Экономический анализ задач с использованием графического метода

Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.

Математическая модель задачи имеет вид

при ограничениях:

Согласно найденному оптимальному решению, фирме необходимо выпускать в сутки 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженого, при этом максимально возможный доход составит 9 200 р.

Определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходных продуктов. Для анализа задачи примем, что неравенства системы ограничений могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет активное ограничение. В противном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью. Если ограничение пассивное, то оно недефицитное и имеется в фирме в избытке.

Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения по молоку. При перемещении параллельно самой себе прямой вправо до пересечения с прямыми (2) и (3) в точке М ограничение (1) будет оставаться активным. Точку М определим как точку пересечения прямых (2) и (3):

Откуда получаем М(370,83; 270,3).

Подставляя координаты точки М в уравнение (1), получим предельно допустимый суточный запас молока:

при этом величина дохода составляет

Рассмотрим увеличение ограничения по наполнителям.

Откуда получаем N(281,25; 350).

Предельно допустимый суточный запас наполнителей можно увеличивать до значения

при этом величина дохода составит

Рассмотрим возможность изменения правой части пассивных ограничений (3) и (4). Не изменяя оптимальное решение, прямую (3) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с точкой D(312,5; 300), т.е. правую часть ограничения (3) можно уменьшать до величины

Прямую (3) можно перемещать параллельно самой себе вниз до пересечения с осью ОХ1 в точке Р(500; 0), т.е. правую часть ограничения (3) можно увеличивать до 500 кг.

Таким образом, при неизменном оптимальном решении разница в покупательском спросе на сливочное и шоколадное мороженое может изменяться в диапазоне от 12,5 до 500 кг.

Аналогично, не изменяя оптимальное решение, прямую (4) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с осью ОХ2 в точке R(0; 456,25) или вниз до пересечения с прямой (1) в точке D(312,5; 300).

Таким образом, при неизменном оптимальном решении покупательский спрос на шоколадное мороженое может изменяться в диапазоне от 300 до 456,25 кг.

Проведем анализ задачи по пределам возможного изменения коэффициентов целевой функции, т.е. по диапазону оптовых цен на мороженое, при котором не происходит изменения оптимального решения.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон линии уровня. Уравнение линии уровня записывается в общем виде:

Угловой коэффициент прямой (1):

Так как прямые совпадают, то К = К1, откуда c1max = 22,4 при c2 = 14. Коэффициент с1 можно уменьшать до совпадения линии уровня с прямой (2), поэтому

Таким образом, оптимальное решение задачи не изменится, если розничная цена 1 кг сливочного мороженого лежит в диапазоне от 7 до 22,4 р., при этом доход фирмы будет от 6 387,5 до 11200 р.

Аналогичные рассуждения для случая с1 = 16 позволили сделать вывод, что оптимальное решение задачи не изменится, если розничная цена 1 кг шоколадного мороженого лежит в диапазоне от 10 до 32 р., при этом доход фирмы будет от 8000 до 14 600 р.