при давлениях рх =101,3 кПа и
р2=13,ЗмПа, если молярная масса воздуха р- 0,029 кг/моль. 280
ЇСакое количество теплоты Q проходит за время At ~ 1 мин через боковую поверхность термоса средним радиусом г = 9,5 см при давлениях рх =101,3 кПа и р2 = 13,3 мПа?
Решение:
Теплопроводность начнет зависеть от давления при средней длине свободного пробега молекул Я -d, где d —
— кТ
расстояние между стенками термоса. Т. к. Я = -=—, то
Л/2 kg р
— кТ
Шри Л = d получим р = —г=—— = 980мПа. При
V 2лз d
р^ІОІ.ЗкПа коэффициент теплопроводности (см.
ік ІЯЯГ
іадачу 5.151) Kt = ' _ І— = 13,1 мВт/(м-К). При
6у!2к<7 V кр
|>2=13,ЗмПа средняя длина свободного пробега Я Польше расстояния d между стенками термоса. Тогда
3 3 \ кр RT 2р 6 \ крТ
Иодставляя числовые данные, получим ЛГ2 =178 мВт/(м-К).
А Т
количество теплоты Q = К AS At. Но AS = 2nrh -
Ах
в2nh~—- = 7th(rx + r-y). Тогда Q = К кИ{гх + г2 )• At.
2 " Ах
Йодставляя числовые данные, получим Q{ =188 Дж; Цг = 2,55 Дж.
5,157. Какое количество теплоты Q теряет помещение за вре- ИНМ = 1 час через окно за счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь каждой рамы S = 4 м2, Шсстояние между ними Решение:
Количество теплоты, перенесенное за время t вследствие
а т
теплопроводности, определяется формулой Q = К S • t.
Ах
Воспользуемся уравнением из задачи 5.152, выражающим зависимость теплопроводности К от температуры Т:
К = . Здесь Т — температура воздуха между
Т\+Т-)
рамами, Т= 1 2 =272 К; удельная теплоемкость воздуха cv =717Дж/кг-К; молярная масса воздуха // = 0,029. Подставив числовые данные, найдем
Т-у-Т,
Учитывая, что Ах = d, имеем Q = К— S-t;
d
Є = 24кДж.
5.158. Между двумя пластинами, находящимися на расстоянии d = 1 мм друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур AT = 1 К. Площадь каждой пластины 5 = 0,01 м2. Какое количество теплоты Q передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за время t = 10 мин? Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекул воздуха а = 0,3 нм.
Решение:
Количество теплоты, перенесенное за время t вследствие
АТ
теплопроводности, определяется формулой Q = К S • t.
Ах
Воспользуемся уравнением из задачи 5.152, выражающий 282? зависимость теплопроводности К от температуры Т:
_ 2Кс{ liT Здесь Т = 273 К. Удельная теплоемкость ' Зет V tz2R
воздуха су = 717 Дж/кг-К; молярная масса воздуха fl- 0,029. Подставив числовые данные, найдем
$Г = 13-10~3Вт/м-К. Учитывая, что Ax = d, имеем Л т
g = K — St; Q = 24 кДж. а
5.159. Масса = 10 г кислорода находится при давлении р = 300кПа и температуре / = 10° С. После нагревания при р = const газ занял объем К = 10л. Найти количество теплоты g, полученное газом, изменение AW внутренний энергии газа иработу А , совершению газом при расширении.
(Решение:
•Количество теплоты, полученное газом определяется сле-дующим соотношением: Q = —С AT — (1). Молярная те-
М
ялоемкость кислорода при р = const Ср = 29,1 Дж/моль-К. Запишем уравнения состояния газа до и после нагревания.
рУл = — Д7] — (2); pV, =—RT\ — (3). Вычитая из урав- И И
/77
йения (3) уравнение (2), получим р(у2-У,l) = —RAT — т? т
(4). Из (2) V{ =!!L!lh. _ (5). Выразим из (4) АТ с учетом ИР jupV-, - mRTx
— W- AUI да у t
рр
(5): ат = -л мр_л = мрг2-шч _(6) т
MR mR /14 ^ ^ (jjpV,-mRTx) нение (1) можно записать в виде Q = С - —;
pR
Q = 7,92 кДж. Изменение внутренней энергии'кислорода
AW=——RAT или, подставляя (6), AW =——х 2 // 2 р
x(ppV2 -mRTx)\ AW = 5,66кДж. Работа, совершаемая при
' 2
изменении объема газа А = р jc/V = р(У2 - Vx) или, с уче mRTx ИР )
том (5), А = р
V2~
; А = 2,26 кДж. 5.160. Масса т = 6,5 г водорода, находящегося при темпе-ратуре t = 27° С, расширяется вдвое при р = const за счет при-тока тепла извне. Найти работу А расширения газа, изменение АРУ внутренний энергии газа и количество теплоты О, сооб-щенное газу.
Решение:
2 Г
Работа расширения газа A = pjdV = p(2V-V) = pV. Со-
г
гласно уравнению Менделеева — Клапейрона pV= — RT
Р
работа A= — RT; ^4 = 8,1Дж. Изменение внутренней Р
энергии AW=~—RT, где / = 5. Т. к. р = const, то 2 р
— = —, следовательно, — = — = 2. Отсюда Т-,=2Т и Тх Т2 Vx Тх -
AT = Т-у -Тх = 27j - 7] =ТХ =( + 273° . Тогда AW = ~RTX;
2 р? AW = 20,25 кДж. Согласно первому началу термодинамики Q = AW + A; 2 = 28,35кДж. 5.161. В закрытом сосуде находится масса тх =20 г азота и масса т2 = 32 г кислорода. Найти изменение AW внутренней энергии смеси газов при охлаждении ее на АТ = 28 К.
Решение:
т і
Изменение внутренней энергии газа AW = RAT. Для
Р 2
двухатомных газов количество степеней свободы / = 5,
следовательно, для смеси кислорода и азота имеем;
AW = 1 кДж.
f \ т\ + т2
\Pi Pi)
AW=-RAT 2
5.162. Количество г = 2кмоль углекислого газа нагревается ііри постоянном давлении на А7 = 50К. Найти изменение AW внутренней энергии газа, работу А расширения газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.
Решение:
Изменение внутренней энергии газа AW=——RAT. В
Р 2
условиях данной задачи AW = v3RAT; AW = 2,5 МДж. Ра- Іота, совершаемая при расширении газа, А = pAV . Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона pAV = — RAT,
Р
АТ/ inRAT . mRAT _А_ яшедовательно, AV = , тогда А = = vRAT ;
РР Р
4 = 0,83 МДж. Количество теплоты, сообщенное газу,
Q = v-СрАТ. Молярная теплоемкость углекислого газа Ср = 33,2 Дж/моль-К. Є = 3,32 МДж.
5.163. Двухатомному газу сообщено количество теплоты Q = 2,093 кДж. Газ расширяется при р = const. Найти работу А расширения газа.
Решение:
Т. к. по условию давление постоянно, то количество тепла,
сообщенное газу Q = с тАТ, где с = и / = 5, т. к.
р 2 р
7 R 1 m
газ двухатомный. Тогда с = и Q = RAT. Измене-
2 р 2 р
5 77/
ние внутренней энергии = ЯДГ . Из первого зако-
2 И
1 til
на термодинамики следует, что A = Q-AW= RAT -
2 р
5/7/ m lm m 2 Q
RAT = — RAT . Т. к. Q = RAT, то —RAT ,
2 /и ju 2 // fu 1
следовательно, работа расширения газа А = »
А = 598 Дж.
5.164. При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена работа А = 156,8 Дж. Какое количество теплоты Q было сообщено газу?
Решение:
Количество теплоты, сообщенное газу, dQ = CpdT, откуда
h
Q-Cp^dT; Q = Cp(Tl-T2) — (1). Работа, совершаемая
h
V\
при расширении газа, dA — pdV\ A = p^dV\ А = рх
x(V2-Vx). Из уравнения Менделеева — Клапейрона pAv = vRAT, тогда А = vR(T2 - 7]) — (2). Решая совместно 286
А 7
(І) и (2), получим g = C_ —, где C=v-R. Отеюда
vR 2
<2 = |л; Q = 550Дж.
5.165. В сосуде объемом V = 5 л находится газ при давлении р = 200 кПа и температуре / = 17° С. При изобарическом расширении газа была совершена работа Л = 196Дж. На сколько на-грели газ?
