2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, порядка n. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

Литература: [1] – C.426-431; [2] – C.22-26; [4] – C.263-268.

Тема 2. Матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Базисный минор. Ранг матрицы. Собственные числа матриц. Обратная матрица, условие существования, основные способы её нахождения. Матричные уравнения, их решение.

Литература: [1] – C.416-426; 431-435; [2] –C.9-16; 26-29; [4] –C.259-263; 272-276.

Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия и определения. Матричная запись СЛАУ. Теорема Кронеккера-Капелли. Решение СЛАУ по формулам Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса. Общее решение СЛАУ. Однородные СЛАУ, свойства их решений. Условия существования ненулевых решений однородных СЛАУ. Фундаментальная система решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Литература: [1] – C.436-457; 466-474; [2] – C.38-53; 56-60; [4] – C.268-276.

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство. Линейные операторы.

N – мерный арифметический вектор. Линейные операции над векторами, их свойства. Понятие n-мерного векторного пространства . Линейно зависимые и независимые системы векторов, их свойства. Базис и ранг системы векторов, пространства . Координаты вектора в . Скалярное произведение. Евклидово пространство. Ортогональный базис.

Литература: [1] – C.406-416; [2] – C.68-86.

Тема 5. Квадратичные формы.

Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Положительно и отрицательно определённые

квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квадратичных форм.

Литература: [2] – C.86-91.

Тема 6. Векторная алгебра.

Геометрические векторы на прямой, плоскости и в пространстве, действия над ними. Проекция вектора. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина и направляющие косинусы вектора. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, выражение в координатной форме, приложения для решения геометрических задач. Условия перпендикулярности, параллельности и компланарности векторов.

Литература: [1] – C.301-305; [2] – C.63-68; [4] – C.222-241.

Тема 7. Прямые линии и плоскости.

Прямая на плоскости и в пространстве. Различные виды уравнений прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Литература: [1] – C.91-94; 305-311; [2] –C.95-104; 119-121; [4] –C.34-52; 244-252.

Тема 8. Кривые и поверхности второго порядка.

Кривые 2-ого порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их определения, канонические уравнения, форма. Приведение общего уравнения кривой 2-ого порядка к каноническому виду и построение. Поверхности 2-ого порядка, их канонические уравнения и форма.

Литература: [1] – C.95-98; 311-318; [2] – C.104-115; [4] – C.52-69; 252-259.

Тема 9. Системы линейных неравенств.

Системы линейных неравенств. Решение линейных неравенств в . Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений и неравенств.

Литература: [5] – C.271-273.

Раздел II. Введение в математический анализ. Дифференциальное

исчисление функции одной переменной.

Тема 10. Множества. Числовые множества. Функция.

Множества и операции над ними. Множества чисел. Действительные числа, модуль числа и его свойства. Числовые промежутки. Окрестность точки. Понятие функции. Способы задания, график, элементы поведения функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Обратная и сложная функции. Элементарные функции, их классификация.

Литература: [1]–C.15-24; 46-58; 88-91; [2]–C.123-140; [3]–C.13-27; [4]–C.10-19; 69-73; 100-102.

Тема 11. Комплексные числа и многочлены. Функции комплексного переменного.

Комплексные числа, их геометрическое изображение. Различные формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Многочлены и алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочленов на линейные и квадратичные множители. Понятие функции комплексного переменного. Элементарные функции комплексного переменного. Формула Эйлера.

Литература: [3] – С.206-222; [4] – C.402-405.

Тема 12. Предел функции. Эквивалентные функции.

Определения предела функции при и . Односторонние пределы. Бесконечно большие и малые функции, их свойства. Неопределённые выражения. Основные теоремы о пределах функций. Предельный переход в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства и применение при вычислении пределов. Литература: [1] –C.58-73; [2] –C.143-159; [3] – C.31-52; 59-60; [4] – C.73-87.

Тема 13. Числовые последовательности. Предел последовательности.

Понятие числовой последовательности. Предел последовательности, его геометрический смысл. Бесконечно малые и большие последовательности. Монотонная последовательность, признак её сходимости. Число . Задача о непрерывном начислении процентов по банковским вкладам.

Литература: [1] –C.24-46; [2] –C.141-143; 158-161; [4] – C.20-33.

Тема 14. Непрерывность функции.

Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на множестве. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке. Численное решение нелинейных уравнений (метод половинного деления).

Литература: [1] –C.74-91; [2] –C.161-166; [3] – C.53-59; [4] – C.87-97, 102-104.

Тема 15 Производные и дифференциалы функции одной переменной.

Приращение функции. Определение производной, её геометрический смысл. Понятие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции. Простейшие правила дифференцирования (постоянной; суммы, разности, произведения и частного функций). Дифференцирование обратной и сложной функции. Логарифмическая производная. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Уравнения касательной и нормали.

Литература: [1]–C.98-124; [2]–C.176-202;236-246; [3]–C.66-114; [4]–C.104-127.

Тема 16. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их следствия. Правило Лопиталя, его применение для раскрытия неопределённостей. Формулы Тейлора и

Маклорена, их применение в приближённых вычислениях.

Литература: [1]–C.124-140; [2]–C.205-211; [3]– C.124-141; [4]–C.127-140.

Тема 17. Исследование функций с помощью производных, построение их графиков.

Схема проведения полного исследования функции. Возрастание и убывание функции, нахождение участков её монотонности. Стационарные и критические точки функции. Локальные экстремумы функции, условия их существования и нахождение. Глобальные экстремумы функции на отрезке, их нахождение. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба, условия их существования и нахождение. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, условия их существования и нахождение. Построение графика функции.

Литература: [1]–C.140-155; [2]–C.212-231; [3]–C.145-175; [4]–C.140-151