<<
>>

Добавление II: О логических парадоксах

Еще древние греки заметили, что рассуждения, с интуитивной точки зрения совершенно правильные, тем не менее могут иногда приводить к противоречиям. Такие рассуждения принято называть логическими парадоксами.1 Интерес к ним усилился в конце XIX столетия, когда после создания Г.

Кантором теории множеств выяснилось, что парадоксы возможны также и в математике. Сейчас мы остановимся на некоторых из них.

1) Самый старый и самый известный из логических парадоксов — парадокс лжеца. Полулегендарному поэту-прорицателю Эпимениду ('Ега[лє\д8ї]с), жившему, по преданию, на Крите в VI в. до н.э., приписывается изречение «Все критяне лжецы». Такое высказывание в устах критянина звучит странно, потому что он обвиняет во лжи, в частности, и самого себя. Правда, здесь нет еще настоящего противоречия: даже если считать, что лжец никогда не говорит правду, то мы можем, услышав от критянина, что все критяне лжецы, заключить отсюда только, что это высказывание ложно — поскольку, если бы оно было истинно, это означало бы, что всякое высказывание всякого критянина ложно, в том числе и оно само. (К противоречию здесь приводит только предположение об истинности высказывания, но не предположение о его ложности.) Но можно видоизменить эту ситуацию так, чтобы получился настоящий парадокс: как заметил еще в IV в. до н.э. философ мегарской школы Эвбулид ('Еи|ЗоиХі8т)с), если кто- либо говорит: «Предложение, которое я сейчас произношу, ложно», то из истинности этого предложения следует, что оно ложно, а из

вообще в русском языке слово «парадокс» (от греч. itapdSo^oi; — «противоречащий установившемуся мнению, необычный, странный») означает суждение, противоречащее общепринятым мнениям. Логические парадоксы иногда называют также антиномиями (от греч. dtvxivoyioi— «противоречие в законе»).

ложности —что оно не ложно, т.е. истинно. Это и есть парадокс лжеца.

Парадокс Кантора.

Г. Кантором было введено понятие мощности множества, позволяющее сравнивать произвольные множества по «количеству» элементов в них подобно тому, как это делается для конечных множеств. (Например, множество рациональных чисел имеет такую же мощность, как множество натуральных чисел, а множество действительных чисел — большую. Ср. также сноску 3 в главе 10.) Если множество A есть подмножество множества В, то мощность A не больше мощности В. Одна из самых замечательных теорем теории множеств, доказанная Кантором, состоит в том, что для произвольного множества мощность множества всех его подмножеств больше мощности его самого.

Пусть теперь M — множество всех множеств и M' — множество всех подмножеств M. Тогда мощность M' больше мощности M. Но всякое подмножество M также есть множество, так что M' есть подмножество M и, следовательно, мощность M' те больше мощности M.

Парадокс Рассела (Bertrand Arthur William Russell, 1872—1970). Назовем множество самосодержащим, если оно является своим собственным элементом (пример — множество всех множеств). Пусть R — множество всех несамосодержащих множеств. Тогда, если R —самосодержащее множество, это значит, что R Є R, а так как R по

R

R

R Є R, а так как R по определению содержит все несамосодержащие R

Этот парадокс можно сформулировать иначе, пользуясь вместо понятия множества понятием свойства. Некоторые свойства справедливы в отношении самих себя («обладают сами собой»): например, свойство «быть абстрактным» само абстрактно. Назвав такие свойства «самообладающими», мы можем, рассуждая точно так же, как выше (пусть читатель сделает это сам!), установить, что свойство «быть несамообладающим» не может быть ни самоообладающим, ни несамо- ообладающим.

Парадокс Берри (G. G. Berry). Некоторые словосочетания русского языка служат названиями конкретных натуральных чисел. (Например, число 23 можно назвать с помощью словосочетаний «число, на единицу меньшее числа, вдвое большего двенадцати», «наименьшее простое число, большее двадцати» и т.

п.) Очевидно, число натуральных чисел,

которые можно назвать с помощью словосочетаний, содержащих менее 60 слогов, конечно. Поэтому словосочетание «наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать с помощью словосочетания русского языка, содержащего менее шестидесяти слогов» называет некоторое натуральное число. Но само это словосочетание содержит всего пятьдесят один слог!

