§ 4. Механика жидкостей и газов
В задачах этого раздела используются данные таблицы 11 из приложения. Прежде чем приступать к числовым расчетам, необходимо представить все величины в единицах системы СИ.
4.1.
Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа т = 0,51 кг. Плотность газа Р = 7,5 кг/м0. Диаметр трубы D = 2 см.Решение:
За время t через поперечное сечение трубы проходит некоторый объем газа цилиндрической формы (масса этого
объема газа нам известна). V = = — — (1). Скорость
4 р
течения углекислого газа v = l/t. Из уравнения (1) найдем
, 4w 4??? _, _ .
I - —^—, тогда v = —^—; v = 0,12 м/с. xD~p KD~ pt
4.2. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м име-ется круглое отверстие диаметром d = 1см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.
Решение:
По теореме Бернулли + pgh2=-^~ или vf+2gh =
~v\ — (1), где v{ — скорость понижения уровня воды в сосуде, v2 — скорость вытекания воды из отверстия. В
о о v.S, силу неразрывности струи VLSL = v2S2, откуда v2 = —^
<$2
(2), где S{ — площадь поперечного сечения сосуда, S2 —
181 площадь поперечного сечения отверстия. Подставляя (2) в
/,Ч S2^2gh TTD2 ml2 (1), получим Vj = . . Так как 5, = и S2= ,
то v, = , v —. Поскольку d « D , то v, «—- J2gh. ¦Jd'-СҐ D2S При h = 0,2 M скорость vt = 0,8 мм/с. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии /7, от дна сосуда и на расстоянии h2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии / от сосуда ( по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если: a) h{=25 см, /?2=16см ; б) hx=\6 см, И2 = 25 см? Решение: ,2 * 2 По теореме Бернулли + pgh2 = или v2 + 2gh - = v2 — (1), где V| — скорость понижения уровня воды в сосуде, v2 — скорость вытекания воды из отверстия. условию Vj = 0, тогда v2 = 182 Решение: ШШ По закону сохранения энергии Wu = JVK, где Wn = mg&h - mg x x (/7, — /?2) — потенциальная энергия водного столба над н краном. 2 кинетическая энергия 2 вытекающей воды. mg(j\ -h2) = , отсюда v2 = 2g(h{ -h2) и v = ^2g(j\ -h2). а) При /?, = 0,02 м, 1\ = h2, следовательно, Д/7 = 0 и v = 0 . б) При /?, = 0,075 м, v = 1,04 м/с. в) При h{ = 0,1 м, v = 1,25 м/с. 4.5. Цилиндрической бак высотой h = 1 м наполнен до краев водой. За какое время / вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S2 поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высот,? /'? = 1 м от отверстия. Решение: В задаче 4.2 была получена формула, выражающая ско- S,j2gx рость понижения уровня воды в оаке \\ = , ~ _ . здесь JS[ — S2 За на х — переменный уровень время dt уровень воды в воды в баке, баке понизится S2J2g - S2 dx = v-dt = yfxdt. Решаем это уравнение: ї{ Л t = t=№ -J? 2Ц S2J2g о J* Sifeg Подставив числовые данные, получим t - 3 мин. 4.6. В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды V, = 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h - 8,3 см? Решение: Чтобы вода в сосуде была на постоянном уровне, необхо-димо, чтобы за одинаковые промежутки времени втекало и вытекало одинаковое коли- чество воды. v V lS с К = — = —= vS\ t t v, т с ШГ отсюда v = —. 5 4 площадь поперечного сечения 4 К Из — / отверстия, то скорость вытекания жидкости v = nd' т) . уравнения Бернулли = pgh, отсюда v = -J2gh . Тогда d2 = ; d = 4V, = 1,4 см. n^2gh 4.7. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 • 103 кг/м3. Решение: Уравнение Бернулли для установившегося движения 0V . идеальной несжимаемой жидкости р + + pgh = const. /TV2 В нашем случае при /7 = 0, р = —— = 250 кПа. 184? 4.8. По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах а и Ъ равна АЛ = 10 см. Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти скорость v течеь жидкости в трубе АВ Решение: Т. к. диаметры трубок Da = Dbi то площади поперечного сечения = — О)- В силу неразрывности струи vaSa = vhSb — (2). Из (1) и (2) va =vb=v. По фор муле Торричелли pga + —= = pgb, отсюда v2 / 2 = gb-ga = g(b -а). Т. к. b-a = Ah, то v2 = 2gAh и v = поперечного сечения широкой части трубки АВ равна Sx=2 см2, а узкой ее части и трубки abc равна S2 = 0,5 см2. Найти разность уровней Ah воды, налитой в трубку abc. Плотность воздуха р = 1,32 кг/м3. Решение: Объем воздуха, протекающий ^ времени через \ В за единицу « трубку АВ, = ^ЕЦТ^ПВАА у ІШШШІ отсюда v = —, где / — длина S струи, t — время, v — I /1 — скорость движения воздуха. V V л , V, = -L; v2= — l V, =8,33-10 м /с. Из формулы S{ S 2 ,2 2 Торричелли имеем + pm:igAh = ^в03V2 , откуда р V2 ' 1,75 мм. Д/7 = ^ 1 2Рвол8 V2 S2 У 4.10. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность р1 которой в 4 раза больше плоскости материала шарика. Во сколько раз сила трения F , действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик? Решение: По второму закону Ньютона FA -mg-F =0 — (1), где ?л=Р№ — (2); m = p,v — (3). Рг т Fk'-Ap-y—g = 4mg — (4). Преобразуя (1) е учетом (4), " Рг FT0 получим F— = 3mg или —= 3 . mg 4.11. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d - 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха /; = 1,2-10~5 Пас? Решение: Во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы. Сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F (силу Архимеда не учитываем). При увеличении скорости падения сила сопротивления растет. Максимальной скорости капля достигнет, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха станут равны, F = mg. По закону Стокса F - 67irjrv = Ixrjdv, тогда 37rrjdv = mg. Поскольку m = pV - p^—, где p — плот- 6 л 7 7td2 pgd2 ность воды, то 3 7T7]dv = pg , откуда v = ; 6 I877 v = 4,1 м/с. 4.12. Стальной шарик диаметром Решение: Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона mg-FA - F = 0 — (1), где масса шарика md3 т = pcV = рс — (2); сила Архимеда FA = pjg = pMg х 6 яг/3 х (3); сила сопротивления масла F -3nr\dv — (4) 6 по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), л после несложных преобразований получим 18rjv = d gx х (рс - рм), откуда = ^ s{Pc~pJ. ц = 2Па-с. 4.13. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами с/, =3мм и d2 = 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина 77 = 1,47 Па-с. Решение: Считая движение дробинок равномерным, запишем второй закон Ньютона в общем случае mg -FA-F = 0 — (1), где масса дробинки т = pcV = рс7кіг /6 — (2); сила Архимеда FK - prVg = pvg (3); сила сопротивления глицерина 6 F = 3>7rrjdv — (4) по закону Стокса. скорость v = — — (6). Подстави.3 уравнение (6) в (5), выразим время t за которое дробинка достигнет дна 1877/7 т 18 ф * = Р ( —ч- Тогда & = —-—т; At = 4 мин. 4.14. Пробковый шарик радиусом т* = 5мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v = 3,5 см/с. Решение: Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона FA-F-mg = 0 — (1), где масса шарика /77 = pnV = рп ~~~ — (2); сила Архимеда 4я?*" FA = pMVg = pMg—-— — (3); сила сопротивления масла F = блгтр-у — (4) по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим 18//v = 4r2g(pn - рм), откуда динамическая вязкость 1г2 я\р — р ) 7] = — —; 77 = 1,09Па-с. Кинематическая вязкость 9v масла v = 7/ / рм; v = 12,1 см2/с. 188 4.15. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус г = 1 мм которого и длина 1-2см. В сосуд напито касторовое масло, динамическая вязкость которого rj = 1,2 Па с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при h = 26 см. Решение: Объем масла, вытекающего за время t из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазейля: =¦ — (1), где разность давлении на концах 8 /?