Нахождение скорости движения смеси в корпусе планетарного смесителя

Для определения скорости движения потока частиц смеси в рассматриваемом планетарном смесителе используем уравнение непрерывности материи, находящейся в замкнутой системе [126]:

где W- вектор искомой скорости; t- текущее время.

Если предположить, что движущаяся среда представляет собой сильно вязкую псевдо жидкость с постоянной плотностью γ = const,тогда, согласно (2.68), имеем:

Решение уравнения (2.69) можно найти исходя из потенциала скоростей U (r, z),который в силу аксиальной симметрии будет зависеть от двух цилиндрических координат (r, z) и связан с вектором скоростиследующим соотношением:

Применение (2.70) к уравнению (2.69) позволяет получить следующее уравнение:

Согласно визуальному наблюдению, движение частиц материала в прозрачном корпусе планетарного смесителя осуществляется по спиральным траекториям. Поэтому решение уравнения (2.71) необходимо искать в виде:

где k- параметр, который с шагом спирали «к» связан соотношением:

Решение (2.72) описывает закручивание потенциала скоростей в спираль с шагом «Л».

Подстановка (2.72) в (2.71) позволяет получить следующий результат:

Решением дифференциального уравнения (2.74) являются модифицированные функции Бессел

На основании сказанного, общее решение уравнения (2.74) будет иметь вид:

Решение (2.75) в точке г= 0 должно удовлетворять условию:

На основании свойства функции Бесселя I₀и K₀в соотношении (2.75) произвольную постоянную C₂необходимо положить равной нулю. Согласно сказанному имеем:

Подстановка (2.77) в (2.72) приводит к следующему результату:

При подстановка (2.78) в (2.70) получаем следующее соотношение для вектора скорости:

здесь- единичные орты вдоль соответствующих осей координат.

Согласно свойствам функции Бесселя I0 [39] имеем:

С учетом (2.80) соотношение (2.79) можно представить в следующем виде:

Для того чтобы вблизи цилиндрического корпуса планетарного смесителя r = R₀поднять материал на некоторую фиксированную величину:

нужно совершить некоторое число оборотов «N», равное:

На основании (2.82) и (2.83) можно вывести равенство:

Из (2.84) следует, что

Исходя из (2.86) с учетом (2.73) находим значение постоянной «Сі»:

Подстановка (2.87) в (2.81) позволяет получить следующие значения компонент вектора скорости частиц смеси в планетарном смесителе:

Таким образом, можно сделать вывод что, полученные соотношения (2.88) и (2.89) определяют компоненты W_rи W_z- скорости движения частиц смеси в

76 планетарном смесителе и зависят от таких конструктивных параметров как коэффициент загрузки, высота корпуса, частота вращения и радиусы подвижной и неподвижной шестерни.

2.5.