Решение:
Воспользуемся уравнением (2) из предыдущей задачи.
А = vRAT, откуда АТ = —. Согласно уравнению Менде-
vR
леева — Клапейрона pV = vRT, откуда v = pV/RT. Тогда AT
АГ = ——; АГ = 57 К.
pV
5.166. Масса m = 7 г углекислого газа была нагрета на АТ = 10 К в условиях свободного расширения. Найти работу А расширения газа и изменение AW его внутренней энергии.
Решение:
Работа по расширению газа А = vRAT = — RAT (см. урав-
Р
Йение (2) из задачи 2.164), ^4 = 13,2Дж. Изменение внут-
111 і
Ценней энергии газа AW = RAT , для С02 — і = 6,
р 2 ^—RAT^
згогда A W = 3
, т. е. AW =ЗА ; AW = 39,6 Дж.
М ) 5.167. Количество v = 1 кмоль многоатомного газа нагре-вается на АГ = 100 К в условиях свободного расширения. Найти
287
количество теплоты Q, сообщенное газу, изменение ДIV его внутренней энергии и работу А расширения газа.
Решение:
Работа расширения газа (см. задачу 5.160) A= — RAT =
И
= vRAT; А = 831 кДж. Изменение внутренней энергии
AIV = ——RAT, где / = 6, т.к. газ многоатомный, тогда 2 //
AW = 3vRAT ; AW = 2,49 МДж. Согласно первому закону термодинамики Q = AW + A; Q = 3,32 МДж. 5.168. В сосуде под поршнем находится масса т = 1г азота. Какое количество теплоты О надо затратить, чтобы нагреть азот на ДГ = 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня М = 1кг, площадь его поперечного сечения S -10 см2. Давление над поршнем р = 100 кПа.
Решение: р wM Щ
Согласно первому закону термодинамики Q = AW + A. Изменение внутренней энергии
газа AW=——RAT, где количество степеней 2 М
свободы / = 5 , поскольку азот двухатомный газ. Работа газа по подъему поршня (см. задачу
5.160) A= — RAT. Тогда количество теплоты
необходимое для нагрева азота Q = ——RAT+ — RAT =
2 ju ju
7 ///
= RAT : 0=10,39 Дж. При расширении газ совершает
2 /л
работу против сил тяжести и против сил атмосферного
7)1
давления. Тогда А = (Mg + pS)Ah, но т. к. А = — RAT , то
№? (Mg + pS)Ah =—RAT. Отсюда найдем Ah = —-;
M M{Mg + pS)
Ah = 2,7 см.
5.169. В сосуде под поршнем находится гремучий газ. Какое цсрличество теплоты Q выделяется при взрыве гремучего газа, если известно, что внутренняя энергия газа изменилась при этом ца Д*Г = 336Дж и поршень поднялся на высоту ДЛ = 20см? Масса поршня М - 2 кг, площадь' его поперечного сечения S = 10 см2. Над поршнем находится воздух при нормальных условиях.
Решение:
Работа гремучего газа по подъему поршня (см. задачу §.168) A = (Mg + pS)Ah. Согласно первому закону термо- ршамики Q = A + AW = (Mg + pS)Ah + AW ; Q = 360,12 Дж.
5.170. Масса т = 10,5 г азота изотермически расширяется при Температуре t = -23° С, причем его давление изменится от рх = 250 кПа до р2 =100 кПа. Найти работу А , совершенную Еазом при расширении.
Решение:
Работа, совершаемая при изотермическом изменении обът
ема газа, А = RT—ln—, где Т = 250 К. Из закона Бойля — М v\
V D
Мариотта pxVx = p->Vy следует, что —2-поэтому
'-V\ Pi
работа А = RT—ln—; А = 713,85 Дж. М Pi
До-зге* 289
5.171. При изотермическом расширении массы т - Юг азота, находящегося при температуре t = 17° С, была совершена работа А = 860 Дж. Во сколько раз изменилось давление азота при расширении?
Решение:
Работа, совершаемая при изотермическом расширении (см.
задачу 5.170), А = RT—ln— . Отсюда In — = , тогда
М Р2 Pi RTm AM RTm
Р\
— = ехр Рг
; — = 2,72. Рг 5.172. Работа изотермического расширения массы ти = 10г некоторого газа от объема F, до V2 = 2Vl оказалась равной
А = 575 Дж. Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа при этой температуре.
Решение:
v2
Работа по расширению газа dA - pdV, откуда А = J pdV.
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона
pV =—RT, следовательно, р = . Тогда работа р pV
. cm nrrdV т К _
A = —Лі—=—RT In—. Откуда выразим температуру І p V р Vx
Т=—^ =—— (1). Средняя квадратичная с ко-
I3RT „ _ ДГ Л
рость молекул \v = . Из (1) — , тогда
р р mini
V w/«2
5Л73. Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотермически расширяется от объема Vx -1 л до У2 = 2 л. Найти работу А, совершенную газом при расширении, и количество оплоты Q, сообщенное газу.
решение:
работа, совершаемая при изотермическом изменении объема газа, А = RT—ln—. Из уравнения Менделеева — /' v\
Клапейрона pVx= — RT, тогда работа A = pVlln—\
/< . У\
А = 70 Дж. согласно первому закону термодинамики Q=AW+A, но т. к. Т = const, то изменение внутренней энергии AW = 0, поэтому здесь Q = A ; Q = 70 Дж.
5.174. При изобарическом расширении газа, занимавшего Объем У = 2 м\ давление его меняется от рх = 0,5 МПа до
р2 = 0,4 МПа. Найти работу А , совершенную при этом. Решение:
'Работа, совершаемая при изотермическом расширении газа, A = vRTln(см. задачу 5.172). Согласно уравнению
Менделеева — Клапейрона pxVx=vRT\ p2V2=vRT,
откуда т = ?&; Тогда A =
vR ' p2 vR Vxp2vR
a = Plvx In—\ A = 223 кДж.
Pi
5.175. До какой температуры t2 охладится воздух, находящийся при /, = 0° С, если он расширяется адиабатически от °бьема Fj до У2 = 2 Ух ?? Воздух в первом приближении можно считать азотом, т.е. число степеней свободы / = 5. Показатель адиабаты
ср
/= —, где с =
Си
i + 2R iR і+ 2
— и = —, тогда у = -—;
2 ju 2 (л 2 y-i
/V ^ . Т.к.
по
/ = 1,4. Из уравнения Пуассона — =
\Уи 0.4
і _
Отсюда
= 2
условию V2 = 2Vl, то
Т =206,89 К. 5Л 76. Объем Vx = 7,5 л кислорода адиабатически сжимается до объема V2 -1 л, причем в конце сжатия установилось давление р2 = 1,6 МПа. Под каким давлением находится газ до сжатия?
Решение:
Согласно уравнению Пуассона pVY = const, где пока-
Ср
затель адиабаты у = —для кислорода / = 1,4;
Су 4V
; рх = 95 кПа.
P\v\ = Pivi. откуда р{ = р2 5.177. При адиабатическом сжатии воздуха в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания давление изменится от рх = ОД МПа
до =3,5 МПа. Начальная температура воздуха t =40° С.
Найти температуру воздуха в конце сжати 292 решение:
Показатель адиабаты для воздуха (см. задачу 5.175) Pi \Pi)
і _
где
Из уравнения Пуассона —
Т-у ; Т; = 862.86 К.
у-1
( Y
А
кРи
U =273 К. Тогда Т2 5.178. Газ расширяется адиабатически, причем объем его увеличивается вдвое, а термодинамическая температура падает в раза. Какое число степеней свободы /' имеют молекулы Ярого газа?
решение:
Показатель адиабаты (см. задачу 5.175) у- —— • Из ^ \VA гт ПО
уравнения Пуассона —
Т->
— . По условию — = 1.32 и
V т
- \v\ J ll
§> = 2, тогда 2У~] =//?1,32 или (— -і1./и2 = Ы,32 .
У<\ V 1 J
Отсюда —- = — = lllli^L = о(4 . Тогда /' = — = 5 . / / In 2 0.4
5.179. Двухатомный газ, находящийся при давлении А-2МПа и температуре г, =27° С, сжимается адиабатически ^объема Fj до К = 0,5 Г,. Найти температуру г2 и давление р2 ;Газ^ после сжатия.
