<<
>>

2. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ТЕНЗОРЫ

О п р е д е л е н и е п о л и л и н е й н о й ф о р м ы. Пусть задана вещественнозначная функция от m векторных аргументов, принадлежащих :

(2.1)

Она называется полилинейной формой, если линейна по каждому аргументу, то есть

З а п и с ь п о л и л и н е й н о й ф о р м ы в к о о р д и н а т а х.

Пусть в пространстве введён некоторый базис . Тогда каждый вектор имеет единственное разложение

.

Подставим эти векторы в качестве аргументов в (2.1), В силу полилинейности формы F будем иметь:

Введём обозначение

(здесь - действительные числа), после чего получим выражение для F в координатах:

(2.2)

Ясно, что полилинейная форма F полностью определяется коэффициентами , то есть своими значениями на векторах базиса.

В частном случае m=1 (линейной функции F), выражение (2.2) принимает вид

,

где - некоторый вектор в .

О п р е д е л е н и е т е н з о р а. Тензором валентности m (на евклидовом пространстве ) называется полилинейная форма m аргументов. Коэффициенты этой формы называются ковариантными компонентами тензора в данном базисе.

З а к о н п р е о б р а з о в а н и я к о в а р и а н т н ы х к о м п он е н т о в т е н з о р а п р и и з м е н е н и и б а з и с а. Рассмотрим в, как и выше два базиса: старый и новый

В силу (2.2) и (1.9) будем иметь:

Поскольку полилинейные формы совпадают тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты, отсюда имеем закон преобразования ковариантных компонент тензора при изменении базиса:

(2.3)

Умножая формулы (2.3) на матрицы получим

или

(2.4)

К о н т р а в а р и а н т н ы е и с м е ш а н н ы е к о м п о н е н т ы т е н з о р а. Выражение (2.2) для полилинейной формы в координатах можно переписать, перейдя для некоторых аргументов от контравариантных координат к ковариантным:

Коэффициенты формы

в этом случае называются смешанными компонентами тензора; при этом говорят, что индексы и получены поднятием индексов i и k , а место, с которого они подняты, принято обозначать точкой (это нужно для того, чтобы из вида коэффициентов знать, у каких по счёту аргументов в выражении для формы участвуют ковариантные координаты).

Если осуществлено поднятие всех индексов, то полученные компоненты тензора называют контравариантными и внизу точки не ставят, так как порядок индексов наверху определяет их порядок внизу:

При этом

(2.5)

Формулы обратного преобразования

(2.6)

получаются умножением (2.5) на матрицы .

З а к о н п р е о б р а з о в а н и я с м е ш а н н ы х к о м п о н е н т т е н з о р а. Пусть старый базис в , а - новый базис.

Запишем выражение F в координатах в новом и старом базисах и воспользуемся формулами (1.9):

Поскольку полилинейная форма определяется своими коэффициентами, отсюда имеем

(2.7)

Таким образом, каждый ковариантный индекс тензора преобразуется как ковариантный индекс координат вектора; каждый контравариантный индекс тензора - как контравариантный индекс вектора. В связи с этим правило преобразования нижних индексов называется ковариантным, верхних - контравариантным.

Для установления формулы обратного преобразования, умножим (2.7.) на

0тсюда получим выражение старых смешанных компонентов тензора через новые:

(2.8)

Компоненты тензора третьей валентности называются дважды ковариантными и один раз контравариантными.

Аналогично для любой валентности, например - дважды ковариантные и дважды контравариантные компоненты.

Указание численного значения компонент тензора и только лишь количества ковариантных и контравариантных индексов не описывает тензор полностью, например, и - различные тензоры (компоненты различных, вообще говоря, форм), важен ещё порядок расположения индексов.

В т о р о е о п р е д е л е н и е т е н з о р а.

Система, величин , которая при замене базиса (системы координат) преобразуется по закону

(2.9)

называется дважды ковариантным и один раз контравариантным тензором. Аналогично для любой валентности.

Покажем, что система величин , преобразующаяся по закону (2.9), может служить коэффициентами инвариантной полилинейной формы, заданной следующим образом:

(2.10)

Для этого необходимо и достаточно показать, что функция (2.10), с учётом закона преобразования её коэффициентов, не зависит от выбора координат, то есть, является функцией векторов, а не их координат.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем выражение (2.10) в новых координатах, а затем подставим в него (2.9), (1.6) и (1.7). Получим

чем доказана независимость (2.10) от выбора системы координат.

Таким образом, система величин, преобразующаяся по закону (2.9), представляет собой коэффициенты инвариантной полилинейной формы: в то же время коэффициенты инвариантной полилинейной формы преобразуются по этому закону, что означает эквивалентность двух данных определений тензора.

Второе менее естественно, но бывает удобнее при решении конкретных задач.

Например, согласно второму определению, координаты вектора (ковариантные либо контравариантные) являются ковариантными либо, соответственно, контравариантным, тензором валентности единица (см. (1.6) и (1.7)). Таким образом, вектор - это система величин, преобразующаяся по закону (1.6) или (1.7), что совсем не естественно; однако при решении большинства задач, в которых участвуют векторы, гораздо удобнее представлять вектор координатами, чем направленным отрезком.

Аналогично этому примеру в общем случае тензор - это система чисел, при замене координат преобразующаяся по известному закону, то есть зависящая от выбора системы координат ; однако эти числа описывают в координатах какой-либо инвариантный геометрический или физический объект либо свойство (например, метрику пространства). Как показано выше, эту систему чисел всегда можно трактовать как коэффициенты инвариантной полилинейной формы.

<< | >>
Источник: С.Б.КЛИМЕНТОВ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 1988

Еще по теме 2. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ТЕНЗОРЫ: