4.6. Сложение колебаний

Вопрос о сложении гармонических колебательных движений требует отдельного рассмотрения двух наиболее распространенных случаев: а) сложение одинаково направленных колебаний и б) сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение одинаково направленных колебаний.

В этом случае результирующее движение будет прямолинейным и колебательным, значит кинематическое уравнение движения можно записать так:

.

(4.38)

Сложить два колебания – значит найти параметры, входящие в уравнение: A, w и j_о. Задача проще всего решается построением векторной диаграммы сначала слагаемых, а затем и суммарного колебания (рис. 4.8).

Диаграмма изображена для случая, когда уравнения слагаемых колебаний

; .

(4.39)

Полученный от сложения двух амплитуд параллелограмм имеет определяемый слагаемыми колебаниями угол – разность фаз складываемых колебаний:

.

(4.40)

Очевидно, что в самом общем случае, когда частоты колебаний w₁ и w₂ не равны друг другу, угол не сохраняется постоянным, поскольку с течением времени векторы амплитуд поворачиваются каждый со своей скоростью:

; .

(4.41)

В результате суммарная амплитуда изменяется со временем с частотой Dw = w₁ – w₂ от минимального значения (A₂ – A₁) до максимального значения (А₂ + А₁), то есть колебания будут негармоническими.

В случае, если частоты складываемых колебаний одинаковы, разность фаз будет постоянна и равна разности начальных фаз:

.

(4.42)

Амплитуда суммарного колебания тогда остаётся постоянной. Складываемые колебания в этом случае называют когерентными. Сложение когерентных колебаний называют интерференцией. Величину суммарной амплитуды (см. рис. 4.8) можно найти по теореме косинусов:

.

(4.43)

Второй параметр – циклическая частота для случая когерентных колебаний равна частоте складываемых колебаний: действительно, на векторной диаграмме при вращении векторов А₁ и А₂ со скоростью с такой же скоростью будет вращаться и вектор суммарной амплитуды, т.е. параллелограмм в целом.

Следует обратить внимание на то, что в случае когерентных колебаний на диаграмме откладываются не фазы и , а лишь начальные фазы. Поэтому угол – между суммарной амплитудой и опорной осью – есть начальная фаза результирующего колебания. Тангенс этого угла может быть найден из треугольника ОВС как отношение его катетов:

.

(4.44)

Катеты же находят в каждом конкретном случае по исходным данным.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение двух колебаний в случае, когда они перпендикулярны друг другу, не всегда приводит к колебательному движению. Чаще реализуются случаи, когда тело в результате сложения перпендикулярных колебаний движется по какой-либо кривой. Этой кривой может быть эллипс, окружность, парабола и другие не столь простые геометрические фигуры. Случается, что наложение двух перпендикулярных колебаний приводит и к движению по прямой, т.е. колебательному движению, но в ином направлении, нежели направления складываемых колебаний. Зная их параметры, можно рассчитать траекторию результирующего движения, освободившись от времени t и, следовательно, от тригонометрических функций.

Например, пусть точка участвует в колебаниях по осям ОХ и ОY :

; .

(4.45)

Возведя в квадрат и сложив эти уравнения, получим:

т.е. тело движется по окружности.