3.3. Интерпретация

Интерпретация I исчисления предикатов K с областью интерпретацией M – это набор функций, который сопоставляет:

· каждой предметной константе a элемент I(a)ÎM;

· каждому n-местному функтору f операцию I(f):Mⁿ®M.

· каждому n-местному предикату Р отношение I(P)Ì Mⁿ.

Для нас имеют смысл только интерпретированные предикаты, т. е. те, которым поставлены в соответствие некоторые отношения (для одноместных предикатов – свойства).

Пример.

Рассмотрим 3 формулы.

1. P(x,y)

2.

3.

В качестве области интерпретации возьмем множество целых положительных чисел и интерпретируем P(x,y) как отношение .

Тогда формула 1 – это предикат. Он принимает значение истинно при любых a,b принадлежащих множеству целых положительных чисел, если .

Формула 2 – это предикат, который принимает значение истинно при x=1, т. е. он выражает свойство, что для каждого положительного целого числа y .

Формула 3 – это предикат, который всегда будет истинен. Он выражает свойство: существует положительное целое число y, для которого .

Формула называется истинной, если она выполняется на любом наборе элементов М.

Формула называется ложной, если она не выполняется на любом наборе элементов М.

Формула общезначима (тавтология), если она истинна в любой интерпретации.

Теорема: Любая выводимая в исчислении предикатов формула – общезначима.