<<
>>

§ 4. Механика жидкостей и газов


В задачах этого раздела используются данные таблицы 11 из приложения. Прежде чем приступать к числовым расчетам, необходимо представить все величины в единицах системы СИ.
4.1. Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа т = 0,51 кг.
Плотность газа Р = 7,5 кг/м0. Диаметр трубы D = 2 см.
Решение:
За время t через поперечное сечение трубы проходит некоторый объем газа цилиндрической формы (масса этого
объема газа нам известна). V = = — — (1). Скорость
4 р
течения углекислого газа v = l/t. Из уравнения (1) найдем
, 4w 4??? _, _ .
I - —^—, тогда v = —^—; v = 0,12 м/с. xD~p KD~ pt
4.2. В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м име-ется круглое отверстие диаметром d = 1см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h = 0,2 м.
Решение:
По теореме Бернулли + pgh2=-^~ или vf+2gh =
~v\ — (1), где v{ — скорость понижения уровня воды в сосуде, v2 — скорость вытекания воды из отверстия. В
о о v.S, силу неразрывности струи VLSL = v2S2, откуда v2 = —^
<$2
(2), где S{ — площадь поперечного сечения сосуда, S2 —
181 площадь поперечного сечения отверстия. Подставляя (2) в
/,Ч S2^2gh TTD2 ml2 (1), получим Vj = . . Так как 5, = и S2= ,
d2Jlgh _ 4 4 d2 г—
то v, = , v —. Поскольку d « D , то v, «—- J2gh.
¦Jd'-СҐ D2S
При h = 0,2 M скорость vt = 0,8 мм/с.
На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии /7, от дна сосуда и на расстоянии h2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии / от сосуда ( по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если: a) h{=25 см, /?2=16см ; б) hx=\6 см, И2 = 25 см?
Решение:
,2 * 2
По теореме Бернулли + pgh2 = или v2 + 2gh -
= v2 — (1), где V| — скорость понижения уровня воды в сосуде, v2 — скорость вытекания воды из отверстия. По
условию Vj = 0, тогда v2 = Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда. Кран К находится на расстоянии h2 = 2 см от дна сосуда. Найти скорость v вытекания воды из крана в случае, если расстояние между нижним концом трубки и дном сосуда: а) Л, = 2 см; б) /?, = 7,5 см; в) /?, = 10 см.
182 Решение:
ШШ
По закону сохранения энергии Wu = JVK, где Wn = mg&h - mg x x (/7, — /?2) — потенциальная энергия водного столба над
н
краном.
2
кинетическая энергия
2 вытекающей воды. mg(j\ -h2) = ,
отсюда v2 = 2g(h{ -h2) и v = ^2g(j\ -h2). а) При /?, = 0,02 м, 1\ = h2, следовательно, Д/7 = 0 и v = 0 . б) При /?, = 0,075 м, v = 1,04 м/с. в) При h{ = 0,1 м, v = 1,25 м/с.
4.5. Цилиндрической бак высотой h = 1 м наполнен до краев водой. За какое время / вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S2 поперечного
сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высот,? /'? = 1 м от отверстия.
Решение:
В задаче 4.2 была получена формула, выражающая ско-
S,j2gx
рость понижения уровня воды в оаке \\ = , ~ _ .
здесь
JS[ — S2 За на
х — переменный уровень время dt уровень воды в воды в баке, баке понизится S2J2g
- S2
dx = v-dt =
yfxdt. Решаем это уравнение: ї{ Л
t =
t=№ -J? 2Ц
S2J2g
о J* Sifeg Подставив числовые данные, получим t - 3 мин. 4.6. В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды V, = 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр
d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне h - 8,3 см?
Решение:
Чтобы вода в сосуде была на постоянном уровне, необхо-димо, чтобы за одинаковые промежутки времени втекало и вытекало одинаковое коли-
чество воды.
v V lS с К = — = —= vS\
t t
v, т с ШГ
отсюда v = —. Т. к. S =
5 4
площадь поперечного сечения 4 К
Из
— /
отверстия, то скорость вытекания жидкости v =
nd' т) .
уравнения Бернулли = pgh, отсюда v = -J2gh . Тогда d2 =
; d =
4V,
= 1,4 см.
n^2gh 4.7. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью v = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 • 103 кг/м3.
Решение:
Уравнение Бернулли для установившегося движения
0V .
идеальной несжимаемой жидкости р + + pgh = const.
/TV2
В нашем случае при /7 = 0, р = —— = 250 кПа. 184? 4.8. По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах а и Ъ равна АЛ = 10 см. Диаметры трубок а и b одинаковы. Найти скорость v течеь жидкости в трубе АВ
Решение:

Т. к. диаметры трубок Da = Dbi то площади поперечного сечения = — О)- В силу неразрывности струи vaSa = vhSb — (2). Из (1) и (2) va =vb=v. По фор
муле Торричелли pga + —=
= pgb, отсюда v2 / 2 = gb-ga = g(b -а). Т. к. b-a = Ah, то v2 = 2gAh и v = 4.9. Воздух продувается через трубку АВ. За единицу времени через трубку АВ протекает объем воздуха Vt - 5 л/мин. Площадь
поперечного сечения широкой части трубки АВ равна Sx=2 см2, а узкой ее части и трубки abc равна S2 = 0,5 см2. Найти разность уровней Ah воды, налитой в трубку abc. Плотность воздуха р = 1,32 кг/м3.
Решение:
Объем воздуха, протекающий ^
времени через \
В
за единицу
«
трубку АВ, = ^ЕЦТ^ПВАА
у ІШШШІ
отсюда v = —, где / — длина S
струи, t — время, v — I /1 — скорость движения воздуха.
V V л ,
V, = -L; v2= — l V, =8,33-10 м /с. Из формулы
S{ S 2
,2 2 Торричелли имеем + pm:igAh = ^в03V2 , откуда
р V2 '
1,75 мм.
Д/7 = ^ 1 2Рвол8
V2
S2
У
4.10. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность р1 которой в 4 раза больше плоскости материала шарика. Во сколько раз сила трения F , действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?
Решение:
По второму закону Ньютона FA -mg-F =0 — (1), где
?л=Р№ — (2); m = p,v — (3). Из (3) V = — 9 тогда
Рг
т
Fk'-Ap-y—g = 4mg — (4). Преобразуя (1) е учетом (4), " Рг
FT0
получим F— = 3mg или —= 3 .
mg
4.11. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d - 0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха /; = 1,2-10~5 Пас?
Решение:
Во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы. Сила тяжести mg и сила
сопротивления воздуха F (силу Архимеда не учитываем). При увеличении скорости падения сила сопротивления растет. Максимальной скорости капля достигнет, когда сила тяжести и сила сопротивления воздуха станут равны, F = mg. По закону Стокса F - 67irjrv = Ixrjdv, тогда 37rrjdv = mg. Поскольку m = pV - p^—, где p — плот-
6
л 7 7td2 pgd2
ность воды, то 3 7T7]dv = pg , откуда v = ;
6 I877
v = 4,1 м/с.
4.12. Стальной шарик диаметром Решение:
Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона mg-FA - F = 0 — (1), где масса шарика
md3
т = pcV = рс — (2); сила Архимеда FA = pjg = pMg х
6
яг/3
х (3); сила сопротивления масла F -3nr\dv — (4)
6
по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1),
л
после несложных преобразований получим 18rjv = d gx х (рс - рм), откуда = ^ s{Pc~pJ. ц = 2Па-с.
4.13. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами с/, =3мм и d2 = 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На
сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина 77 = 1,47 Па-с.
Решение:
Считая движение дробинок равномерным, запишем второй закон Ньютона в общем случае mg -FA-F = 0 — (1), где масса дробинки т = pcV = рс7кіг /6 — (2); сила Архимеда
FK - prVg = pvg (3); сила сопротивления глицерина
6
F = 3>7rrjdv — (4) по закону Стокса. Подставив уравнение (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим \$j]v = d2g(pc ~рг) — (5). Здесь р. — плотность свинца, рг — плотность глицерина. При равномерном движении h
скорость v = — — (6). Подстави.3 уравнение (6) в (5),
выразим время t за которое дробинка достигнет дна
1877/7 т 18 ф
* = Р ( —ч- Тогда & = —-—т;
At = 4 мин.
4.14. Пробковый шарик радиусом т* = 5мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v = 3,5 см/с.
Решение:
Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона FA-F-mg = 0 — (1), где масса шарика /77 = pnV = рп ~~~ — (2); сила Архимеда 4я?*"
FA = pMVg = pMg—-— — (3); сила сопротивления масла
F = блгтр-у — (4) по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим 18//v = 4r2g(pn - рм), откуда динамическая вязкость 1г2 я\р — р )
7] = — —; 77 = 1,09Па-с. Кинематическая вязкость
9v
масла v = 7/ / рм; v = 12,1 см2/с. 188
4.15. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус г = 1 мм которого и длина 1-2см. В сосуд напито касторовое масло, динамическая вязкость которого rj = 1,2 Па с. Найти зависимость скорости v понижения уровня
касторового масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при h = 26 см.
Решение:
Объем масла, вытекающего за время t из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазейля:
=¦ — (1), где разность давлении на концах
8 /?/
капилляра АР = pgh — (2). С другой стороны,
= S'Vt = mr2v't — (3), где v'— скорость протекания масла через капилляр. Решая совместно (1) — (3), найдем
Y fyyJi
v' = —. в силу неразрывности струи VS' = vS , где 8 Iri
S — площадь поперечного сечения сосуда, отсюда
VS' vV2 „ г" pgh
v = = —Окончательно имеем v-—. При
