2В: Размер группы И добровольные он. .
(S2.i5 Т,эт
хбх аж лег ,ОНА
У' х' + рим Предложение общественного блага равно Q = g, + Gn
(S2.2)
где Gj — объем финансирования общественного блага другими индивидами. Функция полезности имеет вид:
ум* U=UixhQ). (S2.3)
На рис. S2.3 мы видим индивидуальный доходу, (выраженный в количестве частного блага, которое может быть приобретено с его помощью) и количество общественного блага <7„ полученное индивидом і благодаря добровольным пожертвованиям остальных.
Сумма этих пожертвований сдвигает кривую, отражающую возможность индивида выбирать между потреблением частного и общественного блага, вправо на величину Gt.
IOC г- ¦. L
•реоите. 14 -
'Kb 'її
nO*pe«.'.W:*.С HC српмвііл;чч> ifu
•jbTDO аТЭОНЕЭПОП ЯЬ'Л . от он
?Н Н вНННСТГЭОП MOIST ?НО ,K.JC .ЬКц ІЙ
,оь до
ЙО' • 1БЙОДЭОО
Общественное благо ^
/і Г">\
Рис. S2.3. Равновесный по Нэшу выбор между потреблением частного и финансированием общественного блвга .wt^.»... ..„^.і.
1 ХЖГЭПОП нгл) дотын > ын
Вклады остальных в финансирование общественного блага тнт?П.потэнЕСот*,мота
, - _ ; хлждогхн NMidHciiisflaqn J
- AW. = ~
G,
Ids UlUUIfiTDJJjII Собственный вклад в финансирование общественного блага
'liii.
Рис. S2.4. Равновесный по Нэшу выбор объемв финансирования общественного благв
Полезность максимизируется в точке Н, в которой индивид потребляет Х- частного блага и делает равновесное по Нэшу пожертвование на общественное благо g'.
(S2.3a)
U=U\y- Р?п G + &] = V\gh Gh Р0, у,).
Выбор, совершаемый индивидом в точке H на рис.
S2.3, также изображен на рис. S2.4. Для перехода от рис. S2.3 к рис. S2.4 мы пользуемся индивидуальным бюджетным ограничением, чтобы выразить полезность в следующем виде:Это показывает, что полезность зависит от выбора собственного вклада в финансирование общественного блага g, при заданном вкладе всех остальных С„ относительной цене общественного блага PG и величине индивидуального дохода у,. Единственное решение, принимаемое здесь индивидом — это решение о величине своего вкладаgt, которым лично он финансирует общественное благо.
Подобно тому как полезность остается постоянной на кривой безразличия на рис. S2.3, она также постоянна й на кривой Vj на рис. S2.4. На кривой V{
(S2.4)
dV< = 0 JJ-dg^dG., dg, Щ ^
и, следовательно, наклон кривой безразличия на рис. S2.4 равен
= „ | і
dg, ~ Э& " ЭС,' > о (S2-5>
Таким образом, наклон кривой безразличия равен соотношению двух предельных выгод (или полезностей) одного и того же общественного блага. Разница только в том, кто за него платит. Собственный вклад в общественное благо^ финансируется с предельными издержками А/С, отсюда I
дУ'
— = MB, - МС. Ї4 A- (S2.6)
Однако пожертвования других людей С, приносят предельную выгоду MB, без каких-либо издержек для индивида /, и тем самым
ЭК' "Г*
——= MB.. t (S2 7)
oGt -rtJMrt. Начнеъ иидоош / p.-cf.-jv
Подставляя выражения (S2.6) и (S2.7) в уравнение (S2.5), мы получаем следую-щее выражение для наклона кривой безразличия на рис. S2.4: |
dG, MB, - МС
(S2-8)
В точке Яна рис. S2.4 индивид выбирает максимизирующий его полезность
размер пожертвования g', когда совокупный вклад других составляет Gt. В точке Н
W п ъжп іт a parsyqHCHMN.xBM .гпюисэпоП
—— = 0 = MB, - МС. ,. _ (S2 д\
¦юч. эgi г|зжоп ушсИ on 30H )M0Heeq тэьпйд к (пкг.о о; у*-?)