Решение:
Показатель адиабаты для двухатомного газа у = 1,4 (см. ,уЛГ
задачу 5.175). Из уравнения Пуассона — =
Рг
т ґгг V"1
V,
у^у
или
v d
I _
г,
. По условию — = 0,5 , тогда — = 0,5 і 4,
Рг
р2 = 5,28МПа; Тх/Т2 = 0,5й"1, Т2 =395,85К =122,85°С. 5.180. В сосуде под поршнем находится гремучий газ, занимающий при нормальных условиях объем Vx = ОД л. При быстром сжатии газ воспламеняется. Найти температуру Т воспламенения гремучего газа, если известно, что работа сжатия А = 46,35 Дж.
Решение:
Процесс быстрого сжатия гремучего газа в первом приближении можно считать адиабатическим. Гремучий газ представляет из себя смесь водорода и кислорода, а т. к. оба газа двухатомные, то показатель адиабаты (см. задачу 5.175) / = 1,4. Работа, совершаемая над газом при
адиабатическом сжатии, А = ^Г1^2 ч ^. Отсюда
(r-tyl
AT [у — l)
Т - т* = —LM—L тогда температура воспламенения РУх
АТ(у -1)
РЇЇ
гремучего газа Т2 = ———- + 7] = Тх
РУх
Т2 =774,13 К.
5.181. В сосуде под давлением находится газ при нормальных условиях. Расстояние между дном сосуда и дном поршня h = 25 см. Когда на поршень положили груз массой m - 20 кг, поршень опустится на АЛ = 13,4 см. Считая сжатие адиаба-
ЛРіеским, найти для данного газа отношение ср/ су . Площадь 110деречного сечения поршня S = 10 см2. Массой поршня пренебречь.
решение:
с
Т к. по условию сжатие адиабатическое, то — = у — по-
Су
fvV
казатель адиабаты. Из уравнения Пуассона — = —^
Pi V Ki У
Когда на поршень положили груз, давление стало равным mg Т1
р2~Р\+—— • Начальный и конечный ооъемы соот- S
ветственно равны У] = Sh и V2 = s(h - Ah), тогда
h
. Чтобы выразить у. прологарнфми-
% h - Ah „ p] (h-Ah)" = . Следовательно, — = I или
У\ ' h />, + mg / S
Pi Jh-AhY p{S + mg V h J
,( PlS ) f h-Ah}
руем полученное выражение ln\ 1 \ = yln\ ;
{P]S + mgj V h J
ЯД.Д, = hi(PyS/{pyS + mg))_hi(PyS)-hi(PS + mg) Су hi((h-Ah)/h) ln(h-Ah)-lnh
Подставив числовые значения, пол>чнм — = 1,4 .
S.182. Двухатомным газ занимает объем 1\ = 0,5 л при дав-лении р = 50кПа. Газ сжимается адиабатически до некоторого °бъема У2 и давления р2. Затем он охлаждается при V2 = const До первоначальной температуры, причем его давление становится равным ро=100кПа. Начертить график этого
пР°Цесса. Найти объем У: и давление р2.
Для двухатомного газа (см. задачу 5.175) у = 1,4 . Из уравне
ния Пуассона — = Pi
ГуЛг
или
3- = ^-. Тогда Ti Pi
. Т. к. V2 = const, то
Pi Ро
— = —, откуда
у-1
Л, \
(л, \
Тг
— (1) и =
имеем
— (2). Разделим
Р2
Pi Ґт Л
Им)]
(1) на (2), тогда
V,
= —. Отсюда л = 132 кПа.
К2=^- = 0,25л. Из (1) р2=—^
Ро
{v2/vxy 5.183. Газ расширяется адиабатически так, что его давление падает от рх =200кПа до /?2=100кПа. Затем он нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным р-122 кПа. Найти отношение
ср / су для этого газа. Начертить график этого процесса. Из
Пуассона
Г \ Р\
і _
Т-)
КРг)
Pi Р — = — или
Решение: Р
Р
Рг А
Vе в\
уравнения
у-\
у
. Т. к. V = const, то
гул
= Тогда Ti Pi ( \ A
U;2>
JL =
Рг
r-1
Прологарифмируем полученное выражение
( \ II
к Рг j
( \ А
V Рг j
(ji] <Рг;
Р_
V Рг
( \ 1 п v — I
In — . Отсюда
или In 1
In
= ln
Г
1п(р/ р2)
. Окончательно
Г2І=1п{Р/Р2) или ^ = 1
у 1п{рх/р2) У 1п{рх/р2)
1
получим у = , — —гг = 1,4 .
\-{1п{р/ р2)/1п{рх/ р2))
5.184. Количество v = l кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется адиабатически от объема \\ до V2 = 5У}. Найти изменение ДW внутренней энергии газа и работу А , совершенную газом при расширении.
Решение:
Изменение внутренней энергии при адиабатическом процессе AW = -A или AW = ^vR{T2-T{). Из уравнения Для азота количество сте
Пуассона найдем Т2 = 7] -1
пеней свободы / = 5. Тогда AW = — vRT
2
5.185. Необходимо сжать воздух от объема Г, =10 л до V2-2 л. Как выгоднее его сжимать (адиабатически или изотермически)?
AW = -2.69 МДж; А = 2,69 МДж.
г
-Л
Ґ г, V
RT, т
Л -
1-
\V2J
у-1 JU
Решение:
Работа, совершаемая при адиабатическом сжатии.
, где у = —. Работа, совершаемая тґі V
при изотермическом сжатии, A2=RT—Отсюда
М ч
м _
= 1,4. Следовательно, выгоднее
i-fo'ViY _
А2 (у-1)/и(к2/к,)' А2
сжимать воздух изотермически. 5.186. При адиабатическом сжатии количества у = 1кмоль двухатомного газа была совершена работа Л = 146кДж. На сколько увеличилась температура газа при сжатии?
Решение:
Для двухатомного газа (см. задачу 5.175) / = 1,4. Работа
л RT\ 111
над газом при адиаоатическом сжатии А= 1 х
ґ Т \
= RTX Тх-Тг . Rv{T[-T1)_Rv&T
у-1 JLl
ъ
у-1
Т,
у-1
у-1
V
і J
. Отсюда
АТ=А(у і) АТх7К^ Rv
5.187. Во сколько раз уменьшится средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при адиабатическом увеличении объема газа в два раза?
Решение:
J7= тт
квадратичная скорость молекул V v = / , тогда
М
Для двухатомного газа (см. задачу 5.175) / = 1,4. Средняя
Д уз яті/у ШГТ~ Щ и „
Х~= = -V = 1 = — . Из уравнения Пу- K^J
ассона Tj / Г2 ={V2/V^ J 1, отсюда = ¦/-і
V
= 1,15. 5.188. Масса m = 10 г кислорода, находящегося при нормальных условиях, сжимается до объема К =1,4 л. Найти давление р2 и температуру t2 кислорода после сжатия, если кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.
Решение:
а) При изотермическом сжатии газа Т = const, поэтому Т2 = ТХ =273 К. Из уравнения Менделеева — Клапейрона
/77 /77 J^T
p2V2= — RT{, давление р2 = р2 = 506,39 кПа.
р ~ pV2
Ytt V
Работа при изотермическом сжатии A = RT—In—. Из
М v\
V р
закона Бойля — Мариогга P\Vx=p2V2 имеем — = —,
У\ Pi
тогда А = RT{ — In А; А = -1,14 кДж. б) Поскольку кисло- М Pi
род двухатомный газ, то у -1,4 (см. задачу 5.175). Из урав т (г/ У"1
к
(1) или = —(2)
т;
нения Пуассона — =
J
Pi U-6--I)]
_Уг
Ґ.Г \
или
Разделим (1) на (2) =
Ріт\
кУи р V Т
Vx = У2 2 1 . Согласно уравнению Менделеева — Клапей- Р\Т2
m Km г, mRT „ рона p->V2= — RT2, тогда Fj =- ^—= к Под-
m
P\
Р рхТ2 ИГ).
У2ИР\ mRTx j
Y
, откуда p2 =
{V2ppx/{mRTx)f '
ставим в (1) — Pi Y-1
ті -
Vim
\ Щ j
, откуда
p = 965 кПа. Подставим в (2) — T-y =
(Vim/(mRTx)Tx '
Г2 = 520 К. Работа при адиа т
RT, m
; Л = -1,605кДж.
батическом сжатии А =
у-\ р 5.189. Масса /;? = 28г азота, находящегося при температуре /,=40° С и давлении /?,=100кПа, сжимается до объема У2 =13 л. Найти температуру t2 и давление р2 азота после сжатия, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.
