Интуиционизм

Изначально интуиция (как созерцание пристальное и внимательное) и разум с ее помощью строят натуральные числа и все множества натуральных и действительных чисел. Никаких других математических объектов, кроме построенных человеком интуитивно, чистым мышлением, не существует. Причем все эти объекты постоянно пребывают в процессе роста и практически не предполагают существование совершенного объекта.

Интуиционизм отказался от канторовсого понимания бесконечности как актуальной бесконечности и заменил ее понятием потенциальной, становящейся бесконечности, причем один из первых парадоксов - парадокс, возникший в связи с определением понятия мощности.

Голландский математик Л. Брауэр подвергает критике неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, снятие двойного отрицания («если неверно, что не-а, то а») и косвенного доказательства (сведение к абсурду: математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию).

В 1930 г. ученик Брауэра А. Гейтинг публикует работу, в которой излагается систематизированная теория интуиционистской логики. В ней отрицаются все законы классической логики, которые используются для доказательства существования не вы-

числяемых и не предъявляемых предметов.

Причину появления парадоксов интуиционисты увидели в том, что существующая теория множеств исходит из понятия актуальной (т. е. завершенной) бесконечности, а адепты этой теории переносят принцип конечных множеств на область бесконечных множеств.

Интуиционисты предложили исходить из абстракции потенциальной, или становящейся, бесконечности. В прежней теории множеств (канторовской) объект считался существующим в том случае, когда он не содержал логического противоречия. Интуиционисты предложили объект считать существующим, если известен метод его конструирования, построения. Однако это возможно за счет отказа от универсальности закона исключенного третьего. Как показала практика, это не решило проблему парадокса.

Если в аксиоматической теории множеств Кантора объект считается существующим в том случае, когда он не содержит фор- мально-логического противоречия и его введение в теорию не приводит к противоречию, то в интуиционистской математике существующим признается только такой объект, который дан непосредственно или который можно сконструировать. Отсюда существовать - значит быть построенным (А. Гейтинг). Если матема-тический объект не построен с помощью умственного процесса, можно считать, что он не существует. Следовательно, существование - это мир мыслительных процессов, которые можно построить в неограниченную последовательность шагов неопределенного повторения элементарных математических актов. Вся математика - это математические конструкции, а не устное или письменное изложение. Интуиция не зависит от языка. Язык нужен лишь для того, чтобы сообщить результаты интуитивной мыслительной деятельности. Исходя из всего этого, интуиционисты утверждают, что в математике и логике невозможно применение понятия актуальной бесконечности9.

Любое бесконечное множество лишь потенциально, его нельзя рассматривать как что-то готовое и законченное.

конечно лишь в том смысле, что его элементы можно продолжать неограниченно конструировать. А поскольку в операциях, включающих в себя бесконечные совокупности, которые находятся в процесс роста, нельзя решить, какова будет последующая альтернатива, то в таких операциях невозможно использовать закон исключенного третьего.

Таким образом, интуиционисты не отрицают применение данного закона к конечным множествам. Отсюда в качестве основы интуиционистской логики выступает признание неправомерности переноса некоторых фундаментальных логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств. Брауэр считает, что если матема-тика как наука берет начало не из рациональных рассуждений, а из интуиции, то с точки зрения фундаментальной математической интуиции некоторые принципы логики ошибочны. К примеру, закон исключенного третьего утверждает, что истинным является либо утверждение, либо его отрицание. В таком категорическом виде закон может находить свое полное применение и оправдание лишь в конечных множествах, так как допускает возможность проверки включенных в нем элементов, тогда как в бесконечных множествах принципиально отсутствует возможность проверки всех входящих объектов. Несмотря на это, действие закона распространяется и на них. В этом случае доказательство существования становится фиктивным, утверждается существующее нечто, но оно не предъявляется.

Немецкий математик Г. Вейл пояснял, если рассматривать конечный набор чисел и доказывать, что не все они четные, то по закону исключенного третьего следует: по крайней мере одно из них нечетное и существование в данном множестве такого числа подтверждается его предъявлением. Если же рассматриваемое множество бесконечно, то сделать заключение о существовании хотя бы одного нечетного среди них нельзя в связи с отсутствием возможности проверить это. Вейл утверждает, что в таком случае закон исключенного третьего остается вне сферы применения человеческой логики, им могло бы воспользоваться только всемогущее и всезнающее существо, которое способно единым взглядом обозреть бесконечную последовательность натуральных чисел.

Кроме потенциальной бесконечности интуиционистская логика использует абстракцию отождествления, когда мысленно отвлекаются от несходных свойств предметов и вычленяют только их общие свойства.

Далее интуиционисты по-другому толкуют смысл пропозициональных связок.