4.3 Указания к решению задач РГКР № 1

Матрица исходных данных, определяется по координатам точек заданной фигуры [14].

В задаче 1 требуется выполнить четыре отдельных преобразований , , и исходной фигуры .

Для примера в приложении Б в математическом пакете Maple представлен листинг к задаче 1: преобразование , осуществляемое матрицей .

В задаче 2 предусмотрено выполнение композиций преобразований, т.е. каждое из преобразований и рассматривается как композиция преобразований. Для осуществления поворота фигуры вокруг заданной точки (таблица 4.1), необходимо последовательно выполнить композицию из трех следующих преобразований :

– перенос (трансляция) фигуры на вектор для совмещения точки с началом координат:

– поворот фигуры на угол : ;

– обратный перенос фигуры на вектор : .

Поэтому соответственно формируем следующие матрицы:

– матрицу преобразования переноса на вектор ;

– матрицу преобразования поворота на угол ;

– матрицу преобразования обратного переноса на вектор .

Таким образом, производим композицию преобразований:

.

Следует руководствоваться именно таким порядком умножения матриц для каждой точки фигуры .

Для отражения фигуры относительно прямой , заданной уравнением , или уравнением в отрезках (), необходимо выполнить композицию из пяти преобразований:

– переместить заданную прямую линию так, чтобы она проходила через начало координат, что осуществляется трансляцией , например на вектор , тогда матрица трансляции будет иметь вид

;

– выполнить поворот вокруг начала координат прямой , так, чтобы она совместилась с осью абсцисс (); угол поворота определяется из уравнения прямой, по тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс:

, ,

тогда матрица , обеспечивающая такой поворот, будет иметь вид

;

– осуществить симметрию относительно прямой (оси абсцисс) при помощи матрицы :

;

– произвести обратный поворот на угол (см.

– выполнить трансляцию на противоположный вектор (см. ):

.

Тогда произведение матриц позволит получить матрицу, обеспечивающую отражение фигуры относительно заданной прямой .