Решение:
а) При изотермическом сжатии газа (см. задачу 5.188)
tfi R Т
температура Т2 = Тх = 313 К = 40° С, давление р2 = 1 '
р-у = 200 кПа, работа А = ЛТХА = -1,8кДж.
М Pi
б) Давление р2 = у гг-; р2 = 264 кПа. Темпе-
{V2ppxAmRTx)J Т,
Т, =
ратура
()У1Ирх/{тВТх)У
Г, =413 К. Работа (
1-Ь
7;
/-1 //
і у
; Л = -2,08 кДж. 5Л90. Во сколько раз возрастает длина свободного пробега молекул двухатомного газа, если его давление падает в двое при расширении газа: а) изотермически; б) адиабатически?
Решение:
Средняя длина свободного пробега молекул (см. задачу
5Л20) Л - J^, . Тогда ^L = Ii?l ^ а) при изотер- V2;rcr"р Л[. 7| р2
? р
мическом расширении Т = const, поэтому — = — = 2 .
Л Pi
При адиабатическом расширении из уравнения
С \
El
у-1
у Р\
Ei К Pi
Пуассона имеем
у Л?
где
, тогда ~ =
Pi
А
? = 1,4; т.к. газ двухатомный (см. задачу 5.175). Л>
Следовательно, — = 1,64 .
Л
5Л91. Два различных газа, из которых один одноатомный, а Другой двухатомный, находятся при одинаковых температурах и занимают одинаковые объемы. Газы сжимаются адиабатически тэк, что объем их уменьшается вдвое. Какой из газов нагреется больше и во сколько раз?
Решение:
Показатель адиабаты (см. задачу 5.120) У одно-
і
Томного газа число степеней свободы /, = 3, поэтому
Ух = — = 1,67, а у двухатомного у = 1,4. Из уравнения Пуас- rv V-i
2
т
сона имеем — =
, откуда Т2 =7— 1 . По уело-
вию — = 0,5, следовательно, отношение температур T2 0,5у1"1
к к = 0,5Уі"/2 =1,2. Значит, больше нагре-
Т2г ОУ2"1 F
ется одноатомный газ в 1,2 раза.
5.192. Масса /и = 1кг воздуха, находящегося при давлении рх = 150 кПа и температуре /, = 30° С, расширяется адиабатически и давление при этом падает до р2 =100кПа. Во сколько раз увеличился объем воздуха? Найти конечную температуру г, и работу А , совершенную газом при расширении.
Решение:
Воздух в первом приближении можно считать двухатомным газом, поэтому показатель адиабаты /=1,4. Из (VJL
т~г Рх
откуда
уравнения Пуассона -L-L =
Pi
Pi V*
1 _
= 1,34. Кроме того, уравнение Пуассона может быть у-1
т,
откуда Т2 =
( \ Рх
)
{Р\/Pit
записано в виде: — =
\Рг)
Г, Т2 = 720 К. работа расширения газа при адиабатическом ЛГ, m у-1 М 1-
ГуЛ'* \V2J
ппоцессе А =
; А = 24 кДж.
5.193. Количество v = 1 кмоль кислорода находится при нормальнь1х условиях, а затем объем его увеличивается до у = 5У0. Построить график зависимости р = f{v), приняв за единицу по оси абсцисс значение V0, если кислород расширяется: а) изотермически; б) адиабатически. Значения давления р найти для объемов, равных: V0, 2V0, 3V0, 4V0 и 5V0. решение:
. изотерма
а) При изотермическом процессе по закону Бойля — Мариот- р
р V
та PoV0 = pV , откуда P = L~--
Ґ у V \VO J
б) При адиабатическом процессе из уравнения Пуассона
следует, что
Р откуда р
Ро
iv/v,y V 'о ЗГ0 4'о 5^о IS кПа (изотерма) 101,300 38,386 21.759 14,545 10.643 кПа (адиабата) 101,300 50,650 33,767 25,325 20,260
5.194. Некоторая масса кислорода занимает объем Vx = 3 л при температуре г, = 27° С и давлении рх = 820 кПа. В другом состоянии газ имеет параметры V2 = 4,5 л и р2 = 600 кПа. Найти Количество теплоты О, полученное газом, работу А , совершенную газом при расширении, и изменение AW внутренней энергии газа при переходе газа из одного состояния в другое: а) по участку АСВ ; б) по участку ADB.? Р Pi
D
Рг
а) По участку АСВ: Участок АС — изохора, т. е. А1 = 0, поскольку AV = 0. Следователь-
В но, Qx = AWX = RAT . Соглас-
2 р
У но уравнению Менделеева —
V V
2 Клапейрона pxVx = ™RTx — (1)
Р
///
и p2Vx =~RT, — (2). Вычтем уравнение (2) из (1), тогда Р
(Д -РгУ\ . Отсюда Q = А^ -
р z
0 = 1,65 кДж. Участок С В — изобара, следовательно,
А2 = Pityi Л2 = 0,9 кДж. Изменение внутренней энер-
5 т
гии AW2 = RAT. Согласно уравнению Менделеева —
2 р
Клапейрона p2Vx= — RTx — (3) и p2V2 =~RT2 — (4).
Р Р
Вычтем (3) из (4), тогда р2{У2 -Pi) =—RAT. Отсюда
Р
AW2= 2,25 кДж. Таким образом, на
всем участке АСВ : работа = Л = 0,9 кДж; изменение внутренней энергии AW = AW2 -AWx = 0,6 кДж. Согласно первому началу термодинамики количество тепла Q = AW + A = 1,5 кДж. б) Аналогично на участке ADB:
работа А = АХ = (V2 - Fj) = 1,23 кДж; изменение внутрен-ней энергии AW = AWX -AW2 = — px(V2-Vx)~ — (px -p2)x
x K2 = 0,6 кДж; количество тепла Q = AW + A-1,83 кДж. 304
5.195. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от нагревателя количество теплоты Qx = 2,512кДж. Температура нагревателя Г, =400 К, темпе-ратура холодильника Т2 = 300 К. Найти работу А , совершаемую машиной за один цикл, и количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.
Решение:
Работа, совершаемая тепловой машиной, определяется •выражением А = Qx - Q2 = rjQx, где Qx — количество
теплоты, полученное машиной от нагревателя, Q,
количество теплоты, отдаваемое холодильнику, rj —
Т -Т
к. п. д. машины, rj = — = 0,25 . Отсюда А = 630 Дж;
Є2=Є,-і = 1,88кДж.
5.196. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 2,94 кДж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты 02 = 13,4 кДж. Найти к.п.д. 77 цикла.
Решение:
А
К.п.д. цикла Карно ?]= (1), где Qx — количество
Qi
тепла, подведенного к рабочему телу. Т. к. по условию
Т —Т О —Q->
машина является идеальной, то ц = — = — — (2)-
Тх 0\
Сравнивая выражения (1) и (2), получим откуда 0, = A + Q7. Тогда rf = ; 7 = 18%.
a+q2
5.197. Идеальная тепловая машина, работающая по Ц"КЛУ Карно, совершает за один цикл работу А = 73,5 кДж. Темпе-
305 ратура нагревателя /,=100° С, температура холодильника t2 = 0° С. Найти к. п. д. т] цикла, количество теплоты Q, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q,, отдаваемое за один цикл холодильнику
Решение:
Т -Т
К. п. д. идеального цикла Карно rj = -1 -; 77 = 26,8 %. С
А А
другой стороны, 77 = — , откуда Q =—; Q{ = 274кДж.
а п
Т. к. машина идеальная, то количество тепла, отданное холодильнику Q2=Qi~A; 02 = 200кДж.
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Машина получает от нагревателя количество теплоты = 6,28 кДж. Найти к. п. д. rj цикла и работу А , совершаемую за один цикл.
Решение:
О-у
Поскольку — = 0,8, то Q2 = 0,8^ = 5,024 кДж. По усло-
Q\
вию, машина идеальная, значит, A = Q2-Ql; А=1,256 кДж и 7 = — ; 77 = 20%,
а
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух при давлении рх = 708 кПа и температуре ^=127° С
занимает объем V] = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 = 5 л; после адиабатического расширения объем стал равным V3 = 8 л. Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом 306
f
acnce цикла; в) полную работу А , совершаемую за весь цикл; ... к. п. д. ц цикла; д) количество теплоты О,, полученное от
^Нагревателя за один цикл; е) количество теплоты Q2, отданное Холодильнику за один цикл.
