<<
>>

Минимизация КНФ

Определение. Элементарная дизъюнкция u называется имплицентой булевой функции F , если .

Например, элементарная дизъюнкция является имплицентой функции .

Определение. Если никакая собственная часть имплиценты u ( т.е.

) булевой функции F не является имплицентой F, то u называется простой имплицентой (т. е. если удаление из u хотя бы одного литерала нарушает условие , то u – простая имплицента).

Например, – простая имплицента булевой функции , имплицента не является простой для этой функции, так как (собственная часть имплиценты ) является имплицентой функции F.

Определение. Конъюнкция всех простых имплицент булевой функции F называется сокращенной КНФ (СкКНФ) функции F.

Например, – СкКНФ булевой функции . Отметим, что СкКНФ является единственной для конкретной булевой функции F.

Определение. КНФ булевой функции F, содер­жащая наименьшее число множителей среди всех КНФ, реализующих функцию F, называется кратчайшей КНФ (КрКНФ).

Например, является также и КрКНФ этой же булевой функции F.

Вообще говоря, для заданной булевой функции F может существовать несколько различных по числу вхождений литералов КрКНФ.

Определение. КНФ булевой функции F, содер­жавшая наименьшее число вхождений литералов среди всех КНФ, ре­ализующих функцию F, называется минимальной КНФ (МДНФ).

Отметим, что для заданной булевой функции F существует, вообще говоря, несколько МКНФ, отличающихся друг от друга чис­лом слагаемых.

Более того, МКНФ не всегда совпадает с КрКНФ булевой функции n переменных F. Хотя для начальных значе­ний n ( n = 2 или n = 3 ) МКНФ всегда совпадает с КрКНФ. Например, является КрКНФ и МКНФ рассматриваемой функции F.

Задача минимизации булевой функции в классе КНФ формулируется следующим образом: тре­буется для булевой функции n переменных F построить КНФ с минимально возможным числом множителей (КрКНФ) или с мини­мально возможным числом вхождений литералов (МКНФ).

Также отметим, что задача минимизации булевых функций n переменных F в классе КНФ также, как и задача минимизации булевых функций n переменных F в классе ДНФ, является чрезвычайно громоз­дкой и ее трудоемкость с ростом n возрастает по экспонен­циальному закону.

К настоящему времени разработано около 200 различных ме­тодов минимизации булевых функций в классе КНФ.

Пример. Составить по таблице истинности СКНФ булевой функции и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение.

0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0

СКНФ будет иметь вид: .

Минимизируем ее, применяя законы склеивания. Подчеркнем дизъюнкции, которые можно склеить. Очевидно, что это можно сделать различными способами, например:

,

.

Выберем один из возможных вариантов склеивания, например и минимизируем КНФ:

.

Замечание. При минимизации КНФ достаточно часто (но не всегда!) удается получить лучшие результаты, если «нарастить» данную КНФ используя свойство идемпотентности дизъюнкции: .

Например, в рассматриваемом примере третью, последнюю дизъюнкцию можно было бы склеить со второй дизъюнкцией . Добавив вторую дизъюнкцию еще раз, мы не изменим саму булеву функцию, но получим в результате минимизации КНФ более короткое ее представление:

.

Ответ: F

Пример. Составить СКНФ булевой функции, заданной вектором значений таблицы истинности w(F)=(10010110) и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение. Так как вектор значений заданной булевой функции имеет 8=23 разрядов, следовательно, булевой функции соответствует следующая таблица истинности:

F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0

СКНФ будет иметь вид:

.

К сожалению, минимизировать ее, применяя законы склеивания, невозможно.

Ответ: .

<< | >>
Источник: БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. Лекция. 2016

Еще по теме Минимизация КНФ:

  1. 3.5. Минимизация издержек при выборе и использовании факторов производства
  2. 3.2.2 Минимизация ресурсных требований к программной реализации
  3. 2.2.3. Сравнение МСП, RBF и СНРБ-сетей.
  4. 1.4. Функции страхования
  5. 1. Стратегия минимизации издержек
  6. 12.2. Качество менеджмента
  7. Минимизация целевой функции на основе адаптивных алгоритмов
  8. Глава 4. БЕЗРАБОТИЦА В ЭКОНОМИКЕ РОССИИ: ПРИЧИНЫ, ОСОБЕННОСТИ И ПУТИ МИНИМИЗАЦИИ
  9. § 8. Пути минимизации безработицы
  10. ФОРМИРОВАНИЕ НАЛОГОВОЙ ПОЛИТИКИ ПРЕДПРИЯТИЯ
  11. Экономическая сущность и классификация капитала предприятия.
  12. Управление привлечением товарного коммерческого кредита
  13. Минимизация сети
  14. И.В. Чикенева, Е.Е. Лутовина. Аварийно -спасательные работы как минимизация экологических рисков: учебное пособие / авт.-сост. И. В. Чикенева, Е.Е. Лутовина. Мин-во образования и науки РФ, Оренбург. гос. пед. ун-т. — Оренбург,2016.-143с., 2016
  15. 5.2.3. Метод минимизации..
  16. Минимизация ДНФ
  17. Минимизация КНФ