Содержание дисциплины

Раздел 1

Введение

Предмет математики, ее роль и место в современной науке и технике.

2.1.1. Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. (6.1.1., 6.2.1.)

2.1.2.

(6.1.1., 6.2.1.)

Раздел 2

Элементы векторной алгебры

2.2.1. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. Система координат

(6.2.1.)

2.2.2. Линейные операции над векторами в координатах.

(6.2.1.)

2.2.3. Скалярное произведение в трехмерном пространстве и его свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Векторное и смешанное произведение.

(6.2.1.)

Раздел 3

Аналитическая геометрия

2.3.1. Уравнение линии на плоскости.

(6.1.1.)

2.3.2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнения прямой: по точке и направляющему вектору; по двум точкам; точке и угловому коэффициенту; в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи.

(6.1.1.)

2.3.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

(6.1.1.)

2.3.4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, эксцентриситет, фокусы, асимптоты, директрисы.

(6.1.1.)

2.3.5. Полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми координатами. Уравнение линии в полярной системе координат.

(6.1.1.)

2.3.6. Уравнение поверхности в пространстве.

(6.1.1.)

2.3.7. Уравнения плоскости. Различные виды уравнения плоскости: по трем точкам; по двум точкам и вектору коллинеарному плоскости; точке и двум векторам коллинеарным плоскости; по точке и нормальному вектору; общее уравнение плоскости. Частные случаи.

(6.1.1.)

2.3.8. Уравнение линии в пространстве.

(6.1.1., 6.1.2.)

2.3.9.

(6.1.1.)

2.3.10. Угол между плоскостями; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

(6.1.1.)

2.3.11. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Цилиндрические поверхности.

(6.1.1.)

2.3.12. Цилиндрические и сферические координаты, их связь с декартовыми координатами.

(6.1.1.)

Раздел 4

Элементы линейной алгебры

2.4.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.

(6.1.1.)

2.4.2. Определители – го порядка, их свойства и вычисление. Алгебраические дополнения и миноры.

(6.1.1.)

2.4.3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

(6.1.1.)

2.4.4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре. Понятие о решении произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.

(6.1.1.)

2.4.5. Решение произвольных систем линейных уравнений методом Гаусса. Процедура нахождения обратной матрицы методом Гаусса.

(6.1.1.)

2.4.6. Линейное векторное пространство. Линейные преобразования, их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

(6.1.1.)

2.4.7. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.

(6.1.1.)

Раздел 5

Элементы высшей алгебры

2.5.1. Понятие множества. Операции над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Алгебра множеств.

(6.1.2.)

2.5.2. Отношения на множествах. Бинарные отношения, способы задания. Отображения множеств. Понятие функции. Отношения эквивалентности, порядка, доминирования.

(6.2.2.)

2.5.3.

(6.2.2.)

2.5.4. Понятие о некоторых алгебраических структурах: группа, кольцо, поле. Понятие изоморфизма.

(6.2.2.)

2.5.5. Поле комплексных чисел. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.

(6.1.3.)

2.5.6. Алгебраические операции над комплексными числами. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

(6.1.3.)

2.5.7. Формулировка основной теоремы алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

(6.1.3.)

Раздел 6

Элементы топологии

2.6.1. Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Непрерывные отображения метрических пространств.

(6.2.4.)

2.6.2. Сходимость в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Полные пространства. Понятие о принципе сжатых отображений.

(6.2.4.)

2.6.3. Определение и примеры топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Понятие о компактности.

(6.2.4.)

Раздел 7

Введение в математический анализ

2.7.1. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы.

(6.1.3.)

2.7.2. Предел функции в точке, односторонние пределы. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства. Основные теоремы о пределах.

(6.1.3.)

2.7.3. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

(6.1.3.)

2.7.4. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность суммы, произведения, частного и суперпозиции непрерывных функций.

(6.1.3.)

2.7.5. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.

(6.1.3.)

2.7.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточного значения.

(6.1.3.)

Раздел 8

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.8.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, произведения и частного.

(6.1.3.)

2.8.2. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

(6.1.3.)

2.8.3. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применения дифференциала к приближенным вычислениям.

(6.1.3.)

2.8.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

(6.1.3.)

2.8.5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

(6.1.3.)

2.8.6. Многочлен и формула Тейлора. Представление функций по формуле Тейлора.

(6.1.3.)

2.8.7. Монотонные функции. Теоремы о возрастании и убывании функции на интервале.

(6.1.3.)

2.8.8. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

(6.1.3.)

2.8.9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

(6.1.3.)

2.8.10. Асимптоты кривых: вертикальные и наклонные.

(6.1.3.)

2.8.11. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

(6.1.3.)

2.8.12. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и физический смысл.

(6.1.3.)

2.8.13. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

(6.1.3.)

2.8.14. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Понятие о формулах Френе.

