Аналитические исследования изменения концентрации крупного заполнителя в процессе смешивания бетонной смеси лопастями смесителя

При аналитическом описании процесса изменения концентрации крупного заполнителя при смешивании бетонной смеси предположим, что данный процесс является линейным и для него справедлив принцип суперпозиции, а также свойство аддитивности.

В рамках модели идеального смешивания изменение концентрации выделенной компоненты смеси (частица крупного заполнителя) будет описываться дифференциальным уравнением:

здесь / - индекс, нумерующий порядковый номер лопасти, и изменяющийся в пределах от 1 до z (z- число лопастей смесителя);

q_i- объемная скорость подачи материала на i-ую лопасть смесителя;

V_i- внутренний объем материала перемещаемый i-ой лопастью смесителя;

C₀,_i- начальное значение характеристики ключевого компонента i-ой лопасти смесителя.

В силу идентичности геометрических размеров каждой лопасти смесителя естественно предположить равенство объемов перемещаемого материала каждой лопастью смесителя. На основании данного факта имеем:

Объемная подача материала на iлопасть смесителя определяется соотношением:

где V_m- объем материала, заполняющий корпус смесителя;

t_i- время пребывания материала в зоне воздействия i-ой лопасти смесителя; z- число лопастей установленных на смеситель.

При этом:

здесь R₂и R₁- соответственно внешний и внутренний радиусы смесительной чаши;

H₁- высота слоя смешиваемого материала.

Подстановка (2.36) в (2.75) с учетом (2.28) приводит к следующему результату:

С учетом выражения (2.13) формула (2.77) принимает следующий вид:

С учетом (2.7) выражение (2.78) принимает вид:

Соотношение (2.79) можно представить в виде:

здесь введено следующее обозначение:

Процесс изменения концентрации крупного заполнителя был рассмотрен для случая установки лопастей, имеющих криволинейную поверхность в форме геликоида (рис. 2.11). В результате вращения ротора по часовой стрелке лопасти с номерами 1 -3 осуществляют перемещение смеси по винтовой траектории, заданной поверхностью лопасти, от периферии к центру смесительной чаши. Лопасти с номерами 4-6 осуществляют перемещение смеси по винтовой траектории в направлении от центра смесительной чаши к её периферии.

При движении смеси от периферии к центру изменение концентрации заполнителя в смеси на основании выражений (2.71), (2.77), (2.80) будет описываться дифференциальным уравнением:

Найдем решение дифференциального уравнения (2.82), которое описывает изменение концентрации заполнителя при движении смеси по поверхности первой лопасти (i = 1).

Решение дифференциального уравнения (2.83) имеет вид:

где A₁- постоянная интегрирования, значение которой можно определить из

следующего начального условия:

при t = 0

Применив условие (2.85) для значения i = 1 находим, что

Подстановка (2.86) в соотношение (2.84) позволяет получить следующий результат:

здесь C₀- начальное значение концентрации щебня, поступающего на первую лопасть смесителя.

Рисунок 2. 11 . Расчетная схема установки лопастей смесителя для организации винтового движения смеси по геликоидной поверхности криволинейных лопастей;

* - точка начальной загрузки щебня

На основании соотношения (2. 82) можно получить дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации щебня при движении смеси по поверхности второй лопасти:

Подстановка (2.87) в (2.88) приводит к следующему неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка:

Решение уравнения (2.89) имеем в виде:

где неизвестная функцияудовлетворяет уравнению

Интегрирование (2.91) приводит к соотношению:

Подстановка соотношение (2.92) в формулу (2.90) приводит к следующему: где А₂ - постоянная интегрирования, значение которой можно определить, воспользовавшись условием (2.85).

Применив (2.85) к (2.93) получаем:

Подстановка (2.94) в (2.93) позволяет получить следующую формулу:

Согласно (2.82) уравнение, описывающее изменение концентрации заполнителя в смеси при движении по поверхности третьей лопасти, имеет вид:

Применив начальное условие (2.85) к (2.109) получим уравнение для определения величины А₄:

Решая (2.110) относительно величиныполучим результат:

Подстановка найденного значения (2.111) в (2.109) приводит к соотношению, которое определяет изменение концентрации заполнителя (щебня) при движении бетонной смеси по поверхности четвертой лопасти смесителя:

Для нахождения изменения концентрации щебня в результате движения смеси по поверхности пятой лопасти, рассматриваемого смесителя, необходимо найти решение следующего дифференциального уравнения:

С учетом (2.112) уравнение (2.113) принимает вид:

Решение дифференциального уравнения (2.114) удовлетворяющее начальным условиям (2.85) для значения индекса i=5имеет следующий вид:

Изменение концентрации наполнителя бетонной смеси в результате движения смеси по поверхности шестой лопасти смесителя будет описываться следующим дифференциальным уравнением:

С учетом соотношения (2.115) уравнение (2.116) принимает вид:

Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (2.117) удовлетворяющее начальному условию (2.83) для значения индекса i = 6 имеет вид:

74

Таким образом, полученные выражения (2.87), (2.95), (2.103), (2.112), (2.115), (2.118) описывают изменение концентрации крупного заполнителя в области контакта лопастей со смесью за время движения бетонной смеси по поверхности соответствующей лопасти (2.76).

Процесс смешивания компонентов является линейным процессом и подчиняется принципу суперпозиции. На основании сказанного изменение концентрации выделенной компоненты смеси (щебня) при движении бетонной смеси от расстояния R₂до R∣и обратно в кольцевой зоне движения первой и шестой лопастей смесителя будет определяться следующим соотношением:

В свою очередь изменение концентрации заполнителя в кольцевой зоне движения второй и пятой лопастей смесителя определяется соотношением:

а изменение концентрации щебня в кольцевой зоне движения третьей и четвертой лопастей смесителя определяется соотношением:

здесь t_i(i=1, 2, 3) среднее значение времени, определяемое соотношением (2.76).

Для конструктивных параметров лабораторной установки при частоте вращения ротора п=0,55с^-1 находим, что:

где С₀ - начальное значение концентрации щебня при попадании на первую

лопасть смесителя.

Таким образом, полученные соотношения (2.122) определяют относительное изменение концентрации заполнителя в смесительной чаше в результате перемещения смеси от периферии к центру и обратно.

2.5.