решение:
а) Запишем уравнение изотермы А І \ \ : ; : ;С У У
Г 2 ' 3
АВ: рУ =—RT{ — (1). По- Р fit Рх
скольку точка А принадлежит
т Р4
АВ, то рух - — RT{, откуда Рг
Р Р.
У У
r 1 Т 4
v = 0,427 моль
W_v= P\v\ .
Р
RZ
Ёогда (1) можно записать в виде pV = 0.427^ = 1,42 кДж.
Pv
По закону Бойля — Мариогга для точки В р? =
V-, ҐуЛГ
= 284кПа. Точки В я С принадлежат адиабате ВС, следовательно, p2V{ = р-У '{, откуда P\~Pi
.= 146 кПа. Уравнение изотермы CD имеет вид
pV = vRTi = РъУъ, отсюда Т2=Т, = 330 К. Коорди-
vR
4аты точек D и А удовлетворяют уравнению адиабаты DA, У1 v^.y
= Il г,
Следовательно, _ Р\
fy v
11
J
, откуда У4 =3,2 л. Кроме того,
UJ
, откуда p4 = px
Pa
= 365 кПа. Таким обра зом, координаты искомых точек: А(2;708), 2?(5;284), С(8;146), /)(3,2;365), здесь объем измеряется в литрах, Давление — в килопаскалях.
тп V
б) Работа на участке АВ (изотерма): AX=RTX—=
M V\
Ґ тг V"1
RZ m
Т
г-ЇМ Т,
= 620 Дж. Работа
\V2J
= 1300Дж. Работа на участке ВС (адиабата): яг; 111 г-1 м 1-
/и V
на участке CD (изотерма): А3 = RT2 -ln— = -1070Дж Т
RT пі
Работа на участке DA (адиабата): Л4 = —2—
у- 1/4
= -620 Дж.
в) Работа за полный цикл А = А1 + А2 + А2 + А4 = 230 Дж.
(т —Т)
г) К. п. д. цикла т] = 22 = 0,175.
Т]
д) Количество теплоты, полученное от нагревателя за один
А
цикл, <2 = —= 1300Дж. Л
е) Количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл Q2 = g, - А = 1070 Дж.
'2J
5.200. Количество v = 1 кмоль идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от Vx = 25 м3 до V2 = 50 м3 и давление изменяется
от рх = 100 кПа до р2 = 200 кПа. Во сколько раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем увеличился в 2 раза?
Решение:
Работа, совершаемая при цикле из двух изобар и двух изохор, Ai = px(У2 -У\)-р2(Уі {Pi ~Pi)(V2 -К); Л, =-2500кДж. Работа, совершаемая по циклу Карно, 308 |2 = 4из + 4ад + А2ю + А2ад • Из УраВНвНИЯ Менделеева —
pV
І^іапейрона pV = vRT имеем T = . Тогда температура
яри изотермическом расширении и сжатии соответственно
г ;= и Г2 = . Значит, работа при изотермическом ' vR vR
расширении и сжатии AUn = RTxvln2 = pvV} In2; J2ft3 = In 0,5 = p2V2 In 0,5. Идеальный газ является ©дноатомным, поэтому показатель адиабаты / = 1,67 (см. щцачу 5.191). Тогда работа при адиабатическом
гр \ У-1
у-1 /
Г
расширении и сжатии А]йл =
Р2У2
м
Л RT2
1-
1-
%
от
м
§юда А2 = p2V2
и А2ад — ~ т
V х 2 / N
2 J
РіУі РЇЇ
у-1
г
1-
1-
2 У
/«0,5 +
\
л;
__ PiYi y-i
v
/п2 + Подставляя числовые данные, получим: =-5198кДж,
зргда — = 2,1.
А
5.201. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает за один цикл работу Л = 37кДж. При этом она берет тепло от тела с температурой *2=-10°С и передает тепло телу с температурой /,=17° С. Найти к. п. д. 77 цикла, количество теплоты Q2, отнятое у холод- ного тела за один цикл, и количество теплоты <2,, переданное более горячему телу за один цикл.
Решение:
Поскольку холодильная машина работает по обратному Циклу, то для перехода тепла от менее нагретого тела к бо- нагретому необходимо, чтобы внешние силы совер-
309
шили положительную работу. Количество теплоты Q отнятое у холодного тела, вместе с работой внешних сил А равно количеству теплоты ft, переданному более
А 1-77
нагретому телу, Q2 = ft - А = — = А. Поскольку
П Ц
то е2 =360; ft =Є2+Л=379кДж.
-ч
Таким образом холодильная машина за каждый цикл передает более горячему телу количество теплоты 397кДж, из которых 37кДж за счет механической работы, а ЗбОкДж от холодного тела.
5.202. Идеальная холодильная машина работает как тепловой насос по обратному циклу Карно. При этом она берет тепло от воды с температурой /2 = 2° С и передает его воздуху с температурой /, = 27° С. Найти: а) коэффициент rj{ — отношение
количества теплоты, переданного воздуху за некоторый промежуток времени, к количеству теплоты, отнятому за это же время от воды; б) коэффициент щ — отношение количества теплоты,
отнятого за некоторый промежуток времени от воды, к затраченной на работу машины энергии за этот же промежуток времени (коэффициент г\г называется холодильным коэффициентом машины); в) коэффициент — отношение
затраченной на работу машины энергии за некоторый промежуток времени к количеству теплоты, переданному за это же время воздуху (коэффициент цъ — к. п. д. цикла). Найти соотношение между коэффициентами 77,, rj2 и щ.
Решение:
Согласно условию задачи V{-~ — 0)>
Ог
- О* Ъ - (3>- кР°ме
a Q\ -Qi а а
Т -Т
, к.п.д. цикла 7^= — - = 0,083. Из (3) имеем
п = 7-ч. Тогда из (1) rj,-—!— = 1,09. Из (2) имеем
1 і 1 і 1 ~ ?h і і J- = -1 = 1, откуда ?]¦> = — = 11.
Ij2 ' ъ
Идеальная холодильная машина, работающая по Й$?атному цикл}' Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре = 0° С кипятильнику с водой при рйпературе /,=100° С. Какую массу воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар массу = 1 кг вдды в кипятильнике?
бешеные:
Т-і
п. д. идеальной холодильной машины п = =— = 2,73 .
Щоличество тепла, отдаваемое холодильнику 02 = Ят2, где Л|=335кДж/кг — удельная теплота плавления льда. Количество тепла, принимаемое кипятильником О, Щь г = 2,26 МДж/кг — удельная теплота парообразования
ЮДЫ. С другой стороны, т] = —=-=—, откуда = (О, - Q2) =
Q\ ~ Qi
-Q2 или t]Ox - r/Q^ = 02. Отсюда 0{ = + ч) или
П
+;;) ^ /*/;/, /7
=—— — . Окончательно m, - , \; щ = 4,94 кг.
Ц " Л(і + 77)
Помещение отапливается холодильной машиной, работающей по обратному циклу Карно. Во сколько раз количество теплоты Q, получаемое помещением от сгорания
^Р06 в печке, меньше количества теплоты 0\ переданного помещению холодильной машиной, которая приводится в действие тепловой машиной, потребляющей ту же массу дров? Тепловой двигатель работает между температурами = 100° С и
t2 = 0° С. Помещение требуется поддерживать при температуре
/[ = 16° С. Температура окружающего воздуха t'2 = -10° С.
Решение:
Пусть к.п.д. тепловой машины т]=— а к.п.д.
rpt грі
холодильной машины г}' = — Тогда за счет коли-
Т{
чества тепла Q совершается работа А = rjQ, а помещению
Л
передается количество теплоты Q' = —. Отсюда
1
Q TJA [тх-т7)т:Д ^ _
— = —— = 4-1 = 3. Т. е. от сгорания дров в печке
Q і А [П-Т{)Т, Q
помещение получит в три раза меньше тепла, чем при отоплении его холодильной машиной.
