Вопросы экзаменационных билетов
1. Определение открытого множества. Определение ограниченного множества. Примеры.
2. Определение замкнутого множества. Определение компакта. Может ли множество точек на плоскости быть одновременно открытым и замкнутым?
3.
Определение области. Линии уровня функции. Направление наибольшего возрастания (убывания) функции в точке. Градиент.4. Определение предела функции двух переменных.
5. Определение непрерывности функции. Свойства непрерывной функции, заданной на компактном множестве (показать на примере).
6. Частные производные первого порядка функции нескольких переменных. Условие дифференцируемости функции в точке.
7. Связь между непрерывностью функции в точке и ее дифференцируемостью в этой точке.
8. Дифференциал функции. Правила вычисления дифференциалов 1-го и 2-го порядков.
9. Частные производные высшего порядка функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных частных производных 2-го порядка (формулировка).
10. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно.
11.
12. Однородные функции. Формула Эйлера.
13. Выписать формулу Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом 2-го порядка в форме Лагранжа.
14.
15. Локальный экстремум функции. Необходимое условие безусловного экстремума дифференцируемой функции.
16.
17. Матрица Гессе. Определение положительной (отрицательной) определенности матрицы. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности матрицы.
18. Локальный экстремум функции. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в критической точке при отсутствии ограничений.
19. Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.
20. Классическая задача математического программирования.
Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия локального условного экстремума функции нескольких переменных.21. Общая постановка задачи нелинейного программирования. Необходимые условия для максимума функции на положительном ортанте.
22. ОДУ 1-го порядка. Общее и частное решение. Задача Коши.
23. Геометрический смысл ОДУ 1-го порядка. Поле направлений, изоклины.
24. ОДУ с разделяющимися переменными. Замена переменных, однородные ОДУ.
25. Линейные ОДУ 1-го порядка. Методы Лагранжа и Бернули.
26. Уравнения в полных дифференциалах.
27. Численные методы решения задачи Коши. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера.
28. Особые точки и особые решения. Классификация особых точек.
29. Множество комплексных чисел: определение, формы записи, действия над комплексными числами (формулы Эйлера, Муавра).
30. Основная теорема алгебры.
31. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
32. Фундаментальная система частных решений. Определитель Вронского. Формула Лиувиля.
33. Однородные и не однородные линейные ОДУ. Структура общего решения.
34.
35. Линейные однородные ОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен.
36. Общее решение однородного уравнения в случае действительных корней (простых и кратных), в случае комплексных корней.
37.
38. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения.
39. Приведения ДУ n-го порядка к нормальной системе.
40. Интегрирование системы ДУ методом исключений.
41. Интегрирование линейной однородной системы ДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
1.