(6.1.3.)

2.8.15. Дифференциальная геометрия кривых поверхностей.

(6.2.5.)

Раздел 9

Неопределенный интеграл и определенный интеграл

2.9.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной) и по частям.

(6.1.3.)

2.9.2. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.

(6.1.3.)

2.9.3. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

(6.1.3.)

2.9.4. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

(6.1.3.)

2.9.5. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.

(6.1.3.)

2.9.6. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

(6.1.3.)

2.9.7. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой.

(6.1.3.)

2.9.8. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

(6.1.3.)

2.9.9. Несобственные интегралы I и II рода.

(6.1.3.)

2.9.10. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и тел площадей поверхностей вращения.

(6.1.3.)

Раздел 10

Функции нескольких переменных, кратные интегралы

2.10.1. Функции нескольких переменных; область определения, способы задания. Предел функции в точке. Непрерывность.

(6.1.3.)

2.10.2. Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

(6.1.3.)

2.10.3. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

(6.1.3.)

2.10.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

(6.1.3.)

2.10.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.

(6.1.3.)

2.10.6. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия. Формулировка достаточных условий.

(6.1.3.)

2.10.7. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

(6.1.3.)

2.10.8. Производная по направлению и градиент; их связь. Геометрический и физический смысл градиента.

(6.1.3.)

2.10.9. Кратные интегралы: задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах.

(6.1.4.)

2.10.10. Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим.

(6.1.4.)

2.10.11. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

(6.1.4.)

Раздел 11

Дискретный анализ

2.11.1. Элементы комбинаторики. Конечные множества и операции над ними. Подмножества данного множества. Число подмножеств данного множества (сочетания). Упорядоченные множества. Перестановки и размещения. Бином Ньютона и полиномиальная формула.

(6.2.2.)

2.11.2. Предмет логики высказываний. Логические операции над высказываниями. Понятие формулы алгебры высказываний. Равносильность и классификация формул. Логические эквивалентности.

(6.1.5.)

2.11.3. Булевы функции. Существенные и фиктивные переменные. Логические отношения. Проверка правильности рассуждений.

(6.1.5.)

2.11.4. Алгебра предикатов. Кванторы.

(6.2.2.)

2.11.5. Алгоритм. Алфавит. Простейшие функции. Рекурсивные функции. Тезис Черча. Нормальные алгоритмы Маркова.

(6.1.5.)

2.11.6. Конечные автоматы. Способы их написания. Эквивалентные состояния. Минимальные автоматы. Алгоритм минимизации детерминированного конечного автомата.

(6.1.5.)

2.11.7. Орграфы. Основные определения. Матрицы орграфов. Орцепи и орциклы.

(6.1.5.)

2.11.8. Неориентированные графы. Основные определения. Полный граф Kn. Матрицы графов. Циклы, цепи. Достижимость. Связность.

(6.1.5.)

2.11.9. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Задача Эйлера.

(6.1.5.)

2.11.10. Деревья, лес. Остовное дерево графа. Цикломатическое и хроматическое числа графа.

(6.1.5.)

2.11.11. Построение остовного дерева минимальной длины. Алгоритм Краскала построения минимального дерева.

(6.1.5.)

Раздел 12

Основы математического программирования

2.12.1. Понятие об операции. Математическое моделирование операций. Проблема моделирования и оптимизации.

(6.1.6.)

2.12.2. Линейное программирование: предмет линейного программирования, геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, графический метод её решения.

(6.1.6.)

2.12.3. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Достаточные условия оптимальности опорного решения.

(6.1.6.)

2.12.4. Двойственность в линейном программировании. Теоремы двойственности. Алгоритм двойственного симплекс–метода.

(6.1.6.)

2.12.5. Транспортная задача, математическая модель закрытой транспортной задачи, существование оптимального плана, условия оптимальности плана, открытые транспортные задачи. Методы северо–западного угла, наименьшей стоимости, потенциалов.

(6.1.6.)

2.12.6. Задача целочисленного линейного программирования и методы ее решения (Гомори, ветвей и границ).

(6.1.6.)

2.12.7. Нелинейное программирование: выпуклые множества и их свойства, выпуклые и вогнутые функции, постановка задачи выпуклого программирования, седловая точка, теорема Куна–Таккера.

(6.1.6.)

2.12.8. Динамическое программирование. Постановка задачи. Признаки оптимальности Беллмана.

(6.1.6.)

2.12.9. Дискретные задачи транспортного типа. Транспортная задача на сети с ограниченной пропускной способностью.

(6.1.6.)

2.12.10. Элементы теории стратегических матричных игр. Принятие решений в условиях неопределенности и риска.

(6.1.6.)

Раздел 13

Обыкновенные дифференциальные уравнения

2.13.1. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Обыкновенные дифференциальные уравнения ( основные понятия и определения ). Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши ( без доказательства). Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений.

