II. Эволюция понятия функции в прошлом и настоящем

1. Метафизическим предком функции, притом сперва функции от времени, является форма Дуиса Скотта1 с формальностями, разрешающая спор о том, какой из аристотелевских элементов субстанции - материя или форма - изменяется при изменении субстанции.

Впервые это метафизическое понятие подвергается математизации у схоластика Орезма2 (ученика Оккама) в его учении о широтах и долготах.

Полную математизацию следует относить не к Декарту, а к Ньютон)'3 , которым флюэнта мыслится как функция универсального независи-мого переменного ~ времени.

Лейбницианская'1 функция это то, что строится для точки кривой. Такое понимание является конструктивно-геометрическим.

Первоначальное эйлеровское5 понимание - это конструктивно-аналитическое (функция=выражснис).

7. Принцип непрерывности Эйлера (т.е. продолжаемость графика за заданную дугу) соединяет оба направления Ньютона и Лейбница, т.е. динамическое и конструктивное.

Разрывные эйлеровские функции подводят к графическому пониманию функции.

Динамическое" понятие функции от х (то, что меняется вместе с х), происходящее от флюэнты, никогда ие является в чистом виде, а всегда соединено с конструктивным.

К понятию функции, гак соответствия, наука подходит только после развития теории множеств, причем далее у Дирихле7 оно не вполне выявлено и точная формулировка впервые повляется у Таннери.

Необходимость выхода из чисто конструктивного понятия несомненно сознается уже в ходе споров о функциях, выражаемых тригонометрическими рядами.

Понятие о многозначной функции вещественного переменного вполне выявляется только после создания Кошті теории функции комплек-сного переменного.

Сужение понятия функции выставлением требования ее продолжаемости находим у Эйлера, Моргана8 в его постулатах и Вейерштрас- са' в аналитическом продолжении функции.

Понятие функции Вейерштрасса требует коренных изменений в теории диференциальных уравнении, созданной на основании конструктивного ее понимания.

То, что следует признать за решение или интеграл при конструктивном понимании, уже может не явиться таковым при вейерштрассо- вом.

Современная теория функций вещественного переменного, рас-ширяющая понятие функции устранением ряда подразумевавшихся свойств (например, существования производной), ведет к изучению патологии диференциальных уравнений, в которой и само диференциальное уравнение оказывается имеющим бесконечное число значений (в зависимости от кривых Q, "по которым" взята производная), решение же может содержать произвольности высших порядков. (Например, вместо произвольных по- сдкшшьи-произвольные функции).

Интуитивистическая точка зрения Вейля10 суживает понятие функции и, ставя ее в зависимость от ее построяемости, вносит в ее понятие время и тем сближается с ньютоновским.

Препозиционную функцию в математической логике можно рассматривать как дальнейший путь к обобщению понятия функции.