Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y

M(x, y)

b

r1

r2

x

F1 a F2

c

По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого– либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

y

a/e d

M(x, y)

r1

0 a F1 x

OF1 = c

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.

(x – c)2 + y2 = r2

Из канонического уравнения: , с учетом b2 = c2 – a2:

Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.

Итого: .

Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c2 = a2 – b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

Итого: – искомое уравнение гиперболы.