Обратная задача распределения ресурса

{xsX' | F(x) = F0 }

заключается в нахождении такого вектора значений частных показателей, переход к которому из текущего состояния обеспечивал бы достижение заданного значения F0 комплексной оценки.

Задачи, аналогичные (1) и (2) можно ставить и решать и с учетом неопределенности - например, риска не достижения соответствующих значений частных показателей.

Отметим, что задача (2) может формулироваться и для более сложных случаев - когда требуется определить оптимальную (с точки зрения затрат) траекторию в пространстве частных критериев, приводящую к концу планового периода к требуемой или максимально возможной величине комплексной оценке (в динамике можно также минимизировать время достижения требуемого значения комплексной оценки и т.д.).

Если ввести на множестве X' значений частных критериев функционал

1 2

G(x , x ), отражающий «расстояние» между векторами значений частных критериев, то в случае монотонно неубывающего по всем переменным отображения F(-) можно определять резерв

d(x0) = x0 — arg min G(x0, x).

xeX (F (xo))

Понятие резерва позволяет ввести определение напряженного варианта [20], как такого (условно говоря «Парето-оптимального по расстоянию G(-)») вектора значений частных критериев, что ни одна из оценок ни по одному из этих критериев не может быть уменьшена без уменьшения комплексной оценки. Делается это следующим образом: если резервы (3) «независимы», то учет взаимной зависимости значений частных критериев, приводящих к одному и тому же значению комплексной оценки F0, приводит к следующему определению множества напряженных вариантов:

D(x0) = {x е X' | F(x) = F0 и V x' #x F(xr) < F0}.

Все сформулированные в настоящем разделе определения и поставленные задачи являются достаточно общими, хотя и сводятся к известным задачам математического программирования или дискретной оптимизации.

Начнем с описания четких матричных (дискретных дихотомических древовидных) систем комплексного оценивания, следуя примеру, приведенному в [5]. Предположим, что требуется оценить уровень научной деятельности ВУЗа (критерий X0) (см. рисунок 2.1), который определяется уровнем результатов

научных исследований (критерий X1) и уровнем применения результатов научных исследований (критерий X2). Уровень результатов научных исследований, в свою очередь, определяется уровнем результатов фундаментальных научных исследований (критерий X11) и уровнем результатов прикладных научных исследований (критерий X12), а уровень применения результатов научных исследований - уровнем применения результатов научных исследований в ВУЗе (критерий X21) и уровнем применения результатов научных исследований во внешних организациях (критерий X22). В данном случае частными критериями являются X11, X12, X21 и X22, агрегированным критерием является X0, а критерии X1 и X2 являются промежуточными.

Рис. 2.1. Дерево критериев научной деятельности ВУЗа

Пусть оценки по каждому критерию могут принимать конечное число значений (для простоты будем использовать четырехбальную шкалу: 1 - «плохо», 2 - «удовлетворительно», 3 - «хорошо» и 4 - «отлично»). Требуется (прямая задача), имея оценки по критериям X11, X12, X21, X22 нижнего уровня, получить агрегированную оценку по критерию X0. В случае бинарного (дихотомического) дерева для свертки оценок, полученных в дискретной шкале, используют логические матрицы (матрицы свертки), значения элементов которых определяют агрегированную оценку при условии, что оценки по агрегируемым критериям являются номерами соответствующих строк и столбцов.

Если использовать в рассматриваемом примере матрицы свертки, (см.

Х2 Х2 Хо Х12 Х1 Х22 1 1 2 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 4 3 2 3 3 4 3 1 2 3 4 4 2 3 3 4 4 2 3 4 4 4 2 2 3 4 1 2 3 4 Х1 1 2 3 4 Х11 1 2 3 4

Рис. 2.2. Матрицы свертки

Таблица 2.1. Агрегирование четких оценок Критерии Четкие значения Хо 3 Х1 4 Х2 2 Х11 4 Х12 3 Х21 2 Х22 3 Напряженными вариантами, приводящими, например, к агрегированной оценке x0 = 4, будут следующие 8 вариантов:

Х11 = 3, Х12 = 4, Х21 = 3 и Х11 = 3, Х12 = 4, Х21 = 3 при любых значениях Х22.

