<<
>>

Базисный ассерторический язык

Хотя примеры заимствуются из естественного языка и первоначальный ход рассуждений будет понятным, если основываться исключительно на естественно-языковой терминологии, остается справедливым положение о том, что на дальнейший логический анализ оказывает сильное влияние определенный формальный ассерторический язык [‡], к которому следует присоединить наш эротетический аппарат.

При ином представлении о глубинном ассерторическом аппарате те рассуждения, которые мы здесь проводим, считая их правильными и уместными, не были бы таковыми. По этой причине, несмотря на то, что большую часть оставшегося материала этого раздела можно опустить без ущерба для понимания основного содержания книги, мы начнем с краткого описания некоторого формального языка L, для которого хотим построить логику вопросов. Поскольку в этой книге мы не собираемся использовать язык L, мы не будем излагать формальное представление каких- либо его фрагментов, а просто опишем сам язык. И хотя речь идет об одном конкретном языке L, в действительности имеется в виду некоторый произвольно выбранный язык из большого семейства языков, удовлетворяющих определенным условиям. Для тех, кто знаком со стандартными формальными системами, мы можем описать язык L как прикладное исчисление предикатов первого порядка с равенством [Черч, 1956, 281], имеющее предикатные и функциональные константы. Кроме того, в этот язык дополнительно вводятся обобщенные конъюнкции и дизъюнкции, а также нестандартные средства для «сортовых» или «ка- тегорных» различений, как в многосортной логике (прим. 1).

Язык L содержит не более чем счетное множество индивидных констант и счетное множество индивидных переменных. Для обозначения индивидных переменных из L в качестве метаязыковых переменных употребляются символы w, xt у и z, иногда с индексами. Язык L содержит также списки п-арных функциональных и п-арных предикатных констант.

Для первых в качестве метаязыковых переменных используются символы f и gt а для вторых — символы F и G, арности которых могут определяться из контекста. В L входят следующие символы: = для обозначения равенства^— ДЛЯ КОНЪЮНКЦИИ, V —ДЛЯ ДИЗЪЮНКЦИИ,- (или иногда ~) — для отрицания, Z) — для материальной импликации и == — для материальной эквиваленции. Далее, язык L имеет символы дну» которые употребляются соответственно для обозначения квантора существования дл; и квантора общности ух;. Скобки используются обычным образом, а термы и формулы определяются, как обычно, рекурсивно, за одним, однако, исключением: если Лї, . . ., Ап — формулы, то мы полагаем, что не только (Лі amp; Л2), но также и (Лі amp; . . . amp;Л„) являются формулами. Аналогично формулой считается выражение (А і V • • • V Ап). Эти обобщенные формулы — обобщенные конъюнкции и дизъюнкции — приводят к консервативному расширению множества ассерторических выражений, так как мы хотим интерпретировать выражение (Лі amp; . . . amp; Л„) как логически эквивалентное выражению (((. . .(Лі amp; Л2) . . .) amp; АПшт1)amp;Ап) и аналогично для V. Хотя наличие в языке обобщенных формул, строго говоря, несущественно, оно делает ход отдельных механизмов нашего эротетического формализма более плавным. Буквы а, b и ct иногда с индексами, используются для обозначения термов, а буквы Л, В и, если понадобится, другие заглавные буквы, также, возможно, с индексами, обозначают формулы. Термы, не содержащие вхождений свободных переменных, называются именами. Формулы, не содержащие вхождений свободных переменных, называются высказываниями (statements), а формулы, имеющие в точности п различных вхождений свободных переменных, называются п-местными условиями. Ах і . . . хп— произвольная формула. Использование такого обозначения обусловлено следующим соглашением: если дано выражение Ах і . . . хпgt; то под Abi ... bn понимается результат подстановки в формулу Ахі . . . хп вместо каждого свободного вхождения каждой переменной xt некоторого терма bt.
При этом следует соблюдать обычную осторожность, чтобы предотвратить появление связанных переменных в Abi . . . bn там, где им следовало бы быть свободными. (Впредь без дополнительного упоминания будет предполагаться, что такого рода меры предосторожности приняты.)

Чтобы иметь возможность различать нужные категории, предположим, что некоторые из одноместных условий языка L помещены в эффективно устанавливаемый список элементарных категорных условий (elementary category conditions) и что для каждого имени а условие х=а находится в этом списке (прим. 1). Полный список категорных условий задается рекурсивно, а именно: все элементарные категорные условия являются категорными условиями, и если Ах и Вх — категорные условия, содержащие одну и ту же свободную переменную, то (Ах amp; Вх) и (Ах V Вх) — категорные условия, точно так же, как и результат замены переменных (либо свободных, либо связанных) в Ах. Для того чтобы привести в действие категорный аппарат, предположим, что для каждого категорного условия множество связанных с ним имен определено следующим образом. Для каждого элементарного категорного условия Ах определяется как часть грамматики языка L эффективно устанавливаемое (рекурсивное, разрешимое) множество имен, называемое именной (номинальной) категорией, задаваемой категорным условием Ах (the nominal category determined by Ax): если Ax имеет вид x=a, то именная категория есть \а}. Предполагается, что если Ах и Вх отличаются только своими (свободными или связанными) переменными, то они задают одну и ту же именную категорию. Если же Ах — неэлементарное категорное условие, имеющее вид (Вх amp;Сх) или (Вх V Сх), то именная категория, задаваемая условием Ах, определяется соответственно как пересечение и объединение именных категорий, задаваемых условиями Вх и Сх.

