§ 3 Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы.

3.1. Пусть (,,,Р) – стохастический базис, последовательность { - согласована с потоком , и принимает значения в .

Определение. Последовательность (,)_t>1 называется мартингалом, если: 1) , 2)

Если выполнено 1) и Р -п. н., то последовательность (,)_t>0 называется супермартингалом.

Если выполнено 1) и Р - п. н., то последовательность (,)_t>0 называется субмартингалом.

Пример. Пусть , где независимые в совокупности случайные величины.

=

=++ +.

Отсюда следует, что:

а) (,)_t>1- мартингал, если для любого t;

б) (,)_t>1- супермартингал, если для любого t;

в) (,)_t>1- субмартингал, если для любого t;

Утверждение 5.

Доказательство. Из соотношения Чепмена – Колмогорова имеем Р-п. н. при :

M(P(u, ,t,B)|)=M(P(u, ,t,B)| ) = .

3.2. Теорема 6 (Дуба). Пусть (,)_t>0 – неотрицательный супермартингал, тогда с вероятностью 1 существует .

Замечания. 1) Покажем, что предложения о неотрицательности супермартингала (,)_t>0 можно отказаться.

2) Если - супермартингал, то - субмартингал. Поэтому утверждение теоремы 6 верно и для субмартингалов.

3.2.1 Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.

Пусть числовая последовательность, a0– неотрицательный супермартингал, тогда М.

Доказательство. В силу леммы 7 имеем неравенство:

.

Так как (,)_t>0 - супермартингал, то М() ≤ 0. Отсюда следует неравенство

.

3.2.2. Доказательство теоремы 6. Предположим, что у последовательности не существует конечного предела. Через В обозначим множество не имеет конечного предела}. Наше предположение выполнено, если:

1) Р - п. н.,

2) Р - п. н.

Обозначим: А}, C=}. Очевидно, что , поэтому . Значит для доказательства теоремы достаточно доказать, что Р(А) =0 и Р(С)=0.

Покажем, что Р(А)=0. В силу неравенства Чебышева и леммы Фату имеем Р(. Устремляя теперь , получаем Р(А)=0.

Теперь докажем, что Р(С)=0.

, где и - рациональные числа}==.

Рассмотрим вероятность Р(N) в силу неравенства Чебышева и леммы 8 мы имеем:

Р(N).

Устремляя теперь , получаем неравенство Р(N). Отсюда следует, что Р(, т.е.Р(С)=0. Доказательство закончено.

3.3. Определение. Мартингал называется равномерно интегрируемым, если .

Теорема 9. Пусть равномерно интегрируемый мартингал, тогда Р -п.н. существует случайная величина такая, что:

а) = Р - п. н.,

б) М|- Р - п. н.

Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.