§ 6.8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ

В замкнутой системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию и уменьшает потенциальную. Отрицательная работа, напротив, увеличивает потенциальную энергию и уменьшает кинетическую.

Снова обратимся к уже рассматривавшейся простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня.

Под действием силы тяжести камень падает вниз. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня из одной точки в другую, равна изменению (увеличению) кинетической энергии камня:

А = AEk. (6.8.1)

В то же время эта работа равна уменьшению потенциальной энергии:

А = -А Ер. (6.8.2)

Так как в выражениях (6.8.1) и (6.8.2) левые части одинаковы, то равны между собой и правые части:

AEk = -AEp. (6.8.3)

Равенство (6.8.3) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли ее потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда вытекает, что

AEk + AEp = 0,

или

A(Ek + Ер) = 0. (6.8.4)

Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий равно нулю.

Величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называют механической энергией системы:

Е = Ek + Ер. (6.8.5)

Так как изменение полной энергии, согласно (6.8.4), равно нулю, то энергия остается постоянной: (6.8.6)

Е = Eh + Ер — const. Таким образом, в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется.

В этом состоит закон сохранения энергии. Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную или наоборот.

Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае 2

т v

2 и Ер = mgh, можно закон сохранения энергии запи

сать так: т v

+ mgh = const, или 2 2 mv 1 mv2

(6.8.7)

-х- + mghx = -=- + mgh 2 Это уравнение позволяет очень просто находить скорость камня i>2 на любой высоте h2 над Землей, если известна начальная скорость vx камня на исходной высоте hv

Закон сохранения энергии (6.8.6) обобщается для любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под Ек нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под Ер — полную потенциальную энергию системы.

Для системы, состоящей из двух тел массами тх и т2 и пружины (см. рис. 6.13), закон сохранения энергии имеет вид: т v.

mv

(6.8.8)

const.

+

2 k(Al) Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий. В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.?