2.1.2. Формулы логики высказываний

Определим понятие формулы логики высказываний.

Определение. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

· высказывательные переменные;

· логические символы;

· символы скобок.

Определение. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

1) любая высказывательная переменная – формула;

2) если А и В – формулы, то O А, А Ù В, АU В, А® В, АA В, А »В, А ï В, А ¯ В – формулы;

3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Определение. Подформулой формулы А называется любая ее часть, которая сама является формулой.

Пример 20.

Представить логическими формулами следующие высказывания: «Сегодня понедельник или вторник». «Идет снег или дождь». «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые». «Что в лоб, что по лбу».

Решение.

1. Составное (сложное) высказывание «Сегодня понедельник или вторник» состоит из двух простых:

ü а – «сегодня понедельник»;

ü b – «сегодня вторник».

Высказывания а и b соединены связкой «или» очевидно в разделительном смысле (не допускается одновременное выполнение обоих условий), то есть используется логическая связка «сумма по модулю два». Таким образом, данное высказывание представимо логической формулой: a A b.

2. Высказывание «Идет снег или дождь» также состоит из двух простых, соединенных связкой «или»:

ü а – «идет снег»;

ü b – «идет дождь».

Но в отличие от предыдущего связка «или» использована здесь не в разделительном смысле, поэтому – используется логическая связка дизъюнкция и логическая формула имеет вид: аUb.

3. Сложное высказывание «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» включает два простых высказывания:

ü а – «идет дождь»;

ü b – «крыши мокрые».

В первом предложении «Если идет дождь, то крыши мокрые» высказывания а, b соединены связкой «если …, то…»: а ® b.

Во втором «Дождя нет, а крыши мокрые» союз «а» здесь имеет смысл связки «и» (Ù), и кроме того высказывание а следует взять с отрицанием: .

Остается объединить представленные выше два высказывания в одно связкой Ù:

.

4. Высказывание «Что в лоб, что по лбу», если обозначить:

ü а – «в лоб»,

ü b – «по лбу»,

представимо логической формулой a » b.

Пример 21.

Представить логической формулой следующий текст:

«Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна стратегия «малого корабля», или экономии издержек. Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг – стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона организации. Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта.»

Введем обозначения простых высказываний, содержащихся в первом предложении:

A – «фирма продолжает выпуск существующего продукта»;

B – «фирма ориентирована на существующий рынок;

C – «для фирмы целесообразна (привлекательна) стратегия «малого корабля»;

D – «для фирмы целесообразна (привлекательна) стратегия экономии издержек»;

С учетом введенных обозначений логическая формула для первого предложения примет вид:

(AÙB)®(С~D).

Второе предложение содержит новые простые высказывания:

K – «интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором организации»;

L – «интенсивный маркетинг является слабой стороной организации».

Логическая формула, представляющая второе предложение:

(KÙL)®(C~D).

В третьем предложении содержатся новые простые высказывания:

М – «интенсивный маркетинг является сильной стороной организации»;

N – «фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта».

Логическая формула для третьего предложения:

(KÙM)®N.

Окончательно текст записывается следующей логической формулой:

((AÙB)®(С~D))Ù( (KÙL)®(C~D))Ù( (KÙM)®N).

Для каждой формулы логики высказываний можно построить таблицу истинности.

Определение. Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (0).

Определение. Формула называется тождественно-истинной, или тавтологией (тождественно-ложной или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (0) при всех наборах значений переменных.

Пример 22.

Составить таблицы истинности для формул:

1. ;

2. .

Решение. Таблица истинности для формулы имеет вид (табл. 9):

Таблица 9

x y xÙy (xÙy)Ux
0 0 0 0 0
1 0 1 0 0
2 1 0 0 1
3 1 1 1 1

Таблица истинности для формулы имеет вид (табл. 10):

Таблица 10

x y z
0 0 0 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 1 1 1
2 0 1 0 0 1 1 0 0 0
3 0 1 1 0 1 1 0 0 0
4 1 0 0 1 1 1 0 0 0
5 1 0 1 1 1 1 0 0 0
6 1 1 0 0 0 1 0 0 1
7 1 1 1 0 0 1 0 0 1

<< | >>
Источник: Лекции - Дискретная математика. 2016

Еще по теме 2.1.2. Формулы логики высказываний:

  1. 4.5. Правила выводов логики высказываний
  2. Логическая структура высказываний
  3. АЛГОРИТМ
  4. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
  5. ЛОГИКА КЛАССОВ
  6. §2. Логические законы
  7. 2. 1. Логика высказываний
  8. 2.1.2. Формулы логики высказываний
  9. 2.1.3. Равносильность формул логики высказываний
  10. 2.1.5.Совершенные нормальные формы
  11. 2.2.1. Представление булевой функции формулой логики высказываний
  12. 2.3. Исчисление высказываний
  13. 2.4.1. Основные понятия, связанные с предикатами
  14. 2.4.6. Формулы логики предикатов