рм u Выбор вточке Нявляется наилучшим ответом по Нэшу. С учетом общего объема пожертвований остальных С, индивид выбрал размер своего пожертвования, максимизирующий его полезность и удовлетворяющий ПО этому условию MB1= МС,.
Реакция индивида на изменения в объеме 'Д-ушеН on эмоэаонявЧ пожертвований других людей «нппо.
»агдэжоп ХынвЛбудыамднг"Каким образом индивид отреагирует, если остальные увеличат объем финансирования общественного блага?
Увеличение предложения остальных
v\Ha j
Собственный вклад в финансирование общественного блага
Рис. S2.5. Изменение вклвда остальных участников
На рис. S2.5 объем финансирования общественного блага остальными людьми увеличивается с (7,! до Ga. Реакция индивида задана формулой:"
^'7 = -\ + Рв(S2.10)
dG, dl, ъ р-
L ' I
Первое слагаемое в правой части соотношения (S2.10) соответствует отрицательному эффекту замещения один к одному. Замещение происходит один к одному, поскольку индивиду безразлично, потреблять ли общественное благо, купленное им самим или другими. Второе слагаемое соответствует эффекту дохода. Он имеет место потому, что увеличение объема финансирования общественного блага остальными эквивалентно денежному подарку. Эффект дохода положителен, если общественное благо — нормальное, каким мы его здесь и полагаем.
Нарис. S2.5 изображены две альтернативы. В случае 1 эффект замещения перевешивает эффект дохода, и собственный вклад человека в финансирование общественного блага уменьшается с ростом чужого. В случае 2 эффект дохода перевешивает эффект замещения, и собственный вклад человека в финансирование общественного блага возрастает. Если бы существовал только эффект замещения (эффект дохода был бы равен нулю), наклон кривой реакции составлял бы — 1, или 45°
NN№ouiii|Mi.i!i лимл(гіііНг»;д •пщ^п on іноионівч Л .Sfe .энЧ
Равновесие по Нэшу для добровольных mcWnbh 80nsnahn яыдоее1 индивидуальных пожертвований : - дон* XN Wq д; є а о
Теперь рассмотрим двух индивидов, А и В. На рисунке S2.6 показано, каким образом выводится кривая реакции RBRB индивида В, который выбирает максимизирующий полезность размер своего вклада в финансирование общественного блага в зависимости от вклада индивида Л. Форма свидетельствует о преобладании эффекта замещения (кривая имеет отрицательный наклон).
На рис.
S2.7 равновесие по Нэшу находится в точке N, где пересекаются кривые реакции двух индивидов. В точке /^размеры индивидуальных вкладов в финансирование общественного блага взаимно «состоятельны», в том смысле что пожертвование каждого максимизирует его полезность при данном размере пожертвования другого..Л
¦¦> rov , Л:/?'!, ihlifM 'Ml. i С np'U^lt'Нг-.И»! н -дерч
й*"
- - 41- - МС
Eisnd отоннзятозілдо ани aoqb лн^имф а ш;і*а Нині
/4
Krtf.'j
dV'
e.S2 .«к
О S,
„ „ яннБяоаыон?ныфмэ<гЭо?.Е2 .эыд кН
РИС. S2.6. Кривая реакции индивида В _ _ „
ч, l.Uwx*. „л- мвднн ыгцяяэЧ одГіО і нэтэвян.
эомэывпэ aoaqali
НЭМ'ЯМВГ JT^ytxflfVMOH''''"
іННЗИНЧЗЯу OTV ,/МОТО
іам І.'НЛБХ .аоноГ^мсон - t д ыкэжодфоед sH
IHH'jflTOdOD H ,RNH4HJ3Mb?T ' -ill .13?T0EqEO
Sa ;ii .(СНК<Н hs
аіон'!
t Общее количество добровольно финансируемого общественного блага в точке Л^равно
— www СП ir1 .О:
QN=g:+gNB (S2.ii)
Если индивиды одинаковы и вклады делаются одновременно, их вклады в финансирование общественного блага тоже должны быть равны.
