§6 Семимартингалы.

6.1. Определение. Будем говорить, что последовательность имеет ограниченную вариацию, если Р - п.

Определение. Последовательность с ограниченной вариацией назовем случайной последовательностью с интегрируемой вариацией, если .

Из определения следует утверждение.

Теорема 22. Пусть - последовательность с ограниченной вариацией. Тогда существуют две возрастающие последовательности , такие, что Р - п. н. для любого . (Докажите самостоятельно.)

6.2. Определение. Последовательность называется семимартингалом относительно меры Р, если она Р - п. н. для любого допускает представление

,

где - локальный мартингал относительно меры Р, - процесс ограниченной вариации.

Множество семимартингалов относительно фильтрации и меры Р обозначим через .

Теорема 23. Последовательность является относительно меры Р семимартингалом тогда и только тогда, когда она согласована с потоком .

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Поскольку процесс согласован с потоком , то он имеет ограниченную вариацию. Очевидно, что: i) , где , ii) Так как для любого , то существует Стало быть

, (14)

где такое, что - предсказуемо, а относительно меры Р и потока локальный мартингал. Отсюда следует утверждение теоремы так как имеет ограниченную вариацию. Доказательство закончено.

Следствие 24. Пусть тогда он допускает единственное представление (14). (Докажите самостоятельно.)

6.3. Определение. Семимартингал называется специальным, если для любого t ? 0 он допускает представление

, (15)

где - локальный мартингал относительно меры Р, - предсказуемая последовательность ограниченной вариации.

Теорема 25. Пусть специальный семимартингал относительно меры Р. Тогда представление (15) единственно. Докажите самостоятельно.

6.4. Теорема 26 (формула Ито). Пусть и множество ограниченных непрерывно дифференцируемых функций. Пусть семимартингал относительно меры Р. Тогда Р - п. н. справедливо равенство

(16)

где - скалярное произведение в .

Доказательство. Очевидно равенство Р - п. н. Отсюда следует (16). Доказательство закончено.

6.5. Их формулы Ито (16) легко получить представление для произведения семимартингалов.

Теорема 27. Пусть и семимартингалы со значениями относительно меры P. Тогда P – п.н. справедливо равенство

В частности

(Докажите самостоятельно).

Определение. Квадратической вариацией семимартингала , обозначаемого через , назовем случайную последовательность определяемую равенством

Определение. Взаимной вариацией семимартингалов и , обозначаемую через назовем случайную последовательность такую, что.