9.2 Актуарное накопление и дисконтирование
t
Пусть число участников N.
Тогда накопленная ко времени t сумма S(t) = N(1 + i). Число живых участников равно Np(t), и на каждого из них приходится суммаA = N(1 + ^ = (1 + i)t , n A(t) = ~NM- = -Щ- ¦ (9'2Л)
Очевидно, A(t) > (1 + i) - накопленной суммы по ставке i.
Определение 9.4. Актуарным коэффициентом накопления для про-центной ставки i и доли выживания p(t) на промежутке [0, t] называется число
(1+ if
т = . (9.2.2)
Число A(t) означает сумму, приходящуюся на каждого живого к моменту t
Определение 9.5. Актуарным коэффициентом дисконтирования d(t) на промежутке называется число
d(t) = ^ = . (9.2.3)
W A(t) (1 + i) K J
Число d(t) означает сумму, которую каждый участник фонда должен
t = 0 t живого участника приходилась 1 единица накопленных денег. Обычно в
p( t)
p(t) = P(T(x) >t)= tpx. (9.2.4)
Здесь T(x) - остаточное время жизни. В этом случае пишут A(t) — A(x, t),
d(t) —t Ex. Из формул (9.2.2) - (9.2.4) ВЫТ6К0)6Т^ что
A(x, t) — (1+); tEx — vttpx. (9.2.5)
tpx
При этом A(x,t) - актуарный коэффициент накопления для промежутка [0, t] для человека в возрасте x; tEx - актуарный коэффициент дисконтирования на промежутке [0, t] для человека в воз расте x. Нетрудно видеть, что A(x, t) больше обычного накопления (1 + i^ на [0,t]} a, tEx - меньше соответствующего коэффициента дисконтирования vt на [0,t].