3.2.2 Распределение энергии по масштабам

Теперь рассмотрим вопрос о распределении энергии случайного поля по масштабам. Полной энергией случайного процесса f (і, •) назовем, как обычно, L2(R)- норму

Е(-)={тьма

Поскольку ?(?,•) - случайная функция, Е(-) является случайной величиной.

= J *(*.')«(*, = jf W,-)dk. (з.і7)

Аналогичным образом, при использовании непрерывного вейвлет-преобразования, можно определить плотность энергии на единицу масштаба

ВД = с;1 J Ша, Ь, = J Е(а, (3.18)

62 Поскольку ?(?, •) - случайная функция, коэффициенты ее вейвлет-разложения И^ф(а,Ь, •) и интегралы Е(а, •), Е(-) также случайны.

Физически, интерес представляют средние значения энергии, приходящейся на единицу масштаба (или октаву) и средняя энергия сигнала 6 = ЕЕ(-). Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства (3.18), мы, после преобразования Фурье по координате Ь, получим среднее значение энергии, приходящейся на октаву

(3.19)

Равенство (3.19) имеет вид сходный с уравнениями РГ в квантовой теории поля. Вейвлет-компоненты W(a,k), изначально определенные как результат фильтрации случайного сигнала f с помощью анализирующего вейвлета ф, можно те-перь интерпретировать как обобщенные вейвлет-коэффициенты синтезированного многомасштабного сигнала (3.16).

Сингулярное поведение и расходимости, как в квантовополевых, так и в сто-хастических задачах, обычно связаны именно с поведением случайных функций на малых масштабах [226] - или, более точно, с неоднородностью и сингулярным поведением случайной меры, от которой берется преобразование Фурье. По этой причине, как в квантовополевых вычислениях [204], так и при анализе случайных сигналов в классических экспериментах - например, в измерениях турбу-лентного поля скорости, - удобно вводить обрезанные по максимальной частоте (волновому вектору в евклидовом пространстве Rd) поля

(3.20) Этим полям соответствует совокупная энергия всех мод, волновые вектора которых не превышают заданное пороговое значение F:

*(А) = \Ъ J ф<{х)фЦх)(1лх = \ Е J ШШЩІ- (3-21)

Экспериментально измеряемая зависимость ? = ?(А) является одной из основных характеристик развитой гидродинамической турбулентности [220, 66]. В теории критического поведения зависимость 5(A) вычисляется с использованием метода ренормализационной группы.

Используя вейвлет-преобразование легко построить аналог обрезанного по частоте ( т.е. по масштабу) поля. Для этого достаточно оставить в обратном

63

вейвлет-преобразовании (1.13) лишь коэффициенты с а>А, где А вводимый - теперь уже в координатном пространстве - масштаб обрезания:

(3.22) Кумулятивная энергия низкочастотных мод теперь представляет собой функци-онал от полей ФА(Х)' ЕА = J\ФА(Х)\2СІХ И может быть вычислена локально, по любой пространственной области.

Можно отметить основные различия между обычным вейвлет-разложением случайных функций и нашим подходом. В нашем подходе [13], семейство функции {/А}АІ индексируемое параметром минимального масштаба А, имеет свое собственное существование, независимо от того, существует предел Нт^-о /л или нет. То же самое, благодаря определению многомасштабного случайного процесса (3.16), относится и к вейвлет коэффициентам W^(a,b). Использование обобщенных вейвлет коэффициентов У/ф(а,Ъ, •), т.е. случайных функций, зависящих от масштаба, вместо обычных случайных процессов предоставляет дополнительные аналитические возможности для решения многих задач: генерации случайных плотностей [173,45], пертурбативного решения стохастических дифференциальных уравнений [193], исследования нестационарных случайных процессов.