контрольная работа

n 1 – 10. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.

Найти:

1) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ;

2) площадь грани А1А2А3 ;

3) объем пирамиды ;

4) уравнения прямой А1А2 ;

5) уравнение плоскости А1А2А3 ;

6) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 .

Сделать чертеж.

1. А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0) .

2. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4) .

3. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9) .

4. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8) .

5. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3) .

6. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9) .

7. А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3) .

8. А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7) .

9. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7) .

10. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1) .

n 11. Прямые 2х+у-1 = 0 и 4х-у-11=0 являются сторонами треугольника, а точка Р(1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

n 12. Прямая 5х-3у+4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4х-3у+2 = 0 и 7х+2у-13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

n 13. Точки А (3; -1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей стороны. Сделать чертеж.

n 14. Прямые 3х-4у+17 = 0 и 4х-у-12 = 0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

n 15. Прямые х-2у+10 = 0 и 7х+у-5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) – точкой пересечения его медиан.

Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

n 16. Прямые 5х-3у+14 = 0 и 5х-3у-20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х-4у-4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

n 17. На прямой 4х+3у-6=0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (-1; -4). Сделать чертеж.

n 18. Найти координаты точки, симметричной точке А (5; 2) относительно прямой х+3у-1=0. Сделать чертеж.

n 19. Прямые х-3у+3=0 и 3х+5у+9=0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (34; –1) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

n 20. Точки А (4; 5) и С (2; -1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х-у+1=0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

n 21-30. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от j = 0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет;

4) вычислить длину дуги этой кривой по формуле: ;

5) определить кривизну кривой, центр кривизны, записать уравнение касательной и нормали в точке j=p. Причем:

21. , j1=0, j2=p	22. , j1=p/6, j2=p
23. , j1=0, j2=p/3	24. , j1=p, j2=3p/2
25. , j1=p/3, j2=p	26. , j1=0, j2=p
27. , j1= – p/6, j2=p/6	28. , j1=p/4, j2=p/2
29. , j1=0, j2=p	30. , j1=0, j2=p

n 31 – 40. Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

39.

n 41 – 50. Дана матрица А. Найти матрицу А-1, обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А А-1 .

n 51 – 60. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

n 61 – 70. Привести квадратичную форму к каноническому виду; найти ортонормированный базис , в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису .

61. =

62.

63. =

64. =

65. =

66. =

67. =

68. =class="lazyload" data-src="/files/uch_group46/uch_pgroup327/uch_uch1272/image/57.gif">

69. =

70. =

n 71 – 80. Проверить, является ли оператор A линейным в Â3, если является, то найти его матрицу. Определить собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А.

71. A

72. A

73. A

74. A

75. A

76. A

77.

78. A

79. A

80. A

n81- 90. Даны два комплексных числа.

Необходимо: а) выполнить действия в алгебраической форме; б) найти тригонометрическую форму числа z, найти z20 . Найти корни уравнения w3 + z = 0 и отметить их на комплексной плоскости.

81. a), б) z = .