Обобщением описанной выше четкой матричной системы комплексного оценивания является нечеткая матричная система комплексного оценивания, в которой оценки по каждому из критериев являются в общем случае нечеткими, и агрегируются в соответствии с четкими матрицами свертки . Нечетким оценкам могут соответствовать вектора степеней уверенности экспертов в достижении четких оценок. Получаемая в результате агрегирования оценка также является нечеткой и несет в себе больше информации, чем четкие оценки.

Пусть ~1 - нечеткая оценка по первому критерию, задаваемая функцией принадлежности m~1(Х1) на универсальном множестве, определяемом соответствующей шкалой (в рассматриваемом примере это множество - {1, 2, 3, 4}), ~2 -

нечеткая оценка по второму критерию, задаваемая функцией принадлежности

М x2).

В соответствии с принципом обобщения [106] полученная в результате агрегирования по процедуре F(-), задаваемой матрицей свертки, нечеткая оценка ~x0 будет определяться функцией принадлежности6

(4) (xo) = sup min {m (xi), m2( *2)}, xo = 1,4.

{( x1,x2) lF ( x1 ,x2) = x0}

В предельном случае, то есть когда агрегируются четкие оценки, естественно, агрегированная оценка является четкой и совпадает с получающейся в результате использования четкой процедуры комплексного оценивания.

Пусть для рассматриваемого примера нечеткие оценки по критериям нижнего уровня принимают значения, приведенные в таблице 2.2, и сворачиваются в соответствии с деревом, приведенным на рисунке 2.1. Используя матрицы свертки, приведенные на рисунке 2.2, и выражение (4), получаем нечеткие оценки по агрегированным критериям (см.

Таблица 2.2. Агрегирование нечетких оценок Критерии Нечеткие значения 1 2 3 4 Xo 0,00 0,20 0,70 0,30 X1 0,00 0,10 0,40 0,70 X2 0,20 0,90 0,30 0,10 X11 0,00 0,20 0,40 0,70 X12 0,00 0,10 1,00 0,40 X21 0,20 0,90 0,30 0,10 X22 0,00 0,30 0,95 0,40 Нечеткие оценки по критериям X0, X1 и X2 для рассматриваемого примера приведены на рисунке 2.3.

По аналогии с напряженными вариантами в системах четкого комплексно-го оценивания [20], можно рассматривать нечеткие напряженные варианты. Пусть задан нечеткий вектор оценок агрегированного критерия (в рассматриваемом примере - это вектор х0 = (0; 0,2; 0,7; 0,3)). Напряженными назовем минимальные вектора агрегируемых оценок, приводящие к заданному нечеткому вектору агрегированных оценок. Легко убедиться, что в рассматриваемом примере - это вектора х = (0; 0; 0,2; 0,7) и х2 = (0,2; 0,7; 0,3; 0).

Напряженному варианту будет соответствовать следующий набор значе-ний оценок нижнего уровня: хп = (0; 0; 0,2; 0,7), х12 = (0; 0; 0,7; 0), х21 = (0,2; 0,7; 0,3; 0), х22 = (0; 0; 0,7; 0). Разности между приведенными в таблице 2.2 значениями оценок и напряженными можно считать резервами по соответствующим критериям, что позволяет ставить и решать задачи оптимиза-

6 Супремум по пустому множеству в выражении (4) (и аналогичных ему) будем считать равным нулю. 44

ции резервов, затрат и риска. Отметим, что найденные напряженные варианты отличаются от оценки, даваемой формулой (6) - см. ниже, в соответствии с

которой в данном примере тшп(x) = 0,7, xi е {1, 2, 3, 4}, i е {11,12, 21, 22}.

xi

0,40

12 3 4

Рис. 2.3. Нечеткие оценки по критериям X0, X1 и X2

0,80

X0

0,60

¦ X1

. x2

0,20

0,00

1,00

Завершив рассмотрение примера, обобщим полученные результаты.

