6.1. Основные понятия

Пусть функция и описывает некоторый физический процесс. Этот процесс протекает во времени t и в пространстве, который можно характеризовать декартовыми прямоугольными координатами (x, y, z) или в общем случае (x1, x2, …, xn).

Дифференцируя функцию и, получаем частные производные ди/дх, ди/ду и т.п. или в общем случае ди/дх1, ди/дх2 и т.п. В данном процессе эти производные связаны какими – либо соотношениями и, таким образом, приходим к дифференциальному уравнению, содержащему частные производные.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых известна функция, зависит только от одной переменной, в дифференциальных уравнениях с частными производными (ДУЧП) неизвестная функция зависит от нескольких переменных.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это равенство, содержащее несколько независимых переменных и её частные производные по этим переменным.

В общем виде это уравнение может быть записано так:

F (x1, x2, ..., xn, u, ди/дх1, …, ди/дхп, д2и/дх12 , д2и/дх1дх2,…)=0 (1)

где х1, х2,…, хп – независимые переменные, и (х1, х2, …,хп) – неизвестная искомая функция.

Во многих практических задачах в качестве независимых переменных используются время t и пространственные координаты.

Если используется одна пространственная координата, то такие задачи называются одномерными, если две – двумерные, три – трехмерные, четыре и более – многомерные.

Порядок уравнения – это наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение.

Решение уравнения – это функция и (х1, х2, …, хп), имеющая соответствующие частные производные до требуемого порядка, и обращающая это уравнение в тождество.

Интегрирование – это процесс нахождения решений ДУЧП.

Дифференциальное уравнение (1) будет линейным, если функция F линейна относительно искомой функции и (х1, х2,…, хп) и ее производных.

Дифференциальное уравнение будет квазилинейным, если функция F линейна, по высшим производным (п-го порядка), т.е. коэффициенты при высших производных зависят только от функции и и ее производных до (п – 1)-го порядка.

Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка называют уравнения математической физики.