5.3. ОБЛАСТЬ КОМПРОМИССА В МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ СИСТЕМАХ

Один заказчик - несколько исполнителей.

заказчика, у.г = (yh y2, ..., yu, y+1, ..., уП) e А_г = П A} - обстановка

j &

игры для i-го исполнителя (вектор действий всех остальных исполнителей, кроме i-го), i e I, y = (y1t y2, ..., yn) - вектор действий исполнителей,y eA' = ПAi . Предположим, что заказчик получа-

ie I

ет доход H(y) от деятельности исполнителей.

Целевая функция заказчика Ф(ст, у) представляет собой разность между его доходом H(y) и суммарным вознаграждением u(y),

n

выплачиваемым исполнителям: u(y) = ^ ci (y) , где с(у) - стиму-

i =1

лирование i-го исполнителя, с(у) = (с(у), с2(у), ..., sn(y)). Целевая функция i-го исполнителя f(c, y) представляет собой разность

между вознаграждением (стимулированием), получаемым от заказчика, и затратами ci(y), то есть:

n

Fs У) = H(y) - Xs(y) , f(o, y) = s(y) - ci(y), i el.

i=1

Отметим, что и индивидуальное вознаграждение, и индивидуальные затраты i-го исполнителя по выбору действия yi в общем случае зависят от действий всех исполнителей (случай сильно связанных агентов с несепарабельными затратами [75]).

Относительно параметров ОС введем следующие предположения:

множество действий каждого исполнителя совпадает со множеством неотрицательных действительных чисел;

функции затрат исполнителей непрерывны, неотрицательны и "yi eAi ci(y) не убывает по y-, iel; и Vy-i eЛ4 c-(0, y-i) = 0;

функция дохода заказчика непрерывна по всем переменным и достигает максимума при ненулевых действиях исполнителей.

Фиксируем произвольный вектор y eЛ' действий исполнителей и рассмотрим следующую систему стимулирования:

(1) (* ) K (y*> У-i) + d, У- = У* d >0 .

(1) o,(y , у) = 0, i el.

{0 У- * У-

В [75] доказано, что при использовании заказчиком системы стимулирования (1) y - равновесие в доминантных стратегиях (РДС) игры исполнителей [40]. Более того, если d > 0, i el, то y - единственное РДС.

Содержательно, при использовании системы стимулирования

(1) заказчик использует следующий принцип декомпозиции: он

*

предлагает i-му исполнителю - «выбирай действие y{ (например,

оговоренное в договоре), а я компенсирую тебе затраты, независимо от того какие действия выбрали остальные исполнители, если же ты выберешь любое другое действие, то вознаграждение будет равно нулю». Используя такую стратегию, заказчик декомпозирует игру исполнителей.

* 1

Вектор оптимальных реализуемых действий агентов y , фигурирующий в качестве параметра в выражении (1), определяется в

результате решения следующей задачи оптимального согласованного планирования: (2) y* = arg max {H(t) - u(t)},

teA'

где u(t) = X ci (t), а эффективность системы стимулирования (1),

ieI

равна следующей величине:

K* = H(y) - X c (y*) - S.

ieI

В [75] доказано, что система стимулирования (1), (2) является оптимальной, то есть, обладает максимальной эффективностью среди всех систем стимулирования. Таким образом, мы доказали справедливость следующего утверждения:

Утверждение 4. В модели с несколькими исполнителями и одним заказчиком область компромисса определяется выражениями (2) и (3).

Легко видеть, что в предельном случае (при n = 1) утверждение 4 переходит в утверждение 1.

Величина K может рассматриваться как «размер» области компромисса, то есть величина прибыли, которую делят между собой заказчик и исполнители. Как и в случае одного исполнителя, если договор предлагается заказчиком, то последний забирает всю прибыль K себе, оставляя исполнителям полезности {S}. Если величина мотивирующей надбавки Si определяется с помощью норматива рентабельности р, то есть Si = р ci(x), i е I, то целевая функция центра примет вид

Fx) = H(x) - (1 + р) X C (x).

ie I

В этом случае оптимальное реализуемое действие х*(р) = arg max {H(x) - (1 + р) X C (x)}

xeA ieI

будет зависеть от норматива рентабельности и может отличаться от (2).

Один исполнитель - несколько заказчиков.

Целевая функция единственного исполнителя имеет вид:

As У) = ?S(У) - c(y).

ieK

Рассмотрим стратегии заказчиков вида:

* r 11, У = У*

s * (1, y) = \ i eK,

[0, y * y

где величины {1} удовлетворяют следующим условиям:

1 >0, i eK; ?1 = c(y*).

ieK

Обозначим

= max {H*(y) - c(y)}, i e K,

yeA

ymax = arg max {H(y) - c(y)}, i e K.

yeA

Л = {1 >0 | 3x еЛ: H*(x) - 1 > W^ax , i e K, ?1 = c(x)}.

ieK

Область (9) получила название области компромисса в ОС с распределенным контролем [76]. Она представляет собой множество эффективных по Парето равновесий Нэша игры заказчиков, использующих стратегии вида (5). Если область компромисса непуста, то говорят, что имеет место режим сотрудничества заказчиков. Обозначим множество действий исполнителя, реализуемых равновесными по Нэшу стратегиями центров

SK = {x eA I 31 >0: H(x) - 1 > W^ax , i e K, ? 1 = c(x)}.

ieK

Случай, когда множество Л пусто, называется режимом конкуренции заказчиков. Обозначим:

K0 = max { ?H (y) - c(y)},

yeA ieK

x0 = arg max { ?H (y) - c(y)}.

yeA ieK

Необходимым и достаточным условием непустоты области компромисса является следующее условие [36]:

F = K0 - ?Wax >0.

ie K

Режим сотрудничества имеет место, когда множество Л не пусто (для этого интересы заказчиков должны различаться не очень сильно, то есть они должны иметь возможность совместно использовать результаты деятельности исполнителя). При этом заказчики совместно компенсируют затраты исполнителя и получают полезность, превышающую полезность, получаемую каждым из них в случае заключения индивидуальных договоров с исполнителем.

