§ 1.9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные колебания всегда затухают за то или иное время и по этой причине почти никогда не ис-пользуются на практике. Наиболее важное значение имеют незатухающие колебания, которые могут длиться сколь угодно долго.
Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колеба-ний состоит в том, что на систему действует внешняя периодиче-ская сила.
Колебания под действием внешней периодической силы называются вынужденными. Работа этой силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.Под влиянием периодической силы любое тело или система совершает колебания. Но если система сама по себе не способна совершать колебания, то ничего интересного в ней под действием периодической силы не произойдет. Вспомните пример с книгой, которую можно двигать рукой по столу слева направо и справа налево.
Если же система способна совершать свободные колебания, то действие на нее периодической внешней силы вызывает весьма интересные и практически важные явления. С ними знакомы все, кому приходилось раскачивать ребенка на качелях.
Качели — это маятник, обладающий определенной собст-венной частотой. Значительно отклонить качели от положения равновесия трудно. Постоянная во времени сила здесь мало эффективна. Не раскачает качели взрослый человек и в том случае, если он будет их беспорядочно подталкивать в разные стороны. Однако, если начать работать в правильном ритме, подталкивая качели вперед каждый раз, когда они поравня-ются с нами, можно без больших усилий раскачать их очень сильно. Правда, для этого потребуется некоторое время .
Раскачать качели до больших амплитуд можно только под действием такой периодической внешней силы, которая изменяется с частотой, равной частоте свободных колебаний качелей (маятника).
Вот эта возможность резкого увеличения амплитуды колебаний маятника или любой другой системы, способной совершать свободные колебания, при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы и пред-ставляет главный интерес.
Наблюдение вынужденных колебаний
Давайте подробнее познакомимся с вынужденными колебаниями системы, обладающей собственной частотой колебаний.
Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплен к «коле-ну» изогнутой оси (рис. 1.16). Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикрепленный к пружине, начнет действовать периодическая внешняя сила. Еще лучше вращать ось с пЪмощью электродвигателя. Рис. 1.16Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы.
Постепенно груз начнет раскачиваться. Амплитуда его ко-лебаний нарастает. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. Присмотревшись внимательно, вы об-наружите, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы. (Эта частота равна угловой скорости вращения рукоятки.) В этом ничего неожиданного нет. Если толкать груз вверх и вниз, то он в конце концов начнет качаться с той же частотой, с которой вы действуете на него.
Установление колебаний
Но почему с течением времени устанавливается определенная амплитуда колебаний? Проще всего это можно понять, исходя из энергетических соображений. Внешняя сила совершает за период работу Ах, которая, конечно, прямо пропорциональна амплитуде колебаний (рис. 1.17, график 1). Ведь работа всегда пропорциональна пройденному пути. За счет этойработы увеличивается энергия колеблющегося тела и, следовательно, размах колебаний.
Одновременно с ростом амплитуды колебаний растут потери механической энергии в системе. Силы трения за период совершают работу А2. При этом от системы отбирается меха-ническая энергия. Работа сил сопротивления также пропорциональна амплитуде, так как с увеличением амплитуды растет пройденный телом путь. Но нужно еще учесть, что сама сила сопротивления, если считать ее прямо пропорциональной скорости (Fc = растет пропорционально амплитуде.
Ведь чем больше амплитуда колебаний, тем быстрее при заданном периоде движется колеблющееся тело. В результате работа А2 оказывается пропорциональной квадрату амп-литуды (рис.
1.17, график 2).При раскачке колебаний, когда амплитуда еще мала, |А2| < Энергия системы увеличивается, и амплитуда колебаний растет. Но работа сил сопротивления увеличивается (по модулю) быстрее, чем работа внешних сил: она ведь пропор-циональна не первой степени, а квадрату амплитуды. Поэтому наступит момент, когда работа сил сопротивления сравняется по модулю с работой внешних сил. Тогда механическая энергия системы перестанет нарастать и колебания установят-ся. В дальнейшем они будут совершаться с постоянной ампли-тудой (рис. 1.18), а частота колебаний будет равна частоте изменения внешней силы.
Рис. 1.17 [
А / - и - * — * 1 \ У t Рис. 1.18
Чем меньшее сопротивление испытывает система, тем большую амплитуду будут иметь установившиеся колебания. Работа сил сопротивления пропорциональна коэффициенту сопротивления fe,, и равенство \А'2\ = |AJ (соответствующее пе- ресечению графиков 1 и 2', см. рис. 1.17) при малом сопротивлении (ky < /е1), может быть достигнуто при большей амплитуде (ОС > ОВ). Разумеется, при этом требуется и большее время для того, чтобы колебания установились.
Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой со и амплитудой хт по гармоническому закону:
х = хт cos (соі + фс). (1.9.1)
Внешне вынужденные установившиеся колебания выглядят так же, как и свободные колебания в системе без трения. Но если при свободных колебаниях амплитуда хт и начальная фаза ф0 определяются начальными условиями, то при вынужденных колебаниях хт и фс определяются (как мы увидим в дальнейшем) параметрами самой системы и внешней силой. Прежде всего играет существенную роль соотношение частот собственных и вынужденных колебаний. Величина фс в случае вынужденных колебаний — это не начальная фаза, а сдвиг фаз между колебаниями координаты и внешней силы. Скорость и ускорение при вынужденных колебаниях определяются такими же уравнениями, как и при свободных колебаниях:
vx = (ихт cos (cof + фс + |), (1.9.2)
ах = ~(0%хт cos (cof + фс).
(1.9.3)Уравнение движения для вынужденных колебаний
Приступим к решению основной задачи: выясним, от чего и как зависят амплитуда хт вынужденных колебаний и сдвиг фаз фс. Для этого запишем и исследуем уравнение движения для вынужденных колебаний.
Пусть на колебательную систему (груз на пружине) дейст-вует внешняя периодическая сила Fx = Fm cos соt. Кроме того, на тело действует сила упругости (F) = -kx и сила сопротив-
У *
ления, пропорциональная скорости: (F) = ~kxvx, где kx — ко-эффициент сопротивления. (При малых скоростях движения тела силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости.) Тогда уравнение движения запишется так:
тах =-kx - k1vx +Fmcos(at. (1.9.4)
Перенеся в левую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим:
тах + k1vx + kx = Fm cos оit.
Удобнее записать это уравнение в несколько другом виде, разделив правую и левую его части на то и введя собственную час-
тоту <вл = — : и чт
k .
k F
Н и + (й%х = — cos atf. (1.9.5)
x m x 0 m y '
Движение тела, подчиняющееся этому уравнению, достаточно сложно, особенно вначале, когда оно не является гармоническим. Мы рассмотрим лишь три предельных случая.
I~k
Первый случай: ш«йп= — , т. е. частота внешней
и V т
периодической силы много меньше частоты собственных ко-лебаний системы.
Второй случай:©» со0; выполняется противоположное условие.
И наконец, самый важный случай: аз = оз0 . Это случай резонанса.
Вынужденные колебания малой частоты
Если to F О Ш (On* = — cos cat. 0 т? Отсюда (1.9.6) Т COS СОt= -г- COS (Sit. 2 k той, Колебания координаты происходят с амплитудой хт = — , а фаза колебаний совпадает с фазой колебаний внешней силы. С энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с пе-риодической силой, в данном случае очень неблагоприятны. В самом деле: четверть периода, когда тело смещается от положения равнове-сия, внешняя сила совершает поло-жительную работу, так как сила и скорость тела, а значит, и переме-щение направлены в одну сторону (рис. 1.19, а). Но в следующую чет-верть периода, когда тело возвра-щается к положению равновесия, сила и скорость (а значит, и перемещение) направлены в противоположные стороны (рис. 1.19, б). Работа внешней силы при этом отрицательна. Та же картина будет наблюдаться во вторую половину периода. В целом за период работа внешней силы почти точно равна нулю. Лишь малая часть работы внешней силы идет на компенсацию работы силы трения, так как скорость движения тела при со со0 очень мала, и поэтому мало значение силы трения. Здесь имеется некоторая тонкость, иногда затрудняющая понимание сути дела. Если смещение от положения равновесия прямо пропорционально силе в любой момент времени, то казалось бы на первый взгляд, что работа должна быть все время положительной. Однако надо иметь в виду, что знак работы зависит от совпадения направления силы и направления перемещения, т. е. скорости, а не знака координаты. Для того чтобы работа была положительной, необходимо совпадение Ах знаков F х и АЛ: (или = vx), а не Fx и х. Надо хорошо представлять себе, что когда сила и координата достигают максимальных значений, то после этого сила начинает уменьшаться, не меняя направления, а скорость меняет направление. Вынужденные колебания большой частоты В случае (0 со0 в левой части уравнения (1.9.5) наибольшим будет первый член, амплитуда которого пропорциональна квадрату частоты. F av = — cos cat. (1.9.7) * т v По фазе с колебаниями силы совпадают теперь не колебания координаты, а колебания ускорения. Колебания координаты происходят в противофазе с колебаниями внешней силы. Амплитуда координаты равна: л Fm *т=~2=—2- (1.9.8) (о тоз Таким образом, колебания тела происходят по закону Fm х — 2 cos (ot. (1.9.9) man При ш —> (это эквивалентно условию ш а>0) хт —> 0, т. е. амплитуда колебаний мала. Этот результат вполне естествен. Сила столь быстро меняет направление, что тело, обладающее инертностью, не успевает заметно сдвинуться относительно положения равновесия. Половину периода внешняя сила совершает положительную работу, а другую половину — отрицательную. Половину периода сила и перемещение направлены одинаково, а другую половину периода они направлены в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в систему.