S R SlrjR
h = 0,26 м скорость v = 3 • 10"5 м/с.
4.16. В боковую поверхность сосуда вставлен горизон-тальный капилляр, внутренний радиус которого г = 1 мм и длина / = 1,5 см. В сосуд напит глицерин, динамическая вязкость которого т] = 1,0 Па с. Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте /? = 0,18м выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина V = 5 см3?
Решение:
Объем глицерина, вытекающего за время t из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазейля
189
__ twuap
V -— (1). Разность давлении на концах капилляра
8/77
обусловлена гидростатическим давлением жидкости, АР = pgh — (2). Подставив (2) в (1), выразим t:
Wlri
t = —-——; t = 1,5 мин. тег pgh
4.17. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте /7, = 5 см от дна
сосуда. Внутренний радиус капилляра г -1 мм и длина / = 1см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого
р = 0,9 • 10J кг/м3 и динамическая вязкость 77 = 0,5 Па-с. Уровень
масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте h2 = 50 см
выше капилляра. На каком расстоянии L от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол?
Решение:
4 .
По формуле Пуазейля V = —, где по закону Паскаля
8/77
перепад давления Ар = pgAh = pg(h2 - h{). Тогда
mJtpg(lh - /г,) т/ V mJpg(h, -/?,)
V = —, отсюда V. - — = v —. С
8/77 t 8/77
другой стороны, Vt=vS = vm-2 (см. задачи 4.6 и 4.9),
2 mJpg{fh - /2,) r2pg{fh ~ h\)
следовательно, vm* = —; v=— v — —
8/77 8/77
скорость вытекания струи из капилляра. Далее рас-сматриваем движения струй вдоль осей JC и у, как не-зависимые, причем по л' движение равномерное, а по у —
равнопеременное, поэтому x = vt и y = h{-——. В точке
at2
падения струи на стол у = 0> соответственно hx = 0; 190 ,2 2/7, Щ
t =—L; t= —L. Тогда струя падает на стол на рас- g V g
r2pg(lu-h) \lh , стоянии L — x — vt = — v 1 — —L = 1 см.
щ V g
4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность которого
р = 0,9 • 103 KT/Mj и динамическая вязкость т] = 0,8 Па с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейнольдса Re < 0,5 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра D шарика.
Решение:
Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона mg-FA - F = 0 — (1), где масса шарика
ж/3
ю = pcV = рс — (2); сила Архимеда FA = pMVg = рм х
6
ж1ъ
xg (3); сила сопротивления масла F = 37rr]dv — (4)
6
по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим \Srjv = d2gx
х(рс-рм), откуда v=° _ (5) Число рей_
I8/7
нольдса определяется соотношением Re = . По
П
условию Яе<0,5, тогда —^-<0,5 или, с учетом (5),
71
0,5. Отсюда Dдельный диаметр шарика D = 4,6 мм.
4.19. Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Яе<3000 (если при вычислении Re в качестве величины D взять диаметр трубы), показать, что условия задачи 4.1 соответствуют ламинарному движению. Кинематическая вязкость газа v = 1,33 • 10"6 м2/с.
Решение:
Поскольку число Рейнольдса можно задать соотношением р Dv
Re = —, то ламинарность течения жидкости сохранится у
Dv
при выполнении условия: —<3000. Подставив данные
у
задачи 4.1, получим 1805 <3000. Мы получили верное неравенство, следовательно, условия задачи 4.1 соответ-ствуют ламинарному движению.
4.20. Вода течет по трубе, причем за единицу времени через поперечное сечение трубы протекает объем воды Vt =200см3/с. Динамическая вязкость воды г\ = 0,001 Пас. При каком предельном значении диаметра D трубы движение воды остается ламинарным? (Смотри условие предыдущей задачи.)
Решение:
Ламинарность течения жидкости сохранится при выполнении условия: < 3000 — (1). Скорость течения
1 і і воды V = —, в единицу времени V = /s где /— высота? 7rD I 1 4V,
——, откуда / = — 4 kD'
цилиндра объемом Vt. Vt - —^—, откуда I = —j. Тогда
4V 4 V p
v = —у, а неравенство (1) можно переписать: —— < 3)30, 7rD~ TTDij
4 V о
откуда D < ; D < 0,085 м.
' ЗОООлт/
7—3268
<< | >>
Источник: B.C. Волькенштейн. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физи. 1999

Еще по теме § 4. Механика жидкостей и газов:

  1. 1.3 Обзор существующих CAD/CAE программных пакетов
  2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  3. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
  4. Теория безопасности
  5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников  
  6. Механика Леонардо да Винчи
  7. Состояния и параметры вещества
  8. Двигатели внутреннего сгорания
  9. 7.1 Солнце
  10. 1. Хаос: от интуитивных представлений до математического описания
  11. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)