6.2.1 Методы математической статистики
Применение методов математической статистики для анализа технологических процессов и построения математических моделей связано с постановкой задачи создания систем автоматического управления для выявления количественных характеристик и количественной оценки влияния тех или иных факторов.
При этом можно использовать такие методы статистического анализа как дисперсионный, корреляционный, регрессионный [3, 5, 9, 11, 13].Традиционным в исследованиях по обогатимости полезных ископаемых является применение статистических методов и оценок для характеристики воспроизводимости экспериментов и, в частности, опробования. Так, вывод формул для расчёта минимальной массы пробы в зависимости от крупности основан на статистических критериях, которые связывают распределение минеральных частиц (с учётом содержания ценного компонента) и допустимую ошибку опробования.
Применение математической статистики в лабораторных исследованиях на обогатимость связано в первую очередь с анализом экспериментального материала и компактным представлением полученных результатов. На практике часто возникает необходимость свести первоначальную массу данных к небольшому количеству показателей, которые достаточно полно характеризуют свойства всей совокупности.
Статистические параметры являются наиболее удобными для характеристики крупности вкрапления ценных компонентов, раскрытия минералов, распределения флотационных реагентов по поверхности частиц. Физические свойства одних и тех же минералов могут существенно меняться не только в зависимости от месторождения, но и в пределах одного и того же месторождения. Это в значительной степени затрудняет предварительный выбор схем для исследований обогатимости полезного ископаемого и режимов его обогащения. Значительный объём накопленной информации об обогатимости различных минеральных комплексов может быть обработан статистическими методами и использован при исследовании новых полезных ископаемых на обогатимость.
Методы математической статистики позволяют определить, в какой степени свойства выборки отражают свойства генеральной совокупности, оценить параметры генеральной совокупности и установить для них доверительные интервалы даже по очень малым выборкам. Методы математической статистики очень разные и могут использоваться при решении широкого круга вопросов.
При получении исследователем математических моделей процессов возможные следующие ситуации.
- При исследовании есть возможность устанавливать входные факторы на всех уровнях, находящихся в области экспериментирования. То есть исследователь играет активную роль. Такой эксперимент называют активным. Это основной вид исследований в лабораторных условиях.
- Исследователь не имеет возможности по своему плану устанавливать значения входных параметров, он играет пассивную роль - фиксирует только величины всех факторов, которые его интересуют. Это - пассивный эксперимент или наблюдение. Такая ситуация возникает при исследованиях на действующем производстве.
- Исследователь имеет возможность получить информацию об исследуемом процессе только путём опроса специалистов, которые хорошо знают данный процесс. Такой подход называют эвристическим.
Наиболее информативный и целесообразный первый - активный эксперимент, когда исследователь имеет возможность применить современные методы планирования экспериментов. Он не только более экономичный по числу необходимых опытов для получения той же информации, но и в нём принципиально иначе распределяется информация о входных факторах. Равномерность и равноточность задания входного аргумента при планировании эксперимента позволяет оценивать модель процесса во всем факторном пространстве.
При пассивном эксперименте вид модели и оценка её адекватности зависят от функции распределения входных параметров. Однако с учётом того, что результаты наблюдений получают только путём снятия информации с рабочего процесса без особых затрат, игнорировать эту информацию не следует.
Можно отметить те случаи, когда пассивный эксперимент неизбежен:
- при исследовании влияния на результаты промышленных процессов каких-либо переменных действий, стабилизация которых на определённых уровнях невозможна или экономически невыгодна (например, практически невозможно осуществить поступления на обогатительную фабрику руды вполне определённого состава, стабилизировать температуру пульпы, учесть износ оборудования и т.п.);
- при исследовании закономерностей в свойствах продуктов обогащения;
- при исследовании фактических изменений показателей за прошлый период;
- при исследовании хода технологического процесса;
- при исследовании результативности управления процессом и т.д.
Таким образом, при надлежащем внимании к активным методам, необходимо знать и уметь использовать пассивные методы.
Статистические методы обработки полученной информации можно использовать как при активном, так и при пассивном эксперименте. Разница заключается в последовательности обработки данных и переходом от метода наименьших квадратов, применяемого при пассивном эксперименте, к учёту отклонений наблюдаемых и расчётных значений выходного критерия при активном эксперименте.
При пассивном эксперименте в «чистом виде» широко применяются дисперсионный, корреляционный и регрессионный анализы.
Дисперсионный анализ применяется для оценки вклада в разброс (дисперсию) выходного параметра какого-либо фактора. Такая оценка может потребоваться при исследовании колебаний данных, воспроизводимости экспериментов, определении доверительного интервала значений какой-либо величины или коэффициентов в уравнении, описывающем процесс. Дисперсионный анализ с многосторонней классификацией может служить для оценки влияния различных факторов на отклонение параметров исследуемого материала от среднего значения.
В обогащении полезных ископаемых дисперсионный анализ нашёл применение для оценки воспроизводимости химических анализов, лабораторных экспериментов, а в случае анализа промышленного продукта среднеквадратичное отклонение является мерой стабильности работы фабрики.
Близко к дисперсионному анализу примыкает факторное планирование экспериментов. Факторный анализ позволяет оценить вклад исследуемых факторов и их взаимодействия на среднее значение параметра, который характеризует процесс в целом.
Корреляционный анализ позволяет оценить тесноту связи различных параметров или факторов, влияющих на процесс. Этот метод широко распространён при исследовании промышленных процессов. Если коэффициент корреляции достаточно большой, можно получить информацию, позволяющую выбрать основные регулирующие действия на процесс, точки и методы измерения факторов, установить минимально необходимое количество измеряемых параметров. Если коэффициент линейной корреляции мал по абсолютной величине, то это свидетельствует о более сложной (нелинейной) зависимости между параметрами или о существенном влиянии других факторов.
В этом случае необходимо вычисление более сложной зависимости в виде нелинейного уравнения.Получение таких уравнений методом наименьших квадратов составляет основу регрессионного анализа. Однако при использовании регрессионного анализа необходима обязательная проверка адекватности модели и процесса.
Одним из направлений регрессионного анализа является планирование экстремальных экспериментов, которое включает: выбор основных факторов, действующих на процесс; определение направления крутого восхождения (градиента) до экстремального значения с помощью факторного плана или его дробных реплик; движение по градиенту; получение регрессионного уравнения с помощью плана более высокого порядка в экстремальной (почти стационарной) области.
Большое распространение получили статистические методы определения статических и динамических характеристик сложных недетерминированных процессов для их автоматизации. Выбор регуляторов и машин для управления, основанный на таких статистических характеристиках, осуществлён применительно к процессам флотации, измельчения, отсадки и т.д.