Графический метод

Рассмотрим примеры решения задач нелинейного программирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и нелинейном виде.

Задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Пример. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — часть окружности с радиусом 4, которая расположена в первой четверти.

Линиями уровня целевой функции являются параллельные прямые с угловым коэффициентом, равным –2. Глобальный минимум достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум — в точке А касания линии уровня и окружности. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную линии уровня. Прямая проходит через начало координат, имеет угловой коэффициент 1/2 и уравнение x2 = 1/2х1.

Решаем систему

откуда находим х1 = 8/5, x2 = 4/5, L = 16/5 + 4/5 = 4.

Ответ. Глобальный минимум, равный нулю, достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум, равный 4, — в точке А(8/5, 4/5).

Задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений

Пример. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — OABD. Линиями уровня будут окружности с центром в

точке O1. Максимальное значение целевая функция имеет в точке D(9, 0), минимальное — в точке O1 (2, 3). Поэтому

Ответ. Глобальный максимум, равный 58, достигается в точке D (9, 0), глобальный минимум, равный нулю, — в точке O1 (2, 3).

Пример. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — OABD. Линии уровня представляют собой окружности с центром в точке O1 (6, 3). Глобальный максимум находится в точке O (0, 0) как самой удаленной от точки O1. Глобальный минимум расположен в точке Е, находящейся на пересечении прямой 3x1 + 2x2 = 15 и перпендикуляра к этой прямой, проведенного из точки O1.

Найдем координаты точки Е: так как угловой коэффициент прямой 3x1 + 2x2 = 15 равен –3/2, то угловой коэффициент перпендикуляра O1Е равен 2/3. Из уравнения прямой, проходящей через данную точку О2 с угловым коэффициентом 2/3, получим

Решая систему

находим координаты точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13, при этом L(Е) = 1053/169.

Координаты точки Е можно найти следующим образом: дифференцируя выражение (x1 — 6)2 + (x2 – 3)2 как неявную функцию по x1, получим

Приравниваем полученное значение к тангенсу угла наклона прямой 3x1 + 2x2 = 15:

Решаем систему уравнений

получим координаты точки Е: х1 = 51/13, x2 = 21/13.

Ответ. Глобальный максимум, равный 52, находится в точке O (0, 0). Глобальный минимум, равный 1053/169, находится в точке E (51/13, 21/13).

Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений

Пример. Найти глобальные экстремумы функции

при ограничениях:

Решение. Областью допустимых решений является окружность с радиусом 4, расположенная в первой четверти. Линиями уровня будут окружности с центром в точке O1 (2, l).

Глобальный минимум достигается в точке O1. Глобальный максимум — в точке А (0, 4), при этом

Ответ. Глобальныи минимум, равный нулю, достигается в точке O1 (2, l), глобальный максимум, равный 13, находится в точке А (0, 4).

Пример. Найти глобальные экстремумы

при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений не является выпуклой и состоит из двух частей. Линиями уровня являются окружности с центром в точке O (0, 0).

Найдем координаты точек А и В, решая систему

Получим А (1, 4), В (4, 1). В этих точках функция имеет глобальные минимумы, равные 17. Найдем координаты точек D и Е, решая системы

откуда получаем D (2/3, 6) и L(D) = 328/9, E (7, 4/7) и L(E) = 2417/49.

Ответ. Целевая функция имеет два глобальных минимума, равных 17, в точках А (1, 4) и B (4, 1), глобальный максимум, равный 2417/49, достигается в точке E (7, 4/7).