/%0 (x0) = sup min { m(X) }, X0 е X0.

{xeX'\F(x) = x0 } iGN

Можно решить и обратную задачу: пусть задана требуемая функция принадлежности (x0) итоговой агрегированной нечеткой оценки ~0. Тогда равномерная оценка сверху «минимальных» («напряженных») значений функций принадлежности значений частных критериев есть

mmn (X) = sup (X0), Xi е Xi-, i е N.

' {X0GX0 \XieProjiX(X0)}

где X0) определяется (5).

Пример расчетов нечетких напряженных вариантов по формуле (6) приведен выше. Имея значения минимальных функций принадлежности (6), приводящих к заданному нечеткому агрегированному результату, можно при известном функционале затрат, определенном на множестве пар («начальных» и «конечных») функций принадлежности, искать наиболее дешевый вариант дос-тижения заданного нечеткого агрегированного результата из начального состояния, описываемого также нечетких вектором оценок по частным критериям.

Нечетким резервом назовем следующую нечеткую величину:

(X- ) = (X- ) - mmm(X- ), Xi е Xi, i е N.

I l X-

Если функции затрат монотонны по оценкам и значениям функции принадлежности, а процедура агрегирования не убывает по каждой из агрегируемых оценок, то более дешевыми будут комбинации оценок частных критериев, которые имеют минимальные нечеткие резервы (7). С другой стороны, нечеткие резервы могут интерпретироваться как «запас устойчивости» состояния системы относительно внешних возмущений или ошибок оценивания.

Выражения (4)-(7) дают возможность решения в явном виде прямых и обратных задач комплексного оценивания для двух «предельных» случаев - про-извольной функции агрегирования и свертки двух дискретных показателей. Все остальные - «промежуточные» - случаи рассматриваются аналогично.

Обобщим полученные в предыдущем разделе результаты на случай, когда логика агрегирования показателей описывается сетью [18], то есть ориентированным графом без циклов, в котором выделено множество вершин, являющихся входами, и одна вершина, являющаяся выходом сети.

Для этого сначала рассмотрим четкий случай сетевого агрегирования показателей, измеряемых в произвольной (дискретной или непрерывной шкале), а затем перейдем к нечеткому случаю.

Пусть сеть описывается ациклическим графом (E, V), где V - множество вершин, а E - множество дуг между этими вершинами.

Предположим, что множество V состоит из множества N входов сети (в которые не ведет ни одна дуга) и множества K = {1, 2, ..., к} вершин, в которые входят дуги (для сети без контуров всегда можно построить правильную нумерацию: " p, q Е V, (p, q) Е E выполнено p < q [18]). Вершину с номером к в множестве K будем считать выходом сети.

Наложим на сеть следующее ограничение (содержательно означающее, что используется информация по всем частным и промежуточным показателям, кроме окончательной агрегированной оценки, вычисленной в выходе сети - вершине из множества K с номером к):

" i Е N $ l Е K: (i, l) Е E.

" j Е K, j * к $ l Е V: (J, l) Е E.

" i, l Е N (i, l) e E.

Последнее ограничение означает, что все вершины из множества N являются входами сети, и ни одна из них не вычисляется как агрегат от какой-либо другой.

Содержательно вершины, принадлежащие множеству K можно считать «промежуточными узлами агрегирования» - на выходе вершины j е K имеется переменная yJ, значение которой определяется известным отображением FJ'('), J Е K.

Для формального определения этого отображения введем следующие обо-значения: PJ = {i Е N | (i, j) Е E}, QJ = {l Е K | (l, j) Е E}, j Е K.

Пусть для каждой вершины j е K задано множество YJ и число yJ Е YJ, определяемое отображением

F: (П X- )х (п Y) ® YJ,

ieP. ieQ.

то есть

yj = FJ(( xt) iGP,? KSlJleQ, ), j е K.

Величина ук как раз и будет значением комплексной оценки.