Бесконечно удалённая точка

Под бесконечно удалённой точкой понимается множество точек, таких, что

.

Комплексная плоскость с включённой бесконечно удалённой точкой называется полной комплексной плоскостью.

Все слагаемые с отрицательными n при стремятся к нулю.

Все слагаемые с положительными n при стремятся к бесконечности.

Если в разложении функции в ряд Лорана имеются положительные степени z, то эта функция не является аналитической в бесконечно удалённой точке.

Теорема Лиувилля

Если функция является аналитической в полной комплексной плоскости, то она постоянна.

Доказательство

Если отличны от нуля коэффициенты с отрицательными n, то функция не является аналитической в точке z=a. Если отличны от нуля коэффициенты с положительными n, то функция не является аналитической в бесконечно удалённой точке.

Чтобы она была аналитической в полной комплексной плоскости, нужно чтобы .