Точка Nна рисунке S2.7 соответствует неэффективному исходу, реализующемуся в ситуациях типа дилеммы заключенных. Относительно этого исхода возможно улучшить благосостояние обоих участников. Потенциал для этого улучшения легко увидеть на рис. S2.7. Кривые безразличия V/1 и V/ отражают уровни полезности в точке N (через которую они проходят). Заштрихованная область соответствует возможностям Парето-улучшения по сравнению с точкой равновесия по Нэшу.
Парето-эффективные комбинации частных вкладов в финансирование общественного блага лежат на контрактной кривой СС' на рис. S2.7. Поскольку в точках контрактной кривой кривые безразличия имеют общую касательную, мы можем приравнять друг к другу их углы наклона, получив
MB, - МС MB,
(S2.12)
JA _ 1,1"В
МВЛ МВв-МС'
Это выражение можно привести к условию эффективности производства общественного блага.
ХмВ, = МС. (S2.12a)
На рис.
S2.7 Е является эффективной точкой на контрактной кривой с уровнями полезности V/и V/, лежащей на луче, который идет от начала координат через точку N. Обозначим совокупный объем производимого в точке Е общественного блага через Qe. МЫ можем использовать соотношение Q"/^ чтобы оценить относительную неэффективность равновесного по Нэшу производства общественного блага.Теперь видно, как меняется равновесный по Нэшу исход с ростом численности группы. При группе в п одинаковых индивидов, каждый вкладывает в финансирование величину ЙОЯТТ ACIL Q
gi=g = -• (S2.13)
n
Преобразуем это выражение к виду: G + g
g = (S2.13a)
п
а затем к следующему виду:
q \?Trjo,HHHfiaoaTq5*
і Например, на рис. S2.7, где п = 2, мы имеем g=G, и равновесие по Нэшу находится на луче, выходящем из начала координат под углом 45° По мере того как численность группы увеличивается, луч, на котором лежит точка равновесия по Нэшу, сдвигается влево, как на рис. S2.8. Из рис. S2.8 видно, что v ^ и ^ = ^>0. ^ "" (S2.14) dn dn dn -Чіі Следовательно, (1) с ростом численности группы ее члены все больше стремятся «проехаться за счет других», снижая личный вклад в финансирование общественного блага (т.е. средний размер индивидуального пожертвования падает); (2) в то же время сумма пожертвований (с учетом новых членов группы) растет. ¦>я иил '.ЬІЛ'Ц хл \f цчь я d it'.HabqHq/i ічоато РИС. S2.8. Зависимость равновесия по Нэшу от численности группы. огоноэлонаьч .itj /ч-ні^"d-ibeon Мерой относительной эффективности добровольных частных пожертвований является Q"/0е. Как сумма добровольных пожертвований Qтак и эффективная сумма пожертвований 0е увеличиваются с ростом численности группы п. Для широкого класса функций полезности %QN/Q?) (S2.15) <0, дп и, следовательно, по мере того как размер группы растет, она становится относительно менее эффективной в качестве добровольного производителя общественного блага. В случае квазилинейной функции полезности U(x, Q)=x +B(Q) при росте по-жертвований остальных отсутствует эффект дохода в отношении собственного вклада в финансирование общественного блага. эффективное количество общественного блага 0е возрастает с численностью группы, большие группы менее эффективны вдобровольном финансировании общественных благ, чем малые. Отклонения от сотрудничества > JOHC9U.OI1 ОТ Поведение по Нэшу предполагает, что каждый индивид действует независимо от других. Мы могли бы начать с альтернативной гипотезы о том, что члены группы сотрудничают друг с другом, однако не упускают случая «проехаться» за счет других, и тем чаще, чем меньше шансов оказаться в этом замеченными. Так как с ростом численности группы становится легче сохранять анонимность и нарушителям проще оставаться незамеченными, эффективность группы в получении вклада каждого из ее членов в коллективные действия снижается. Этот подход к описанию добровольных коллективных действий начинается с сотрудничества и рассматривает причины отклонения от сотрудничества. В свою очередь, поведение по Нэшу начинается с индивидуального рационального поведения, а затем ищется способ достичь Парето-улучшающего сотрудничества.