2.1.2. Формулы логики высказываний

Определим понятие формулы логики высказываний.

Определение. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

· высказывательные переменные;

· логические символы;

· символы скобок.

Определение. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

1) любая высказывательная переменная – формула;

2) если А и В – формулы, то O А, А Ù В, АU В, А® В, АA В, А »В, А ï В, А ¯ В – формулы;

3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Определение. Подформулой формулы А называется любая ее часть, которая сама является формулой.

Пример 20.

Представить логическими формулами следующие высказывания: «Сегодня понедельник или вторник». «Идет снег или дождь». «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые». «Что в лоб, что по лбу».

Решение.

1. Составное (сложное) высказывание «Сегодня понедельник или вторник» состоит из двух простых:

ü а – «сегодня понедельник»;

ü b – «сегодня вторник».

Высказывания а и b соединены связкой «или» очевидно в разделительном смысле (не допускается одновременное выполнение обоих условий), то есть используется логическая связка «сумма по модулю два». Таким образом, данное высказывание представимо логической формулой: a A b.

2. Высказывание «Идет снег или дождь» также состоит из двух простых, соединенных связкой «или»:

ü а – «идет снег»;

ü b – «идет дождь».

Но в отличие от предыдущего связка «или» использована здесь не в разделительном смысле, поэтому – используется логическая связка дизъюнкция и логическая формула имеет вид: аUb.

3. Сложное высказывание «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» включает два простых высказывания:

ü а – «идет дождь»;

ü b – «крыши мокрые».

В первом предложении «Если идет дождь, то крыши мокрые» высказывания а, b соединены связкой «если …, то…»: а ® b.

Во втором «Дождя нет, а крыши мокрые» союз «а» здесь имеет смысл связки «и» (Ù), и кроме того высказывание а следует взять с отрицанием: .

Остается объединить представленные выше два высказывания в одно связкой Ù:

.

4. Высказывание «Что в лоб, что по лбу», если обозначить:

ü а – «в лоб»,

ü b – «по лбу»,

представимо логической формулой a » b.

Пример 21.

Представить логической формулой следующий текст:

«Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна стратегия «малого корабля», или экономии издержек. Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг – стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона организации. Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта.»

Введем обозначения простых высказываний, содержащихся в первом предложении:

A – «фирма продолжает выпуск существующего продукта»;

B – «фирма ориентирована на существующий рынок;

C – «для фирмы целесообразна (привлекательна) стратегия «малого корабля»;

D – «для фирмы целесообразна (привлекательна) стратегия экономии издержек»;

С учетом введенных обозначений логическая формула для первого предложения примет вид:

(AÙB)®(С~D).

Второе предложение содержит новые простые высказывания:

K – «интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором организации»;

L – «интенсивный маркетинг является слабой стороной организации».

Логическая формула, представляющая второе предложение:

(KÙL)®(C~D).

В третьем предложении содержатся новые простые высказывания:

М – «интенсивный маркетинг является сильной стороной организации»;

N – «фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта».

Логическая формула для третьего предложения:

(KÙM)®N.

Окончательно текст записывается следующей логической формулой:

((AÙB)®(С~D))Ù( (KÙL)®(C~D))Ù( (KÙM)®N).

Для каждой формулы логики высказываний можно построить таблицу истинности.

Определение. Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (0).

Определение. Формула называется тождественно-истинной, или тавтологией (тождественно-ложной или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (0) при всех наборах значений переменных.

Пример 22.

Составить таблицы истинности для формул:

1. ;

2. .

Решение. Таблица истинности для формулы имеет вид (табл. 9):

Таблица 9

Таблица истинности для формулы имеет вид (табл. 10):

Таблица 10

№	x	y	z
0	0	0	0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	1	0	1	1	1
2	0	1	0	0	1	1	0	0	0
3	0	1	1	0	1	1	0	0	0
4	1	0	0	1	1	1	0	0	0
5	1	0	1	1	1	1	0	0	0
6	1	1	0	0	0	1	0	0	1
7	1	1	1	0	0	1	0	0	1