5.205. Рабочий цикл идеальной паровой машины изображен на рисунке. В начале доступа пара из котла в цилиндр давление в нем возрастает при V0 = const от р0 до рх (ветвь АВ). При
дальнейшем поступлении пара до объема Ух поршень движется
слева направо при р, = const (ветвь ВС). При дальнейшем
движении поршня вправо доступ пара из котла в цилиндр прекращается, происходит адиабатическое расширение пара до объема V2 (ветвь CD). При крайнем правом положении поршня пар из цилиндра выходит в холодильник — давление падает при V2 = const до давления pQ (ветвь DE). При обратном движении
поршень выталкивает оставшийся пар при р0 - const; объем при этом уменьшается от V2 до У0 (ветвь ЕА). Найти работу А этой машины, совершаемую за каждый цикл, если К0=0.5л, 312
-:1,5 л, V2= 3 л, /?0=0,1МПа, /?,=1,2МПа и показатель адиабаты у = ср/сг =1,33. решение:
Из рисунка видно, что работа за один цикл равна А = АВС + АСО - АЕА или Р
т/Г Л/V"1"1 р
1-
у-1
-F0), подставляя числовые р\ данные, получим А = 1,92 кДж. В С ' к D А 1 Е V
V V
г j г 2 Паровая машина мощностью /> = 14,7 кВт потребляет за время / = 1 ч работы массу т - 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 33 МДж/кг. Температура котла = 200° С, температура холодильника /,=58°С. Найти фактический к.п.д. 77 йашины и сравнить его с к. п. д. ;/' идеальной тепловой
машины, работающей по циклу Карно между теми же температурами.
Решение:
Работа, совершаемая паровой машиной, A = Pt. Теплота, выделяемая при сгорании угля, Q = qm. Фактический
A Pt
К. п. д. машины 77 = — = —; 77 = 19,8 %. К. п. д. идеальной
Q qm
тепловой 77' = ILZZi = зо о/о Тх
Паровая машина мощностью Р = 14,7 кВт имеет илощадь поршня S = 0,02 м2; ход поршня h = 45 см. Изоба-рический процесс ВС ( рис.) происходит при движении поршня на одну треть его хода. Объемом V0, по сравнению с объемами
VX и V2, пренебречь. Давление пара в котле РХ =1,6 МПа, давление пара в холодильнике р2 = 0,1 МПа. Сколько циклов за время / = 1 мин делает машина, если показатель адиабаты / = 1,3? Р* Pi
Решение:
В С ->
К*
На изохорных участках работа ААВ = ADE=°> т- к- АК = 0. На
Pi
T изобарном участке АВС Т. К.
Е г/ 1
V по условию поршень проходит —
V V V
? 0 Г I Г 2
г т\ 1-І2.
хода. На адиабатном участке (см.
2
, где К =-57?. Из
V
г-1
задачу 5.200) ACD = p{V,
Т,
г Т;
или -
EL {Pi
/ л
Pi
, тогда
уравнения Пуассона — =
Z
Т-> V-1
Мт
1-
На изобарном участке АЕА = , тогда полная работа одного цикла
Y'X
1 2
4 = Авс + A D ~ аЕЛ =~P\Sh + т
-p2Sh:
Ах = 8,43 кДж. Работа, совершаемая за время t: Л, = Pt = 882 кДж, число циклов п = — = 104,6.
Ai
5.208. Цикл карбюраторного и газового четырехтактного двигателя внутреннего сгорания изображен на рисунке. При 314 первом ходе поршня в цилиндр всасывается горючее (в карбюраторных двигателях горючая смесь представляет собой смесь паров бензина с воздухом, приготовляемую в карбюраторах, в газовых двигателях рабочая смесь «газ — воздух» поступает из газогенераторной установки), при этом pQ = const и объем увеличивается от У2 до V\ (ветвь АВ). При втором ходе поршня горючее адиабатически сжимается от Ух до У2, при этом температура повышается от Т0 до 7j и давление — от ро Д° Р\ (ветвь ВС). Даіее происходит зажигание (взрыв) горючего от искры; при этом давление возрастает от р} до р2 при V2 - const и температура возрастает от Г, до Т2 (ветвь CD). Третий ход поршня — адиабатическое расширение горючего от У2 до У}, температура падает до Т3 (ветвь DE — рабочий ход). При крайнем положении поршня (точка Е) открывается выпускной клапан, давление падает при У\ - const до Pq (ветвь ЕВ). Четвертый ход поршня — изобарическое сжатие (ветвь ВА — выталкивание отработанного газа). Найти к. п. д. г} цикла, если степень сжатия Ух / У2 = 5 и показатель адиабаты у = 1,33.
Решение: К.и. д.цикла г}- —, где А — полная p E "с A В у Q Р.
работа за весь цикл и Q — коли- р2 чество теплоты, выделяющееся при сгорании горючего. Т. к. ААВ = -АВЛ Р\
Po
-(1). Но
И АСО = Аев - 0, то A = Abc-Ade =
V r-1 [v2j
Г,г V"1
1
FTC' и
Т Т
величина
= = поэтому (1) Ґ Т\ 1-І2. V г3,
т
. Т.к.
можно записать как А =—CV (Т0 - Т3)
И Г Л
ГГ-Г3
FA-?:З)
Q = -CV{T2-TX), ТО =
И Q Т2-ТХ 412 = 41,2%.
,, = 1-11 = 1 і—= 0, 5.209. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически до V2 - VX / 6 . Начальное давление /?,=90кПа, начальная температура f,=127°C. Найти давление рг и температуру /2 газа в цилиндрах после сжатия. Показатель политропы п = 1,3 .
Решение:
Уравнение политропического процесса pXV" = p2V2 . По Гт/V
у
, бткуда
\ ° /
условию V0= —, следовательно, p\V" = р2 6 откуда
V «У
PI - Р\' =934 кПа. Из уравнения политропического процесса TXV"~L = T2V2~L или Т^"-1 =Г2 Г,=7;.6'н =684,7 К. 5.210. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически так, что после сжатия температура газа становится равной t2 = 427° С. Начальная 316 -ї^мпература tx = 140° С газа. Степень сжатия V2/V} =58. Найти показатель политропы п.
решение:
уравнения политропического процесса (см. задачу
Т
5.209): Т2 = 7] • 5,8"-1 или = Прологарифмируем
Т Т
полученное выражение: 1п— = Ы5$п~х или 1п— = (п-\)х
Jj 7J
/"fa/Г.) і х/«5,8, откуда п = ~ '7 +1; п = 13 .
5.211. Диаметр цилиндра карбюраторного двигателя внутреннего сгорания D - 10 см, ход поршня /7 = 11 см. Какой объем V должна иметь камера сжатия, если известно, что начальное давление газа /?, = 0,1 МПа, начальная температура газа
= 127° С и давление в камере после сжатия р2 = 1 МПа? Какова будет температура t2 газа в камере после сжатия? Найти работу А, совершенную при сжатии. Показатель политропы п = 1,3 .
Решение:
Изменение объема в результате сжатия Vx-V2= Sh — (1), где S — площадь сечения цилиндра. Согласно уравнению
ГуУ
Пуассона — =
Pi
S = 7t-D2 / 4 = 7,85-10"3 м2. Решая совместно уравнения (1)
— (2). Площадь сечения цилиндра
си
и (2), найдем ^2=-?==—; Г2 =176-10"бм3. Уравнение
М-1
І Pi
Пуассона также можно записать в виде —L = {p\/pi)~>
Т2
откуда Tt = 680 К. Работа при сжатии A —II s Где
у-\ Тх
Vx =Sh + V2 =1,04.10_3м3; Л = 243Дж.
5.212. Найти к. п. д. rj карбюраторного двигателя внутреннего сгорания, если показатель политропы п = 1,33 и степень
V V V
сжатия: а) — = 4:6) — = 6; в) — = 8 .
V2 V2 V2
Решение:
К. п. д карбюраторного двигателя внутреннего сгорания Т-у-Т
L. Из уравнения политропического процесса Л
Г у У'"1 Л, V'4
. Тогда к. п. д.
, следовательно, Т-, = Ті
Т2 \V2j
/т, у-1
Tjfr/rJ'-'-^ IV, Tfi'/Vj-1 Uy v
а) Степень сжатия —- = 4, тогда rj = 36,7 %;
У2
б) Степень сжатия —L = 6, тогда rj = 44,6 %;
У2
в) Степень сжатия — = 8, тогда rj = 49,6 %.
5.213. Карбюраторный двигатель мощностью Р = 735.5 Вт потребляет за время / = 1ч минимальную массу т- 265 г бензина. Найти потери бензина на трение, теплопроводность и пр. Степень сжатия К, / V2 - 6,2 . Удельная теплота сгорания бензина <7 = 46 МДж. Показатель политропы п = 1,2. 318
V2
Pt
mq
; 77 = 0,22 = 22%.
