7.3. Таблицы смертности

Таблицы смертности (дожития) - это числовые модели смертности, служащие для характеристики её общего уровня и возрастных особенностей в различных населениях. Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью (корень таблицы).

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения.

В зависимости от шага временной шкалы различают полные (шаг = 1 году) и краткие (шаг = 5 или 10 годам) таблицы.

Показатели (функции) таблиц смертности делятся на интервальные и кумулятивные. Первые характеризуют смертность на данном интервале возраста, вторые - за весь период жизни до или после данного точного возраста.

Целесообразно рассмотреть взаимосвязи показателей таблиц смертности на примере полных таблиц. В них с переходом от возраста «х» к возрасту «х +1» число доживающих l будет последовательно уменьшаться на величину числа

умирающих в возрасте «х», т.е. dx.

lX +1 _ lx - dX .

Каждый родившийся рано или поздно умирает, и, в конечном счете, число умерших (из каждого поколения, численность которых мы определили заранее) составит lg, т. е. число родившихся,

a

l0 _ 1 dx , x _ 0

где a - предельный возраст, до которого доживает последний человек из поколения родившихся.

Вероятность смерти в возрасте «х» (в возрастном интервале от «х» до

«х+1») - qx - определяется в соответствии с правилами теории вероятностей как отношение числа умирающих в возрасте «х» - dx, к числу доживающих до этого возраста, т.е. lx.

dx

qx _ f.

lx

Вероятность смерти qx можно интерпретировать как долю умирающих в

возрасте «х» из числа доживающих до начала возрастного интервала «х».

Вероятность дожития до возраста «х + 1» - px для тех, кто дожил до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»), будет определяться как отношение числа доживающих до возраста «х + 1» к числу доживших до возраста «х» (до начала возрастного интервала «х»).

Px _

lx + 1

Вероятность дожития есть не что иное, как доля переживающих возраст «х» из числа доживающих до его начала.

В пределах одного возрастного интервала возможна только единственная альтернатива: либо пережить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения, либо, увы, не дожить до него.

qx+Px _ .

Вследствие закономерного уменьшения числа доживающих с основания таблицы смертности

l1 _ l0 ' p0 .

Далее, следуя той же логике

l2 _ l1 ¦ P1 _ l0 ¦ P0 ¦ P1,

lx _ l0 ¦ P0 ¦ P1 Px -1.

Отсюда видно, что число доживающих - это вероятность для новорожденного дожить до возраста «х».

В таблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще - ни одного человека. Есть только вероятности и доли.

Последовательность изменений чисел доживающих lx графически представляет собой линию дожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем ниже уровень смертности, чем большая доля родившихся (поколения) доживает до старших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см. рис. 8).

Числа живущих рассчитывается как среднее арифметическое из чисел доживающих на начало и конец возрастного интервала

L _ x + lx + 1

Lx _ 2 •

Также число живущих можно вычислить еще по одной формуле

L _ dx

x ~ ,

x mx

где d x - число умирающих в возрасте «х», m x - возрастные коэффициенты смертности для того населения.

По этой формуле рассчитывается число живущих для всех возрастов, кроме самых первых детских возрастов, для которых используются специальные формулы:

2

Число живущих в возрасте 0 лет L0 _ 0 - 3' dx.

Число живущих в возрасте 1-4 года L1 _ 1,704 - І1 + 2,533 - lj - 0,237 - ІЮ .

Число живущих можно трактовать так же и как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста «х». Тогда, следовательно, поколение родившихся l0 проживет на первом году жизни (т. е. в возрасте 0 лет) L0 лет, на 2-м году - L1 лет, на 3-м - L2 лет и т. д., а всего:

a

T0 _ I Lx , x _ 0

где T0 - число человеко-лет, которое предстоит прожить данному поколению родившихся.

Если эту сумму человеко-лет разделить на первоначальную численность поколения, т.е.

показатель, который называется показателем средней ожидаемой продолжительности жизни.

Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни - это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни этого поколения смертность в каждой возрастной группе будет оставаться неизменной на уровне расчетного периода.

Продолжительность предстоящей жизни рассчитывается для новорожденных (или иначе говорят - ожидаемая продолжительность жизни при рождении) и для достигших некоторого возраста «х».

1

Х

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 возраст (лет)

100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000

Рис. 8. График кривой дожития

a

i lx Х _ 0

0

l

0

0

Для новорожденных - вд _ -

a

L,

I -X

х=0

Для людей, достигших возраста «х», - вх _