1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

О п р е д е л и т е л ь Г р а м а

Предположим, что в произвольном действительном линейном пространстве L дана квадратичная форма и конечная система векторов .

О п р е д е л е н и е . Определителем Грама для квадратичной формы и системы векторов называется величин

Т е о р е м а 1.1 .Пусть квадратичная форма положительно определена. Тогда, если векторы линейно независимы, то . Если векторы зависимы, то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы линейно независимы. В таком случае они составят базис в своей линейной оболочке . Произвольный вектор можно записать в виде

.

Будем рассматривать на векторах из .В базисе имеем

Так как положительно определена на всём пространстве L, то она положительно определена и на подпространстве , так что по критерию Сильвестра

(1.1)

Заметим, что .

Пусть теперь линейно зависимы. Тогда найдутся числа , не все равные нулю, для которых

,

где - нулевой элемент линейного пространства L. Подставим в тождество

.

Придавая i значения 1,…,k, получим однородную систему K линейных уравнений с К неизвестными:

Эта система заведомо имеет ненулевое решение , то есть её определитель равен нулю:

.

Теорема 1.1 доказана.

К о в а р и а н т н ы е и к о н т р а в а р и а н т н ы е к о о р д и н а т ы в е к т о р а.

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство и базис в этом пространстве. Любой вектор может быть разложен по этому базису:

. (1.2)

В последнем равенстве в (1.2) использовано следующее с о г л а ш е н и е о с у м м и р о в а н и и : если в выражении один и тот же индекс встречается вверху и внизу, то по нему производится суммирование от 1 до n , где n - размерность рассматриваемого пространства. Это соглашение называют также правилом Эйнштейна.

При переобозначении индекса суммирования сумма, очевидно, не изменяется, в связи, с чем индексы, по которым производится суммирование, иногда называют "глухими":

Числа в (1.2) называются контравариантными координатами вектора в базисе (смысл этого термина разъяснён ниже). Очевидно, числами вектор определяется однозначно.

Числа (где - скалярное произведение вектора на вектор в ) называют ковариантными координатами вектора . Если векторы базиса единичные, то - ориентированная длина проекции вектора на

Л е м м а 1.1. Ковариантными координатами вектор определяется однозначно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим в выражение разложение вектора из (1.2).

(1.3)

Так как - базис в , определитель системы (1.3):

по теореме 1.1, где .

Таким образом, контравариантные координаты вектора однозначно определяются ковариантными координатами .

Лемма 1.1 доказана.

Любые n линейно независимых векторов , также образуют базис, в , который будем называть новым базисом, а - старым базисом.

Разложим векторы нового базиса по старому базису:

или, сокращённо,

(правило Эйнштейна!). (1.4)

Матрица называется матрицей преобразования базиса : как известно из курса линейной алгебры,

Обратный переход

(1.5.)

имеет матрицу , обратную матрице :

( - символы Кронекера), .

П р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т в е к т о р а п р и з а м е н е б а з и с а.

В формулу подставим выражение для из (1.4):

то есть

(1.6.)

Закон преобразования ковариантных координат тот же, что при преобразовании векторов базиса в (1.4), откуда их название - ковариантные, что значит "сопреобразующиеся".

В разложение вектора подставим выражение через из формулы (1.5); получим

В силу единственности коэффициентов разложения вектора по базису, отсюда имеем

(1.7.)

Таким образом, преобразование контравариантных координат аналогично обратному преобразованию базиса (1.5), откуда название – контравариантные, что значит "противопреобразующиеся".

О б р а щ е н и е ф о р м у л п р е о б р а з о в а н и я.

Умножим формулы (1.6) на матрицу ; получим, что эквивалентно то есть.

Чтобы иметь полную аналогию с (1.7), переобозначим "глухой" индекс на . Окончательно получим

(1.8)

Аналогично, умножением (1.7) на матрицу , получим формулы перехода от новых контравариантных координат к старым:

(1.9)

М е т р и ч е с к а я ф о р м а е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а .

Рассмотрим скалярное произведение векторов:

Обозначим , тогда

(1.10)

Числа позволяют вычислять скалярное произведение векторов и с помощью их контравариантных координат. Квадратичную форму называют метрической формой пространства . Элементы её матрицы называют ковариантными коэффициентами метрической формы пространства (смысл такой терминологии разъяснён в следующем параграфе).

Покажем, что с помощью матрицы можно выразить ковариантные координаты вектора через контравариантные.

Подставим в формулу, определяющие ковариантные координаты, разложение вектора по базису : получим

,

или

(1.11)

Переход от контравариантных координат вектора к ковариантным называют опусканием индекса. Покажем, что аналогично (1.11) можно выразить контравариантные координаты вектора через ковариантные, но с участием матрицы, обратной матрице .

Обозначим элементы матрицы, обратной к .

Умножим формулы (1.11) на матрицу :

или, окончательно,

. (1.12)

Операцию перехода от ковариантных координат к контравариантным называют поднятием индекса, а элементы матрицы - контравариантными коэффициентами метрической формы пространства.

Отметим, что операция поднятия и опускания индексов позволяет получить следующие выражения для скалярного произведения векторов:

(1.13)