Допущение, согласно которому множество категорных условий замкнуто относительно операции замены переменных конъюнкции и дизъюнкции, дает нам определенную гибкость, и при этом мы ничего не теряем в общности рассуждений.

С другой стороны, если бы мы потребовали, чтобы множество категорных условий было замкнуто относительно операции отрицания, нам пришлось бы столкнуться с определенными трудностями. О них речь пойдет ниже.

Описание грамматики языка L на этом закончено. Обратимся теперь к его семантике и определим понятие предполагаемой интерпретации (candidate interpretation). Предполагаемая интерпретация — это упорядоченная пара, состоящая из непустой области индивидов D и интерпретирую- иугй функции (interpretation function), аргументами которой служат различные переменные и константы. Значениями этой функции являются индивиды в D (для индивидных переменных и констант), функции на D (для функциональных констант) и отношения на D (для предикатных констант).

Тогда, если а — терм, А — формула, М — предполагаемая интерпретация, а і — индивид из области индивидов интерпретации М, то будем считать, что понятия «а обозначает і в М» и «А истинна (ложна) в М» определены обычным образом. Под областью значений одноместного условия Ах понимается множество индивидов і в области определения М такое, что Ах истинно в интерпретации М', отличающейся от М приписыванием значения і свободной переменной х в Ах. Область значения ка- тегорного условия называется также реальной категорией (real category), задаваемой этим условием в /И, или иногда реальной областью значения (real range) категорного условия.

Поскольку категорные условия, отличающиеся только свободными или связанными переменными, задают одни и те же именные и реальные категории, между ними нет эротетически релевантного различия. Поэтому мы говорим, что такие условия являются эквивалентными, и вводим обозначение Сх для множества условий, эквивалентных Сх.

Семантическое функционирование категорного аппарата достигается с помощью понятия «интерпретация.»: интерпретация определяется как такая предполагаемая интерпретация Му в которой для каждого категорного условия Ах каждое имя из номинальной категории, задаваемой Ах, обозначает в М некоторый индивид из реальной категории, задаваемой этим условием Ах в М.

Наши определения устроены таким образом, что если элементарные категорные условия обладают указанным свойством, то им обладают и все категорные условия вообще. Именно поэтому мы можем без всякого ущерба считать категорные условия замкнутыми относительно операций конъюнкции и дизъюнкции, и именно для того, чтобы сохранить это свойство инвариантным, мы не замыкаем категорные условия относительно отрицания.

Мы полагаем, что обычные семантические понятия непротиворечивости, общезначимости у или логической истинности у логической импликации и логшіеской эквивалентности легко определяются стандартным способом при помощи понятия интерпретации. Например, А логически влечет В, если не существует интерпретации, в которой А было бы истинно, а В — ложно. Эти классические понятия небезошибочны, о чем одному из авторов уже случалось писать ІАндерсон и Белнап, 1975], и приводят к определенного рода аномалиям в самой эротетической сфере. И все же эти понятия наиболее приемлемы для наших целей, а при вторжении на новую территорию лучше всего, как нам кажется, применять уже апробированное оружие. (См. разд. 3.1, где содержатся определения основных семантических понятий.)

Каждый раз, когда мы говорим об истинности, ложности, обозначении или области значения, не указывая явно на интерпретацию, мы всегда имеем в виду некую главную ин- терпретациюу относительно которой определяются вса эти понятия. В частности, чтобы приводимые нами примеры были удобочитаемыми, мы будем употреблять выражение типа х — мальчик, как если бы оно было фрагментом нашего формального языка L. И в тех ситуациях, когда мы так поступаем, будем трактовать это выражение как имею* щее вид f(x) с главной интерпретацией, придающей входящим в него словам обычные языковые значения.

Таковы необходимые основные грамматические и семантические средства. Мы не предполагаем, что язык L содержит особые аксиомы, правила вывода или еще какой- нибудь аппарат теории доказательств, для которого были бы адекватны очерченные выше грамматические и семантические понятия.

<< | >>
Источник: Н. БЕЛНАП, Т СТИЛ. ЛОГИКА ВОПРОСОВ И ОТВЕТОВ. МОСКВА - «ПРОГРЕСС», 1981. 1981

Еще по теме Базисный ассерторический язык:

  1. Базисный ассерторический язык
  2. 1.3.2. Требование полноты и спецификация требования полноты
  3. 1.3.4. Элементарные вопросы и стззты на них: аббревиатуры и формальная запись
  4. 7.3 Холистичность теории интерпретации Д.Дэвидсона
  5. Ergo: должно иметься нечто, что структурирует и упорядочивает наш опыт.
  6. ПРИМЕЧАНИЯ АВТОРА