§ 6.9. ИЗМЕНЕНИЕ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНИХ СИЛ

Докажем, что в рассматриваемой системе изменение энергии равно работе внешних сил.

Пусть рассмотренная нами система из двух тел — Земли и камня — незамкнута. На камень действует внешняя сила F.

та = F + mg. За некоторый промежуток времени камень совершит пере-мещение Дг, направленное вверх. Умножая обе части уравнения (6.9.1) скалярно на Дг, получим: ИЛИ
(6.9.2)
та • Дг = F • ДГ + mg • ДГ, та • ДГ - mg • ДГ = F • ДГ. Первое слагаемое слева есть изменение кинетической энергии камня. Действительно, при совпадении направлений векторов а и Дг получим (см. § 6.5): mv«

mv.

ДЕ*-

га

та • Дг = та\Аг\ = та

mg

Второе слагаемое уравнения (6.9.2) есть изменение потенциальной энергии: АЕр = -mg\Ar\. Обратите внимание: изменение потенциальной энергии системы равно работе только внутренних сил взаимодействия системы Земля — камень, но не работе внешних сил. Работа внешней силы определяется правой частью уравнения (6.9.2).

Поэтому равенство (6.9.2) можно записать так:

О

AEk + АЕр = ДЕ = АВИ, (6.9.3) где Е = Ek + Ер. Изменение полной механической энергии равно работе внешних сил.

Полученный вывод имеет общий характер. Можно показать, что он справедлив для любого числа тел, взаимодействующих посредством консервативных сил.

Внешние силы не меняют

потенциальную энергию системы

Подробное рассмотрение частного случая (системы Земля— камень) показывает, что внешние силы изменяют (совместно с работой внутренних сил) лишь кинетическую энергию системы. Потенциальную энергию системы они непосредственно не меняют. Изменение потенциальной энергии системы всегда определяется работой внутренних сил. Этот вывод имеет общее значение.

Работа системы над внешними телами

Работа силы, действующей на тело [см. формулу (6.2.1)], определяется силой и перемещением тела. Но рассматриваемое тело, согласно третьему закону Ньютона, действует на другое тело (или тела), и при этом тоже может совершаться работа. Однако вычислить эту работу мы не можем, так как не знаем перемещения других тел.

Нередко встречающееся утверждение о том, что работа внешних сил над системой равна работе А' сил системы над внешними телами с противоположным знаком

Авн = -А', (6.9.4)

не может быть верным во всех случаях.

Так будет лишь при условии, что тела рассматриваемой системы и внешние тела совершают одинаковые перемещения. А это имеет место далеко не всегда. Силы по третьему закону Ньютона обязательно равны по модулю и противоположны по направлению, но перемещения не обязательно должны быть равными.

Рис. 6.20

Рис. 6.21

-mg

В качестве примера рассмотрим две простейшие системы: земной шар (первая система) и падающий на него камень (вто- рая система) . Тогда силы тяготения и для Земли и для камня будут считаться внешними силами. Сила тяжести, приложенная к камню, совершит работу Авн = mgh, а сила, приложенная к Земле, никакой работы не совершит, так как земной шар не смещается (рис. 6.20): А' = 0.

Иное дело, если камень поднимают,^ например, рукой (рис. 6.21). Тогда работа внешней силы F,, приложенной к камню, равна и противоположна по знаку работе силы F2, приложенной к руке со стороны камня.

Точно так же работа, которую совершает двигатель, связанный ременной передачей со станком, равна по абсолютному значению и противоположна по знаку работе, совершаемой станком над двигателем.

Работа внешних сил меняет кинетическую, а значит, и полную энергию системы. Потенциальная энергия системы меняется только за счет работы внутренних сил.