Свойства проективного инварианта
В предлагаемом методе используется проективный инвариант для набора точек [310]. Он вычисляется для пяти точек в виде двойного отношения
Выражение (5.25) связано с отношениями площадей треугольников с вершинами в рассматриваемых точках.
Точка р5в (5.25) является общей точкой инварианта. Величина (5.25) является инвариантной по отношению к любому проективному преобразованию примененному к координатам точек. Следует отметить, что инвариант (5.25) не сохраняет свое свойство при перестановке точек в выражении.Количество независимых инвариантов, которые можно получить для множества из п точек описывается выражением
Рис.5.9. Отношения координат пяти точек в координатных системах, связанных проективными преобразованиями и каноническая система координат, связанная с точками.
Число восемь в (5.26) равно числу независимых параметров в проективном преобразовании координат (5.21)-(5.23). Таким образом, для пяти точек 265
можно получить два независимых инварианта за счет изменения общей точки и соответствующей перестановки других точек. Независимость инвариантов позволяют использовать их в качестве инвариантных канонических координат одной точки относительно четырех других точек. Например, для точки pzтакие инвариантные канонические координаты могут быть записаны как
Концепция инвариантных канонических координат проиллюстрирована на рис.5.9.
5.4.2. Использование свойств проективного инварианта для проверки корректности сопоставления характерных точек
Свойства проективного инварианта позволяют использовать его для подтверждения корректности сопоставления множества из пяти точек на базовом изображении другому множеству из пяти точек на текущем изображении.
Если координаты точек определены без погрешностей, то значения инвариантных координат (5.27)- (5.28), должны быть равны, а именно
Если координаты точек в изображении определены с погрешностью (погрешность дискретизации, влияние неисправленной дисторсии объектива, и т.д.) то выражение (5.29) будет равно некоторой малой величине.
Рис. 5.10. Изображения с различными проекциями множества из пяти точек.
Подтвердим сделанные утверждения и верность выражения (5.29) численным экспериментом. Для эксперимента было создано два синтетических изображения, содержащие одинаковое множество из пяти точек (рис. 5.10), координаты которых связаны между собой проективными преобразованиями общего вида. Первое изо- 266
бражение использовалось в качестве базового изображения, второе - в качестве совмещаемого (текущего). Одна из пяти точек в эксперименте выбиралась варьируемой - на совмещаемом изображении создавалось множество из Ar=IOO точек р; , координаты которых генерировались генератором случайных чисел с равномерным законом распределения. Корректно совпадающая точка также добавлялась во множество, ее порядковый номер во множестве считался известным.
Задачей эксперимента было выбрать корректно совпадающую точку из большого числа ложных точек с использованием свойств инвариантных канонических координат (5.27)- (5.28). Для отбора корректно совпадающей точки использовалось следующее выражение
Было выполнено несколько экспериментов по 1000 серий в каждом для исключения эффекта случайности при генерировании координат ложных точек.
Результаты эксперимента приведены на рис. 5.11. На рис. 5.11,а варьируется общая точка, лежащая внутри множества точек.
Для данного случая алгоритм выбирал корректно соответствующую точку во всех экспериментах в серии (результативность равна 100%). Для случая на рис. 5.11,6 число корректных сопоставлений составило 73-85%. Следует заметить, что ошибочно выбранные точки здесь лежат в некоторой небольшой области вблизи корректной точки. При сопоставлении ориентиров на реальных изображениях, когда координаты ориентиров вычисляются с погрешностью такой степенью неточности можно пренебречь.
Рис.5.11. «Корректные» точки, выбранные в соответствии с выражением (5.29) на совмещаемом изображении в серии экспериментов.
В то время как для одной варьируемой точки с использованием условия (5.30) удалось достичь достоверности в 100% случаев, то для общего случая, когда варьируемыми являются все точки, данное условие не может обеспечить аналогичную достоверность. В этом случае существует множество других комбинаций всех пяти точек с теми же значениями инвариантных координат. Поэтому в общем случае необходимо использовать дополнительные методы проверки корректности соответствия.
5.4.3.