Режим конкуренции появляется когда множество Л пусто (для этого интересы заказчиков должны быть почти антагонистичны, что бывает в случае, когда исполнитель может «работать» только на одного заказчика). При этом один из заказчиков (содержательно - обладающий наибольшими ресурсами управления) единолично не только компенсирует затраты исполнителя, но и переплачивает ему ровно столько, чтобы обезопасить себя от возможности соглашения исполнителя на другие (более выгодные для него) условия, которые может предложить любой другой заказчик.

Интересно отметить, что режим конкуренции не выгоден ни одному из заказчиков, так как любая точка из множества Л (если оно непусто) доминирует его по Парето.

Полученный результат может быть адаптирован к иерархической системе договоров, в которой заказчики упорядочены (заказчик - генподрядчик - подрядчики и т.д.), то есть последовательно выбирают свои стратегии. Например, игра заказчиков может про-изводиться в два этапа - сначала они согласованно выбирают действие исполнителя, которое в дальнейшем необходимо реализовать, а затем последовательно (например, по одному) выбирают свои платежи исполнителю. Если принято решение реализовать действие y* е A, и заказчики, обязанные подчиниться этому решению, упорядочены в порядке возрастания их номеров, то, очевидно, что имеет место:

lk = min {c(y*); Hk(y*)},

1k-i = min {c(y*) - Xl ; Hk~'(y*)}, i = 1, k -1.

j>k-i

Содержательная интерпретация такого механизма прозрачна: представим себе k-уровневую иерархическую систему управления, которая должна побудить управляемый субъект совершить некоторые действия, то есть, как минимум, компенсировать ему затраты по совершению этих действий. Если ресурс нижнего уровня управления (с номером k, отсчитываемым от самого верхнего уровня иерархии) достаточен для этого (то есть c(y*) Hk(y*)), то он полностью использует свой ресурс и обращается за разницей c(y*) - Hk(y ) к представителю более высокого уровня, который поступает аналогично и т.д. Понятно, что для более адекватного отражения специфики иерархических многоуровневых ОС можно приписывать различные «ценности» единицам ресурсов различных уровней и т.д.

В соответствии с результатами [36, 76], величина F° характеризует степень согласованности интересов заказчиков, то есть ту сумму, которую необходимо доплатить или возможно изъять (в зависимости от знака выражения (11)).

Рассмотрим случай, когда множество Л не пусто.

Механизмы распределения ресурсов составляют обширный класс процедур принятия решений в управлении организационны-ми (активными) системами. Их частным случаем являются механизмы распределения дохода или затрат [13, 14, 19, 26, 36, 59, 69, 83, 115].

Обозначим

mi = H(x°) - wmax , l eK.

Таким образом, если область компромисса не пуста, то задача определения параметров договора заключается в нахождении вектора (1) eK, удовлетворяющего и следующим условиям:

1 ?1 = ф°).

le K

Утверждение 5. В модели с несколькими заказчиками и одним исполнителем область компромисса определяется выражениями (12) и (13).

Легко видеть, что в предельном случае (при k = 1) утверждение 5 переходит в утверждение 1.

Если имеет место полная информированность, то есть, если все стороны договора полностью и достоверно информированы обо всех целевых функциях и допустимых множествах, то механизм распределения ресурса (под которым мы в данном случае будем понимать удовлетворяющий (13), (14) принцип определения величин (1)leK может задаваться различными способами. Рассмотрим некоторые из них, распространенные на практике и имеющие прозрачные содержательные интерпретации.

Принцип равного распределения:

g = c(x0) /k, l eK Принцип равного распределения может использоваться только при условии

min i > c(x0) / k.

leK

Приоритетный принцип ("leK 1 / g = Const, где {g > 0} - константы, отражающие приоритеты заказчиков, ?уг = k ):

le K

При равных приоритетах приоритетный принцип распределения ресурса переходит в принцип равного распределения.

Принцип равных прибылей (Vl е K H(x°) - l = Const):

l = Hl(x°) - K°/kl, l eK.

Принцип равных прибылей может использоваться только при условии

г'

max

K° >k max К

leK

что является гораздо более сильным требованием, чем условие K° > X Кax непустоты области компромисса.

ieK

Принцип равных рентабельностей:

Hl ( x 0)

Vl eK (H(x°) - l) / l = Const; l = _ V „ c(x°), l e K.

X H (x0)

ieK

Принцип равных рентабельностей может использоваться только при условии

min [H(x°) / WU > XH(x0)/ K°.

leK ieK

Перечисление различных механизмов определения параметров договора (принципов определения взносов заказчиков) можно продолжать и далее, используя примененную выше методику.