(6.1.4.)

2.13.2. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.

(6.1.4.)

2.13.3. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

(6.1.4.)

2.13.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

(6.1.4.)

2.13.5. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Система фундаментальных решений. Общее решение. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

(6.1.4.)

Раздел 14

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

2.14.1. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная форма их записи. Задача Коши. Метод исключения.

(6.1.4.)

2.14.2. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Решение в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

(6.1.4.)

Раздел 15

Элементы теории устойчивости

2.15.1. Понятие устойчивости решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений.

(6.1.4.)

2.15.2. Автономные нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости.

(6.1.4.)

Раздел 16

Уравнения математической физики

2.16.1. Понятие об уравнениях в частных производных. Решение линейных уравнений первого порядка в частных производных.

(6.1.4.)

2.16.2. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера и методом разделения переменных.

(6.1.4.)

2.16.3. Уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения задачи Коши.

(6.1.4.)

2.16.4. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

(6.1.4.)

2.16.5. Разностные уравнения первого и второго порядка. Примеры разностных схем. Общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка. Понятие о методе сеток решения краевых задач математической физики.

(6.1.4.)

Раздел 17

Ряды

2.17.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами.

(6.1.14.)

2.17.2. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

(6.1.4.)

2.17.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

(6.1.4.)

2.17.4. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

(6.1.4.)

2.17.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов.

(6.1.4.)

2.17.6. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора для функций: , , , , , .

(6.1.4.)

2.17.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям: вычисление значений функций, вычисление пределов, вычисление определенных интегралов.

(6.1.4.)

Раздел 18

Ряды Фурье. Преобразования Фурье

2.18.1. Измеримые множества и измеримые функции. Интеграл Лебега. Пространства суммируемых функций. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система ортогональных функций. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в точке. Условие равномерной сходимости.

(6.1.4.)

2.18.2. Ряды Фурье для функций с произвольным переходом. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

(6.1.4.)

2.18.3. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

(6.1.4.)

Раздел 19

Элементы теории функций комплексного переменного

2.19.1. Функции комплексного переменного. Важнейшие элементарные функции комплексного переменного.

(6.2.3.)

2.19.2. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Дифференцируемость элементарных функций. Аналитические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

(6.2.3.)

2.19.3. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

(6.2.3.)

2.19.4. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их классификация.

(6.2.3.)

2.19.5. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

(6.2.3.)

Раздел 20

Преобразования Лапласа. Операционный метод

2.20.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Таблица изображений простейших функций.

(6.1.4.)

2.20.2. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля.

(6.1.4.)

2.20.3. Операционный метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их систем.

(6.1.4.)

Раздел 21

Криволинейные и поверхностные интегралы

2.21.1. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

(6.1.4.)

2.21.2. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

(6.1.4.)

Раздел 22

Элементы теории поля

2.22.1. Скалярное и векторное поля. Физические примеры. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

(6.1.4.)

2.22.2. Ориентированные и неориентированные поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность: его свойства и физический смысл. Формула Остроградского – Гаусса.

(6.1.4.)

2.22.3. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные поля.

(6.1.4.)

2.22.4. Криволинейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства и физический смысл. Вычисление ротора в декартовых координатах.

(6.1.4.)

2.22.5. Потенциальное поле, условия потенциальности. Определение потенциала векторного поля.

(6.1.4.)

2.22.6. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора векторного поля с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие об уравнении Лапласа и гармонической функции.

(6.1.4.)

Раздел 23

Теория вероятностей

2.23.1. Предмет теории вероятностей. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Частота. Геометрическая вероятность.

(6.1.4.)

2.23.2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.

(6.1.4.)

2.23.3. Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства, плотность вероятностей непрерывной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

(6.1.4.)

2.23.4. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение, основные свойства и вычисление.

(6.1.4.)

2.23.5. Закон распределения вероятностей (плотность вероятностей) непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины, их вычисление и свойства.

(6.1.4.)

2.23.6. Равномерное, показательное и нормальное распределения. Их числовые характеристики.

(6.1.4.)

2.23.7. Функция Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность отклонения от математического ожидания. Правило «трех сигм».

(6.1.4.)

2.23.8. Система двух случайных величин. Условные законы распределения. Условные математические ожидания.

(6.1.4.)

2.23.9. Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Линейная корреляция, линейная регрессия.

(6.1.4.)

2.23.10. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева.

(6.1.4.)

2.23.11. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства. Центральная предельная теорема Ляпунова.

(6.1.4.)

2.23.12. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Предельные теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона.

(6.1.4.)

Раздел 24

Модели случайных процессов.

Элементы теории массового обслуживания

2.24.1. Понятие о случайном процессе. Классификация случайных процессов. Примеры случайных процессов.