фактический к. п. д. двигателя 77 Ґт. у1 ; 77'= 0,3 = 30%.
Теоретический к. п. д. 77' = 1 - Тогда потери бензина составляют 8%.
5.214. Цикл четырехтактного двигателя Дизеля изображен на рисунке. Ветвь АВ — в цилиндры засасывается воздух = 0,1МПа). Ветвь ВС — воздух адиабатически сжимается да давления рх. В конце такта сжатия в цилиндры впрыскивается топливо, которое воспламеняется в горячем воздухе и сгорает, при этом поршень движется вправо, сначала изобарически (ветвь CD ), а затем адиабатически (ветвь DE). В конце адиабатического расширения открывается выпускной клапан, давление падает до р0 (ветвь ЕВ ). При движении поршня влево смесь удаляется из цилиндров (ветвь ВА). Найти к.п.д. rj двигателя Дизеля. Решение:
довательно, а = - С р(т2 - т{) - (2), М
гДе 7] и Т2 — температура в начале и в конце расширения.
Участок ЕВ — изохора, следовательно, Qx = — Су(Т3 -Г0)
И
Полная работа цикла A = Ql-Q2 — р (1), где Q, — количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива (участок CD), Q2 — количество теплоты, отданное наружу (участок р ЕВ). Участок CD — изобара, сле С D цЧ Е А В
V V V
Г З Г 2
— (3), где Тъ и Т0 — температура в начале и в конце процесса. Подставляя (2) и (3) в формулу (1), имеем
A^Cybfa-Tj-fc-Tt)] - (4), откуда ц =
V Qx
1 Т -Т
= 1 —— (5). Кроме того, температуры Т0, Г. и
УТ2~Т1
можно выразить через Т2. Для изобары CD имеем Т V
= —= р — степень изобарического расширения, и, следовательно, ТХ=Т2/ р. Для адиабаты DE имеем ZL=
Тг
= 8у 1, где 8 •— степень адиабатического Г
расширения; следовательно, Тъ = —^. Для адиабаты ВС
8Г~ имеем — То
- є1"1, где є — степень адиабатическо- Т Т
го сжатия; следовательно, Т0 = = —. Подставляя
8 Р^
полученные значения Т0> 7] и Тъ в (5) и учитывая, что
я є і
Р = —, получим Г} = 1 -
8' ' ' у ег~х(р -\)
5.215. Двигатель внутреннего сгорания Дизеля имеет степень адиабатического сжатия є = 16 и степень адиабатического расширения 8 = 6,4. Какую минимальную массу m нефти потребляет двигатель мощностью Р = 36,8 кВт за время / = 1ч? Показатель адиабаты у = 1,3. Удельная теплота сгорания нефт» q = 46 МДж/кг. 320
A Pt Pt
К.п.Д. двигателя ?]- — =— — (1), откуда т= —. С
О mq rjq
By-1
другой стороны, 7 = 1 —^ — (2) (см. задачу
уєу [р-])
є 16
2.214). В условиях данной задачи р= — =— = 2,5;
8 6,4
f = 1,3; Ру = 3,29; р7-1 = 2,29; ^ =2,30; р-1 = 1,5. Цодставляя эти данные в (2), получим rj = 0,49 = 49% . Тогда т = 5,9 кг.
5.216. Найти изменение AS энтропии при превращении массы т = 10 г льда (t = -20° С) в пар (t„ = 100° С).
Решение:
Изменение энтропии при переходе вещества из состояния
2
1 в состояние 2 где, согласно первому началу
і Т
термодинамики, dQ = dU + dA = —CvdT + pdV . Т. к. из
уравнения Менделеева — Клапейрона давление р = —9
р V
7„ 777 — /77 7т_
®о =—CydT + dv . При переходе из одного агре-
гатного состояния в другое, общее изменение энтропии складывается из изменений ее в отдельных процессах. При нагревании льда от Т до Т0 (Т0 — температура плав-
JJi rj-1
ления) AS{ = f— = тсл , где сл = 2,1 кДж/(кг-К) - Т Т Т
Удельная теплоемкость льда. При плавлении льда
Ц—3268 321
=J—= где X = 0,33 МДж/кг — удельная
теплота плавления. При нагревании воды от Т0 до Т
т
п jJT т
= где св = 4Д9 кДж/(кг-К) -
г0 0
удельная теплоемкость воды. При испарении воды при температуре Тп Д$4 = f— = —, где г =2,26 МДж/кг —
J Т т 1 п хп
удельная теплота парообразования. Общее изменение
т *
энтропии AS = Д?| + Д?2 + AS3+ AS4; AS = тся In + +
Т Т0
Т тг
+ тсъ 1п— + ——; AS = 88 Дж/К.
5.217. Найти изменение А5 энтропии при превращении массы т = 1 г воды (t = 0° С) в пар (tn = 100° С).
Решение:
Общее изменение энтропии AS складывается из изме-нения энтропии ASj при нагревании массы т воды от температуры Т до температуры Тп и изменения энтропии
Т
AS-, при испарении массы m воды. = mcIn—, где
Т
с = 4,19кДж/кг-К — удельная теплоемкость воды. ту
AS2 = , где г = 2,26 МДж/кг — удельная теплота паро-
п (Ґ Т Л
* 1 ТТ1 г
; AS = 7,4 Дж/К.
с/л —+ —
т rnJ
образования. Тогда AS = т 322 5.218. Найти изменение AS энтропии при плавлении массы т = 1кг льда (/ = 0° С).
решение:
При, плавлении массы т льда при температуре Т имеем in Л
= где А - 0.33 МДж/кг — удельная теплота плавления. AS = 1209 Дж/кг.
5.219. Массу m = 640 г расплавленного свинца при температуре плавления /П1 вылили на лед ( / = 0° С). Найти изменение AS энтропии при этом процессе.
Решение:
Предположим, что система «свинец — лед» замкнута, т.е. потерь тепла во внешнюю среду не происходит и весь образовавшийся пар сконденсировался и остался внутри системы в виде воды. Тогда изменение энтропии системы AS будет складываться из изменения энтропии свинца AS{ при затвердевании, изменения энтропии свинца AS2 при охлаждении до t = 0° С и изменения энтропии льда при таянии AS,. Т. е. AS = AS] + ДS2 -f ASч. Задачу рассматриваем при условии, что льда имеется достаточное количество для поддержания температуры t = 0° С. Обозначим Г, =600 К — температура плавления свинца, 72 =273 К — температура льда. Имеем dSt -dOs/T или
AS{ = - -ША. ч где я = 22,6 кДж'кг — удельная тс-
І Т\ т\
°Лота плавления (кристаллизации) свинца. dS2 = от- ^^ dT Т
куда AS2 = f—2— = mcc In—, где cc = 126 Дж/(кг*К) —
7j Г Г1
удельная теплоемкость свинца. dS3 = —или AS3 = .
В соответствии с законом сохранения энергии Q3=Q{ +
(гп г \ . _ Л/я + ст(Тх - Т7) + 02 = Am + cm\Tx - Тг), отсюда Л?3 = — —.
Следовательно, полное изменение энтропии системы
а о і Т2 Лт + С7«(Г, - Т.) —
AS = + me,. In— + — —. Подставляя в
7] Г, Г2
полученную формулу числовые данные, окончательно получаем AS = - 0,64 '1Q3 + 0,64 • 126 ¦ (- 0,79)+
22,6-103-0,64+ 126-0,64(600-273) ^ 0 _ _ + — = 62,2 Дж/К.
5.220. Найти изменение AS энтропии при переходе массы 777 = 8 г кислорода от объема Pj = 10 л при температуре = 80° С к объему V2 = 40 л при температуре t2 = 300° С.
Решение:
Изменение энтропии при переходе вещества из состояния
2 ]0
1 в состояние 2 AS = =—, где, согласно первому началу
і Т
тп
термодинамики, dQ = dU + dA =—CvdT + pdV . Т. к. из
И
уравнения Менделеева — Клапейрона давление р= — х
М
'Г -
dO = — С, • dT + — —-dV . Тогда AS = ]-CrdT + * V И Р У І //
+ ; AS = ™ Сг + = 5.4 Дж/кг.
•J /л V Р А И V\
5.221, Найти изменение AS энтропии при переходе массы М - 6 г водорода от объема Ух = 20 л под давлением рх =150 кПа К объему У2 = 60 л под давлением р2 =100 кПа.
