2.3 Квантовая механика

В квантовой механике состояния системы описывается не точками фазового пространства, а векторами в гильбертовом пространстве состояний Л. Если система находится в состоянии ф, то вероятность найти ее в состоянии ф есть О 5- < 1- Эволюция векторов состояния во времени определяется уни

тарным оператором эволюции

Ш t) = Щі)ф(д, 0), U(t) = е-ї", (2.28)

где h - постоянная Планка, Н - оператор Гамильтона, получаемый из классического гамильтониана Н(р, q) заменой координат и импульсов на соответствующие операторы

д

р = -г/1-, q = q. (2.29)

Дифференцирование равенства (2.28) по времени приводит к уравнению Шре- дингера

1Птл=НфЫ). (2.зо)

В силу некоммутативности операторов q и р,

[q,p} = ih, (2.31)

37 координата и импульс квантовой системы не могут быть измерены одновременно.

Под значением физической наблюдаемой В, для квантовой системы находящейся в состоянии ф, понимают матричный элемент оператора В

(В)ф = {ф\В\ф). (2.32)

Эволюция наблюдаемой со временем определяется оператором эволюции (2.28):

B{t) = tf(t)B(0)U{t),

что в дифференциальной форме приводит к уравнению

3D

h— = г[Н,В). (2.33)

Формальное решение уравнения (2.33) может быть записано в виде бесконечного ряда

В(1) = ^Щ^[Н,[Н,...,[Н,В),...}}. (2.34)

71=0 П-

Можно построить ядро оператора эволюции, отображающего вектор состояния ФІЯо, к) в вектор состояния t) - квантовую функцию Грина:

{е-*иф){іі) = Ї KthWfM (2-35)

ICt(q, q') =f eUt'o L^dsVq. (2.36)

Интегрирование проводится по всем траекториям, соединяющим точки qo(tQ) и q(t):

s=t

Vq=l[dq{s).

s=to

Таким образом, каждая траектория входит с фазовым множителем, пропорциональным действию гамильтоновой системы S = J L(q,q,s)ds, вычисленному вдоль данной траектории; L(q, q, t) - лагранжиан системы.

Выражение (2.36) весьма удобно при пертурбативных вычислениях, осуществляемых путем разложения экспоненты в ряд Тейлора. По своей структуре выражение (2.36) весьма напоминает меру, однако, лишь с точностью до мнимой единицы - наличие комплексного множителя в экспоненте лишает его свойства положительной определенности, и не позволяет придать ему строгий смысл меры Винера.