(6.1.6.)

2.24.2. Потоки событий, их свойства и классификация. Простейший поток. Потоки Эрланга. Предельная теорема для суммарного потока.

(6.1.6.)

2.24.3. Цепи Маркова. Определение марковского случайного процесса. Граф состояний. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях ( без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. Процесс гибели и размножения.

(6.1.6.)

2.24.4. Системы массового обслуживания и их классификация. Основные понятия: поток, очередь, канал обслуживания. Показатели эффективности систем массового обслуживания.

(6.1.6.)

2.24.5. Марковские системы массового обслуживания. Задача Эрланга. Размеченный граф состояний. Определение основных характеристик обслуживания. Условие существования предельного распределения вероятностей состояний. Формула Литтла.

(6.1.6.)

Раздел 25

Математическая статистика

2.25.1. Основные задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности данных. Репрезентативность выборки. Статистическое распределение выборки. Варианты. Частоты. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма.

(6.1.7.)

2.25.2. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки: несмещенные, эффективные и состоятельные. Генеральная и выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

(6.1.7.)

2.25.3. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал. Надежность. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и неизвестном среднеквадратических отклонениях. Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения.

(6.1.7.)

2.25.4. Метод наибольшего правдоподобия. Функция правдоподобия. Оценка наибольшего правдоподобия. Уравнение правдоподобия.

(6.1.7.)

2.25.5. Элементы корреляционного анализа. Выборочный коэффициент корреляции; его интервальные оценки. Основные свойства регрессии. Уравнение линейной регрессии. Нахождение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения.

(6.1.7.)

2.25.6. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы критическая область. Проверка гипотезы о законе распределения. Распределения: , Стьюдента и Фишера. Критерий согласия Пирсона (хи – квадрат).

(6.1.7.)

Раздел 26

Вариационное исчисление

2.26.1. Функционалы. Пространства и .

(6.2.6.)

2.26.2. Вариация функционала. Первая вариация и необходимые условия экстремума. Экстремали.

(6.2.6.)

2.26.3. Вторая вариация и достаточные условия экстремума.

(6.2.6.)

2.26.4. Вариационные задачи на условный экстремум.

(6.2.6.)

2.26.5. Задача с конечными связями. Задача с дифференциальными связями. Связь вариационных задач с дифференциальными уравнениями.

(6.2.5.)

Раздел 27

Оптимальное управление

2.27.1. Постановка задачи. Экстремумы функций. Уравнение движения. Управление. Помеха. Канонический случай. Реализация процесса.

(6.1.6.)

2.27.2. Оптимальная минимаксная стратегия. Оптимальный гарантированный результат.

(6.1.6.)

2.27.3. Оптимальная максиминная контр стратегия. Допустимый закон формирования помехи. Оптимальный гарантированный контр результат.

(6.1.6.)

2.27.4. Позиционная дифференциальная игра. Цена игры. Седловая точка. Закон управления.

(6.1.6.)

2.27.5. Неулучшаемость результата, названного оптимальным.

(6.1.6.)

Раздел 28

Временные ряды

2.28.1. Временный ряд. Определение. Примеры. Формулировка основных задач.

(6.2.7.)

2.28.2. Стационарные временные ряды и их основные характеристики.

(6.2.7.)

2.28.3. Проверка гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда.

(6.2.7.)

2.28.4. Выделение неслучайной составляющей.

(6.2.7.)

2.28.5. Подбор порядка аппроксимирующего полинома с помощью метода последовательных разностей.

(6.2.7.)

2.28.6. Модели стационарных временных рядов и их идентификация.

(6.2.7.)

Раздел 29

Математическое моделирование

2.29.1. Понятие математической модели. Основные требования.

(6.1.8.)

2.29.2. Типы математических моделей. Построение математической модели. Упрощение и уточнение.

(6.1.8.)

2.29.3. Методы построения и исследования решений.

(6.1.8.)

2.29.4. Выбор степени точности решения. Применение ЭВМ.

(6.1.8.)

2.29.5. Вероятностно – статическая модель, как частный случай математической модели. Статическое исследование зависимостей (основные понятия и постановка задач).

(6.1.8.)

2.29.6. Модели законов распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике статистических исследований.

(6.1.8.)

Раздел 30

Распознавание образов и типологизация объектов

2.30.1. Сущность, прикладная направленность и типологизация задач классификации объектов.

(6.2.8)

2.30.2. Классификация при наличии обучающих выборок (дискриминантный анализ).

(6.2.8)

2.30.3. Классификация без обучения (параметрический случай).

(6.2.8)

2.30.4. Расщепление смесей вероятностных распределений.

(6.2.8)

2.30.5. Классификация без обучения (непараметрический случай).

(6.2.8)

2.30.6. Кластер – анализ.

(6.2.8)