/ капилляра АР = pgh — (2). С другой стороны, = S'Vt = mr2v't — (3), где v'— скорость протекания масла через капилляр. Решая совместно (1) — (3), найдем Y fyyJi v' = —. в силу неразрывности струи VS' = vS , где 8 Iri S — площадь поперечного сечения сосуда, отсюда VS' vV2 „ г" pgh v = = —Окончательно имеем v-—. S R SlrjR h = 0,26 м скорость v = 3 • 10"5 м/с. 4.16. В боковую поверхность сосуда вставлен горизон-тальный капилляр, внутренний радиус которого г = 1 мм и длина / = 1,5 см. В сосуд напит глицерин, динамическая вязкость которого т] = 1,0 Па с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте /? = 0,18м выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина V = 5 см3? Решение: Объем глицерина, вытекающего за время t из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазейля 189 __ twuap V -— (1). Разность давлении на концах капилляра 8/77 обусловлена гидростатическим давлением жидкости, АР = pgh — (2). Подставив (2) в (1), выразим t: Wlri t = —-——; t = 1,5 мин. тег pgh 4.17. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте /7, = 5 см от дна сосуда. Внутренний радиус капилляра г -1 мм и длина / = 1см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого р = 0,9 • 10J кг/м3 и динамическая вязкость 77 = 0,5 Па-с. Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте h2 = 50 см выше капилляра. На каком расстоянии L от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол? Решение: 4 . По формуле Пуазейля V = —, где по закону Паскаля 8/77 перепад давления Ар = pgAh = pg(h2 - h{). Тогда mJtpg(lh - /г,) т/ V mJpg(h, -/?,) V = —, отсюда V. - — = v —. С 8/77 t 8/77 другой стороны, Vt=vS = vm-2 (см. задачи 4.6 и 4.9), 2 mJpg{fh - /2,) r2pg{fh ~ h\) следовательно, vm* = —; v=— v — — 8/77 8/77 скорость вытекания струи из капилляра. Далее рас-сматриваем движения струй вдоль осей JC и у, как не-зависимые, причем по л' движение равномерное, а по у — равнопеременное, поэтому x = vt и y = h{-——. В точке at2 падения струи на стол у = 0> соответственно hx = 0; 190 ,2 2/7, Щ t =—L; t= —L. Тогда струя падает на стол на рас- g V g r2pg(lu-h) \lh , стоянии L — x — vt = — v 1 — —L = 1 см. щ V g 4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность которого р = 0,9 • 103 KT/Mj и динамическая вязкость т] = 0,8 Па с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re < 0,5 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра D шарика. Решение: Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона mg-FA - F = 0 — (1), где масса шарика ж/3 ю = pcV = рс — (2); сила Архимеда FA = pMVg = рм х 6 ж1ъ xg (3); сила сопротивления масла F = 37rr]dv — (4) 6 по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим \Srjv = d2gx х(рс-рм), откуда v=° _ (5) Число рей_ I8/7 нольдса определяется соотношением Re = . По П условию Яе<0,5, тогда —^-<0,5 или, с учетом (5), 71 0,5. Отсюда D 4.19. Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Яе<3000 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр трубы), показать, что условия задачи 4.1 соответствуют ламинарному движению. Кинематическая вязкость газа v = 1,33 • 10"6 м2/с. Решение: Поскольку число Рейнольдса можно задать соотношением р Dv Re = —, то ламинарность течения жидкости сохранится у Dv при выполнении условия: —<3000. Подставив данные у задачи 4.1, получим 1805 <3000. Мы получили верное неравенство, следовательно, условия задачи 4.1 соответ-ствуют ламинарному движению. 4.20. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через поперечное сечение трубы протекает объем воды Vt =200см3/с. Динамическая вязкость воды г\ = 0,001 Пас. При каком предельном значении диаметра D трубы движение воды остается ламинарным? (Смотри условие предыдущей задачи.) Решение: Ламинарность течения жидкости сохранится при выполнении условия: < 3000 — (1). Скорость течения 1 і і воды V = —, в единицу времени V = /s где /— высота? 7rD I 1 4V, ——, откуда / = — 4 kD' цилиндра объемом Vt. Vt - —^—, откуда I = —j. Тогда 4V 4 V p v = —у, а неравенство (1) можно переписать: —— < 3)30, 7rD~ TTDij 4 V о откуда D < ; D < 0,085 м. ' ЗОООлт/ 7—3268