<<
>>

Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

P Р
И Л
Л И

2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или РÙQ.

P Q P&Q
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л

3) Дизъюнкция.

Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается PUQ.

P Q PUQ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л

4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается PEQ (или Р?Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

P Q P?Q
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И

5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Р~Q или РÛQ.

P Q P~Q
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

p r (pÙr)
И И Л И И
И Л Л Л И
Л И И Л Л
Л Л И Л Л

p r
И И Л Л Л И
И Л Л И И И
Л И И Л И И
Л Л И И И И

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для заданных формул.

p q r pÛq (pÛq)Ur
И И И И И
И И Л И И
И Л И Л И
И Л Л Л Л
Л И И Л И
Л И Л Л Л
Л Л И И И
Л Л Л И И

p q r p?q q?p (p?q)U(q?p) (p?q)U(q?p)Ur
И И И И И И И
И И Л И И И И
И Л И Л И И И
И Л Л Л И И И
Л И И И Л И И
Л И Л И Л И И
Л Л И И И И И
Л Л Л И И И И

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Элементы математической логики.:

  1. ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ
  2.   1.1. Природа математического мышления 
  3. Математическое моделирование
  4. Методологическое значение теоретической логики
  5. ЛОГИКА, МЕТОДОЛОГИЯ И МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
  6. ЛОГИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ КАРЛА ПОППЕРА (Вступительная статья)
  7. ЛОГИКА ФОРМАЛЬНАЯ
  8. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  9. Элементы математической логики.
  10. § 2. «Логико философский трактат» Л. Витгенштейна
  11. 5. Логика, методология и методы научного познания
  12. § 2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПРЕДПОСЫЛОК (ЭЛЕМЕНТОВ) НАУЧНЫХ ЗНАНИЙ В ДРЕВНЕМ МИРЕ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
  13. 2. Создание символической логики
  14. §10. Логика доказательств в будущем.
  15. Математический анализ. Введение в анализ.
  16. 1. Элементы математической логики, символика;
  17. 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
  18. Логика и лингвистика
  19. 4. Конструкция музыкального и математического предмета в сознании