§1.10. РЕЗОНАНС
Самый интересный частный случай вынужденных колебаний — это случай совпадения частоты коле-баний внешней периодической силы с собственной частотой колебаний системы (ш ~ а>0).
В этом случае первый член уравнения (1.9.5), который можно записать так:
ах = -?0о*'
взаимно уничтожается с третьим членом, равным (о^л:.
Эти два члена в любой момент времени одинаковы по модулю, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сдвинуты по фазе на к.В результате уравнение (1.9.5) принимает вид
kxvx = Fm cos cat. (1.10.1)
Это простое уравнение отражает всю суть явления. При со = ш0 ^в любой момент времени (еще раз подчеркнем, что речь идет об установившихся колебаниях) внешняя сила как бы исключает из игры силу сопротивления. В результате ускорение телу сообщается только силой упругости пружины. В сущности, реализуется очень необычная ситуация: гармонические колебания существуют в системе сколь угодно длительное время, несмотря на действие силы сопротивления.
Из уравнения (1.10.1) видно, что при ш = ю0 фаза колебаний скорости совпадает с фазой колебаний внешней силы. Работа внешней силы при этих условиях положительна на всем протяжении периода. Создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе.
Положительная работа внешней силы в точности равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления. Из-за этого механическая энергия за счет работы силы сопротивления переходит во внутреннюю энергию (пружина с грузом и окружающий воздух нагреваются).
Амплитуда колебаний при ш ~ ю0 равна:
v F
* =— = (1.10.2)
т /г^о v т
со
Рис. 1.20
'т
х,
о
со
Рис. 1.21
О При k^ —> 0 хт —> т. е. очевидно, что при (о = coQ амплитуда максимальна.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называется резонансом .
Наблюдать явление резонанса можно с помощью установки, изображенной на рисунке 1.16.
Плавно увеличивая частоту внешней силы, мы заметим, что амплитуда колебаний растет. Она достигает максимума, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями (со = со0). При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний опять уменьшается (рис. 1.20).Влияние сопротивления на резонанс
Существенное влияние на резонанс оказывает сопротивление В системе. Если коэффициент сопротивления Alj имеет достаточно большое значение, то согласно уравнению (1.10.2) резонансная амплитуда колебаний невелика. При резонансе положительная работа внешней силы целиком идет на покрытие расхода энергии за счет отрицательной работы силы сопротивления. Чем меньше сила сопротивления, тем больше амплитуда установившихся колебаний.
Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при различных коэффициентах сопротивления и одной и той же амплитуде внешней силы графически изображено на рисунке 1.21. Кривой 1 соответствует минимальный коэффициент сопротивления, а кривой 3 — максимальный. На этом рисунке хорошо видно, что возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше сопротивление в системе.
При малом коэффициенте сопротивления резонанс «острый» , а при большом «тупой». Если частота колебаний далека от резонансной, то амплитуда колебаний мала и почти не зависит от силы сопротивления в системе.
В системе с малым сопротивлением амплитуда колебаний при резонансе может быть очень большой даже в том случае, когда внешняя сила мала. Но надо хорошо уяснить, что большая амплитуда установится только спустя продолжительное время после начала действия внешней силы. В соответствии с законом сохранения энергии заставить систему колебаться с большой амплитудой, а значит, сообщить ей большую энер-гию с помощью сравнительно небольшой внешней силы, можно только за большой промежуток времени. Если сопротивление велико, то амплитуда колебаний будет небольшой и для установления колебаний не потребуется много времени.
О резонансе имеет смысл говорить, если затухание свободных колебаний в системе мало.
Иначе амплитуда вынужденных колебаний при со = со0 мало отличается от амплитуды колебаний при других частотах. В этом можно убедиться, помещая колеблющийся груз в вязкую жидкость.Сдвиг фаз при вынужденных колебаниях
Зависимость координаты от времени при резонансе выражается уравнением:
(1.10.3)
так как колебания скорости совпадают по фазе с колебаниями силы, а колебания координаты отстают от колебаний скорости
л
на
Теперь можно изобразить примерный вид зависимости сдвига фаз <рс от частоты. Мы знаем, что при малых частотах (со = 0) сдвиг фаз между колебаниями координаты и силы равен нулю. При резонансе сдвиг фаз равен ~ .
Рис. 1.22 Если частота велика (со °о), то сдвиг
фаз стремится к На рисунке 1.22 представлен график зависимости сдвига фаз между колебаниями координаты и внешней силы в зависимости от частоты вынужденных колебаний.
Можно показать, что чем меньше коэффициент сопротивления, тем резче происходит изменение сдвига фаз вблизи резонанса.
Применение резонанса и борьба с ним
Если какая-либо колебательная система находится под действием внешней периодической силы, то может наступить резонанс и связанное с ним резкое увеличение амплитуды коле-баний.
Любое упругое тело, будь то мост, станина машины, ее вал, корпус корабля, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. При работе двигателей нередко возникают периодические усилия, связанные с движением частей двигателя (например, поршней) или же с недостаточно точной центровкой их вращающихся деталей (например, валов). Если частота периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что возможна поломка машин.
Во всех этих случаях принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие. Для этого увеличивают затухание в системе или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы.
Известны случаи, когда приходилось перестраивать океанские лайнеры, чтобы уменьшить вибрацию.При переходе через мост воинским частям запрещается идти в ногу. Строевой шаг приводит к периодическому воздейст- вию на мост. Если случайно частота этого воздействия совпадет с собственной частотой колебаний моста, то он может разрушиться. Такой случай произошел в 1906 г. в Петербурге при переходе кавалерийского эскадрона через мост на реке Фонтанке.
Мы до сих пор приводили примеры вредных последствий резонанса. Есть, конечно, и полезные. Простейший пример — раскачивание качелей.
На явлении резонанса основано устройство частотомера — прибора для измерения частоты переменного тока. Прибор состоит из набора упругих пластин 1 с грузиками на концах. Пластины закреплены на общей планке 2 (рис. 1.23, а). Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, зависящей от ее упругих свойств, длины и массы.
Частоты колебаний пластин известны. Под действием электромагнита 3 планка, а с ней вместе и все пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота колебаний которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Это и позволяет определить частоту переменного тока (рис. 1.23, б).
Со многими другими, гораздо более важными применениями резонанса мы познакомимся в дальнейшем.
а)
б)
Рис. 1.23