5) Парадокс Ришара (Jules Richard, 1862—1956). Некоторые словосо-четания русского языка служат определениями функций натурального аргумента, принимающих натуральные значения. (Например, «сумма делителей данного числа», «число, на единицу большее числа, вдвое большего, чем данное число» и т. п.) Все такие словосочетания можно занумеровать натуральными числами, расположив их так, как располагают слова в словарях, и приписав тому словосочетанию, которое окажется первым, номер 1, тому, которое окажется вторым —номер 2 и т.д. Функцию, определяемую словосочетанием, имеющим номер n, будем обозначать fn. Рассмотрим теперь словосочетание «число, на единицу большее значения функции, определяемой словосочетанием, номером которого служит данное число, при значении аргумента, равном данному числу». Это словосочетание определяет некоторую функцию натурального аргумента с натуральными значениями и, следовательно, должно получить некоторый номер n0. По определению функции fn0 имеем fn0 (n) = fn (n) + 1 для любо го n. Но отсюда следует, в частности, что fno (no) = fno (no) + 1

Можно заметить, что понятия, о которых идет речь в рассмотренных парадоксах, имеют общую черту: все они определяются с явным или неявным упоминанием самих определяемых понятий. Содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение с его собственной ложности. Множество всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодержащим множеством. В словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о множестве, содержащем это число в качестве элемента. Функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через множество всех функций натурального аргумента с натуральными значениями, одним из элементов которого является сама эта функция. Таким образом, во всех пяти случаях имеется круг в определении (см. Добавление I), и естественно предположить, что именно с этой некорректностью связано возникновение парадоксов.

Но в конце XIX столетия, когда были обнаружены парадоксы теории

множеств, математика не располагала средствами, которые позволяли бы четко отграничить «законные» способы образования математических понятий и способы математических рассуждений от «незаконных». Поэтому открытие теоретико-множественных парадоксов было воспринято многими математиками как кризис, ставящий под сомнение надежность методов математики, всегда считавшейся достовернейшей из наук. Правда, в конкретных математических дисциплинах — таких, как арифметика, геометрия, дифференциальное исчисление и т. п. — не было «экзотических» понятий, подобных фигурирующим в парадоксах, и можно было надеяться, что эти дисциплины не окажутся под угрозой. Но чтобы иметь в этом уверенность, нужен был тщательный анализ логических основ математической науки, чем и занялись многие математики и философы, в том числе весьма выдающиеся. Возникла новая область научных исследований «на стыке» математики и философии — основания математики; ее главным рабочим инструментом стала математическая логика, получившая тем самым новый мощный стимул к развитию. Как всегда бывает в философии и смежных с ней обла-стях, мнения ученых о природе кризиса и путях его преодоления были различны. В философии математики появились разные направления. Все они так или иначе способствовали развитию логики (не только математической!) и углублению знаний математиков о природе понятий и методов своей науки. Был получен ряд результатов, по большей части неожиданных, которые, хотя и не привели к общему согласию в главных вопросах оснований математики (в том числе в вопросе о происхождении и значении парадоксов), но позволили гораздо лучше, чем раньше, представить себе, что можно и чего нельзя сделать с помощью формальных математических методов.

Конструкции, аналогичные тем, на которых основаны логические парадоксы, в некоторых случаях используются в математике для доказательства (приведением к нелепости) невозможности существования объектов с теми или иными свойствами. Так доказывается, в частности, знаменитая теорема Гёделя о неполноте арифметики (см. конец пункта 1 гл.8). В рамках этой книги мы не можем привести пример такого доказательства; можно, однако, привести простой пример нематематического рассуждения этого типа, являющегося не парадоксом, а просто доказательством невозможности. Вообразим военного парикмахера, получившего приказ брить всех тех и только тех военнослужащих своего подразделения, которые не бреются сами. Должен ли он бриться сам? Если он будет это делать, то нарушит приказ, так как брить тех, кто

бреется сам, ему запрещено. Если не будет —тоже нарушит: тех, кто не бреется сам, он обязан брить. Таким образом, выполнить этот приказ невозможно.

Это рассуждение иногда называют «парадоксом парикмахера», хотя на самом деле никакого парадокса здесь нет. (По своему опыту читатель, вероятно, знает, что можно привести сколько угодно примеров не выдуманных, а действительно отдававшихся невыполнимых распоряжений.)

<< | >>
Источник: Гладкий А. В.. Введение в современную логику. — М.: МЦНМО,2001. — 200 с.. 2001

Еще по теме Добавление II: О логических парадоксах:

  1. Предисловие
  2. Добавление II: О логических парадоксах
  3. 4. Проблема способа изложения положительной теоретическойметафизики как науки
  4. Методология науки.
  5.   Логические уловки в споре
  6.   ФИЛОСОФСКАЯ ИНТУИЦИЯ 
  7. ГЕДОНИЗМ 
  8. 0.5. Мышление и наблюдение. Лекция четвертая
  9. § 6. Логическая возможность устранить парадоксальность у Парменида
  10. КАК НУЖНО РАССУЖДАТЬ КОМПЬЮТЕРУ [†††††]
  11. 2.С. Л. ФРАНК
  12. 7.1 Солнце