5.2. ДОГОВОРЫ С НОРМАТИВОМ РЕНТАБЕЛЬНОСТИ
/1Ч , ч [(1 + р)c(xX y = x
Sp(x, y) = J ,
[ 0, y * x
Предполагая, что ограничения на ФЗП отсутствуют, и резервная полезность исполнителя равна нулю, получаем, что задача оптимального согласованного планирования примет вид:
y*p) = arg max {H(y) - (1 + p) c(y)}.
ye A
Следовательно
Dp) = H(y*(p)) - (1 + p) c(y*(p)).
Сравнивая выражения (3) настоящего раздела и (13) предыдущего раздела, можно сделать вывод, что " р >0 Л(р) ? Л.
Таким образом, мы доказали справедливость следующего утверждения:
Утверждение 2.
В модели с одним исполнителем и одним заказчиком при использовании норматива рентабельности:а) оптимальный договор имеет вид: R = SQK(y , y*), где y определяется выражением (2);
б) область компромисса определяется выражением (3), причем исполнитель получает гарантированную прибыль р С(У (р));
в) прибыль заказчика не выше, чем при заключении договора на условиях (11)-(12) предыдущего раздела.
Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть H(y) = y, c(y) = у2 /2 r. Тогда y (р) = r / (1 + р), Л(р) = r /2 (1 + р). Из условий индивидуальной рациональности следует, что р> 0. В рас-сматриваемом примере прибыль исполнителя р c(y (р)) достигает максимума при р = 1 , то есть исполнителю выгодно вдвое завысить стоимость выполняемых работ. Если прибылью заказчика считать Л(р), то, очевидно, что с его точки зрения наиболее пред-почтителен нулевой норматив рентабельности, при котором выражение (1) перейдет в выражение (11) предыдущего раздела, а выражение (2) - в выражение (12) предыдущего раздела.
Завершив рассмотрение примера, получим условия на норматив рентабельности, при которых полезности и исполнителя, и заказчика при использовании механизмов (11)-(12) предыдущего раздела и (1)-(2) совпадают.
В первом случае полезности заказчика и исполнителя u1 и u2 удовлетворяют следующим условиям:
u1 + u2 = А u1 >0, u2 >0.
Во втором случае (при использовании норматива рентабельности р) полезности заказчика и исполнителя u1p и u2p удовлетворяют следующим условиям:
u1р + u20р = Л(р), u1р >0, u20р > 0, Щр = u20р + р Ф*(р)).
Пусть в исходном механизме реализована некоторая точка компромисса (u1, u2). Из (4) получаем, что эта точка может быть однозначно описана числом % e [0; 1]: u1 = (1 - X) Л, u2 = X Л.
Выберем %р e [0; 1]: uр = (1 - %) Л(р), щвр = %Р Л(р), таким что
Xp = 1 - А=«А.
A(p)
Следовательно, эквивалентным нормативом рентабельности будет значение pX), удовлетворяющее следующему уравнению
D(p) + pc(y*(p)) = D.
Легко видеть, что тривиальным решением системы (6)-(7) является: p = 0, Xp = X Механизм компромисса с нулевым нормативом рентабельности будем называть тривиальным.
Чтобы уйти от тривиального решения, предположим, что в механизме с нормативом рентабельности %p = 0, то естьup = Dp), U2p = p c(y*(p)).
Получаем, что для того, чтобы выполнялось u1 = u1p, u2 = u2p, должно иметь место, опять же, условие (7). Таким образом, обоснована справедливость следующего утверждения.
Лемма 1. Условие (7) является достаточным для выполнения условий u1 = u1p, u2 = u2p.
Утверждение 3. Для любого механизма компромисса в системе, в которой функция дохода заказчика линейна, а функция затрат исполнителя является обобщенной функцией Кобба-Дугласа , не существует эквивалентного нетривиального механизма компромисса с нормативом рентабельности.
Доказательство утверждения 3. Вычисляем последовательно: y*(p) = r j'-1(1 / (1 + p)),
D = r [j'-1(1) - j(j'-1(1))],
D(p) + pdy*(p)) = r [j'-1(1 / (1 + p)) - j(j'-1(1 / (1 + p)))]. Подставляя (9) и (10) в (7), получаем, что
j'-1(1) - j(j'-1(1)) = j'-1(1 / (1 + p)) - (f(j'~1(1 / (1 + p))). В силу свойств функции затрат, получаем, что из последнего уравнения следует 1 / (1 + p) = 1, что возможно только при p = 0. Следовательно, единственным значением норматива рентабельности, удовлетворяющего достаточному (в силу леммы 1) для выполнения u1 = u1p, u2 = u2p условию (7), является p = 0. Следовательно,
для рассматриваемого класса моделей не существует эквивалентного механизма компромисса с ненулевым нормативом рентабельности. Утверждение 3 доказано.
Для рассмотренного выше примера (в котором H(y) = y, c(y) = y2 / 2 r, y (р) = r / (1 + р), Л(р) = r / 2 (1 + р)), получаем в соответствии с (19)-(20): %р = 1 - (1 - %) (1 + р), р = 0.
Изучив механизмы компромисса (определения параметров договора) в системах с одним заказчиком и одним исполнителем, перейдем к исследованию теоретико-игровых моделей механизмов компромисса в многоэлементных системах.