Решение:
777 Т 777 У
Имеем AS = —С|- In —— + — Rln — (см. задачу 5.220). Т. к.
р Г, р \\
из уравнения Менделеева — Клапейрона = ^29 то
Т\ РхУ\
. ш w К, m К, _ т р2
AS = — С,- In + — С, //7 — + —Rln—; AS = —С,- +
М Р\ Р v\ Р v\ м Рх т V
AS = 71 Дж/К.
Р Ух
5.222. Масса т = 6,6 г водорода расширяется изобарически от объема У, до объема К = 2УХ. Найти изменение AS энтропии при этом расширении.
Решение:
В предыдущей задаче мы выразили изменение энтропии
т ^ і Р-> т ^ і У->
Через параметры р и V : AS = — Сг In + — С In — .
/' Р\М vi
При р-const первое слагаемое обращается в ноль, тогда
AS= — С„//Д = 66,3 Дж/К. // л F,
5.223. Найти изменение AS энтропии при изобарическом расширении массы т = 8 г гелия от объема Vx = 10 л до объема V2 = 25 л.
Решение:
Изменение энтропии = где dQ = cpmdT, т.к.
1 ^
р = const. Теплоемкость при постоянном давлении
с,= тогда ^JlCpll1f,if!lR!nTfi =
і+ 2 т Т2
. 1. к. гелии — одноатомний газ, то число
2 р 7]
У\ V2
степеней своооды / = 3 . и т. к. р = const, то — = — или
Ті Т2
V Т 5 in V
следовательно. AS = -—RIn^-; А5' = 38,1 Дж/К. У\ Ті 2 р V,
5.224. Найти изменение AS энтропии при изотермическом расширении массы m - 6 г водорода от давления рх =100 кПа до давления р2 = 50 кПа.
Решение:
YYl Т YYl V
Имеем AS = — Cvln^ + — Rln^ (см. задачу 5.220). Т. к. р Тх р Vx
V-) Р\ , Т-, при изотермическом процессе - = -?-!-, а 1п— = 0, то
v\ Pi Ti
изменение AS энтропии при изотермическом расширении:
AS --RIN — = 17,3 Дж/К. М Pi
5.225. Масса /« = 10,5 г азота изотермически расширяется от объема Vx - 2 л до объема У2 = 5 л. Найти изменение AS энтропия при этом процессе.
решение:
2 dQ
Изменение энтропии Л5=[—, где dQ-pdV. Из
і Т
m
уравнения Менделеева — Клапейрона pV = — RT давле-
m RT m dV
ние p = , тогда dQ- — RT—, а изменение энтро-
p V p V
HI f dV 777 V
пии AS = — R\-— = — R!n-2-; AS = 2,85 Дж/К. p \ V p Vx
5.226. Масса m- 10 г кислорода нагревается от температуры $, =50° С до температуры /;=150°С. Найти изменение AS
Энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически; б) изо-барически.
Решение:
aj При изохорическом нагревании dQ = cvmdT, тогда из-
2 7
С dQ г dT і m „, Т-у _
членение энтропии AS = = cjn — Rin —. Т.к.
\ T J T 2 p Tx
•Кислород — двухатомный газ, то число степеней свободы
¦ 7 in Т
t = 5 и изменение энтропии AS = Rln—;
2 р 7j
AS = 1,75 Дж/К. б) При изобарическом расширении (см.
7 тп Т
ЗДачу 5.223), изменение энтропии AS = Rln—\
2 р Т{
= 2,45 Дж/К.
5.227. При нагревании количества v = 1 кмоль двухатомного газа его термодинамическая температура увеличивается от 7] д0 Т2 = 1,57]. Найти изменение AS энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобарически.
Решение:
Т. к. по условию газ двухатомный, то число степеней свободы / = 5. а) При изохорическом нагревании (см. задачу
2 Р 7] 2 7]
AS = 8,5 кДж/К. б) При изобарическом нагревании измене-
5.228. В результате нагревания массы m -22 т азота его термодинамическая температура увеличилась от 7] до Тг =1,27], а энтропия увеличилась на AS = 4,19Дж/К. При каких условиях производилось нагревание азота (при постоянном объеме или при постоянном давлении)?
Решение:
х m Т
Изменение энтропии (см. задачу 5.226) AS = ——RlriL^'i
2 fit Т{
причем если х = 7 , то р = const, а если * = 5, то V = const.
; г; х = 7 , значит, нагревание произ-
2 /7] j
Тогда л = водилось при постоянном давлении.
5.229. Найти изменение AS энтропии при переходе газа из состояния А в состояние В в условиях задачи 5.194, если переход совершается: а) по участку АСВ ; б) по участку ADB. а) По участку АСВ, изменение
D
ЭНТРОПИИ AS = ASac+ASCB4 ГДЕ Р
при Vx= const (см. задачу 5.226) Р[
С
В
V,
7 т „ . Г, д5ж, а при давле- л
2 // -I |
ло 7 ш П нии р2 = 5 = — Я х
2 м
x/w-^-- Тогда на всем участке /7? Г
АСВ AS = 1 — RIN-=~. Из уравнения Менделеева — Кла-
71
пеирона к, = — лі, имеем —R = і-. следовательно, І" /' Т\ М _ />2*2
AS
вая, что
или
- Z?l5±Zl _ Учиты
71
Г,
7; In
тг РгУ2 л с 7
— = ¦ - окончательно находим AS =—L/m—^ - •
Д? = 5,4 Дж/К. б) По участку ADB. изменение энтропии ГДЕ
' Ш'
Л ІУ
Г,
О
AS1 = ASAD + AS Zi
71
о 7 W _ . „ /77 _ ,
од = ~—7v In ——, отсюда, AS = / — а//7
71
71
71
2// или as^ZfifiД5 = 5.4Дж/К. Таким образом,
71 М
изменение энтропии AS не зависит от того, каким образом осуществляется переход газа из одного состояния в другое.
5.230. Объем Vx -1 mj воздуха, находящегося при темпе- РатУре /, = 0° С и давлении р, = 98 кПа, изотермически расширя-
329
ется от объема VX до объема Г2 =2VX. Найти изменение AS энтропии при этом процессе.
Решение:
При изотермическом расширении изменение энтропии (см.
тп V
задачу 5.225) AS = — Rln. Из уравнения Менделеева —
М Vx
Клапейрона plVl= — RTl имеем = тогда изме-
М М тх
нение энтропии AS = = = 500 Дж/К.
т\ vi т\ v\
5.231. Изменение энтропии на участке между двумя адиа-батами в цикле Карно AS = 4,19 кДж/К. Разность температур между двумя изотермами АТ = 100 К. Какое количество теплоты Q превращается в работу в этом цикле?
Решение:
Изменение энтропии AS = J-^г = -^r » откуда Т{ —
температура нагревателя. К. п. д. цикла Карно
Т,-Т, ATAS „ А
77 = — - = . С другой стороны, 7] = —, тогда
a т*а с* а
= откуда А = ASAT; А = 419кДж.
Еще по теме § 5. Физические основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики:
- ФАУСТОВСКОЕ И АПОЛЛОНОВСКОЕ ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ
- § 15. Понятие закона. Общие представления о детерминизме
- Законы Ньютона
- 1.11. По здравому смыслу и вопреки ему
- Творцы новых теорий
- Состояния и параметры вещества
- Атомы и молекулы
- 3.1. Термодинамические начала
- Первые тепловые машины
- 7.1 Солнце
- Заключение
- § 5. Физические основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики
- Классификация вибраиионных ххмико-механичееких покрытий
-
Альтернативные научные исследования по физике -
Основы физики -
Физика конденсированного состояния -
-
Архитектура и строительство -
Безопасность жизнедеятельности -
Библиотечное дело -
Бизнес -
Биология -
Военные дисциплины -
География -
Геология -
Демография -
Диссертации России -
Естествознание -
Журналистика и СМИ -
Информатика, вычислительная техника и управление -
Искусствоведение -
История -
Культурология -
Литература -
Маркетинг -
Математика -
Медицина -
Менеджмент -
Педагогика -
Политология -
Право России -
Право України -
Промышленность -
Психология -
Реклама -
Религиоведение -
Социология -
Страхование -
Технические науки -
Учебный процесс -
Физика -
Философия -
Финансы -
Химия -
Художественные науки -
Экология -
Экономика -
Энергетика -
Юриспруденция -
Языкознание -