Сложение взаимоперпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка совершает два колебания во взаимноперпендикулярных направлениях. Колебания происходят по координатам X и Y. Частоты колебаний одинаковы. Пусть колебание по оси Х: x=acosωt, по оси Y: y=b·cos(ωt+ψ).

; ;

(5)

Это уравнение фигуры второго порядка, то есть траектория движения в общем случае есть фигура второго порядка.

Рассмотрим частные случаи:

1. пусть ψ=2πk, , ;

- это уравнение прямой, то есть результирующее колебание будет в одном направлении (Рис 4). Сумма двух линейных колебаний есть одно линейное колебание.

Рисунок 4.

2. пусть ψ=π+2πk, k=0,1,2… - то же результирующее колебание, но во 2 и 4 четвертях (Рис 5):

Рисунок 5.

3.

Рисунок 6.

Если а=b, получаем уравнение окружности (Рис 7).

Рисунок 7.

В зависимости от знака перед π/2 колебания отличаются направлением движения: при ψ= π/2 движение по часовой стрелке, при ψ= -π/2 – против часовой стрелки.

Если ψ принимает другое значение, то движение также будет происходить по эллипсу, но оси эллипса не будут совпадать с осями системы координат (Рис 8).

Рисунок 8.

Когда ψ=0, 2π – эллипс сжимается в прямую.

Встречаются случаи, когда частоты колебаний во взамноперпендикулярных направлениях не совпадают. Форма траектории будет более сложной, но существуют также ситуации, когда траектории будут замкнуты (Рис 9).

Рисунок 9.

Условие замкнутости: nTx=mTy, где n и m - целые числа (это значит, что за один и тот же промежуток времени совершается целое число колебаний по оси Х и по оси У).

, тогда nωx=mωy, или . Частоты должны относиться как целые числа. Траектория, которая получается при сложении колебаний с кратными частотами, называются фигурами Лиссажу.