Вынужденные колебания
Рассмотрим малые колебания в системе при наличии сил трения и при одновременном воздействии вынуждающей силы. Внешние силы меняются по гармоническому закону. Если вывести систему из равновесия, то возникнут внутренние силы:
Fупр= -kx',
Fтр=-γx,
Fвн=F0cosωt,
где F0 - амплитуда вынуждающей силы.
Тогда уравнение движения запишется в виде:
mx'' =F0cosωt-kx-γx' (1)
Введем обозначения:
, α – коэффициент затухания, 
- время в течение которого А уменьшается в е раз, 
, тогда
x''+2αx'+ω02x=fcosωt (2)
Это неоднородное дифференциальное уравнение.
Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решать будем комплексным методом: cosωt→eiωt (значение действительной части опускаем):x''+2αx'+ω02x=feiωt (3)
Пусть в начальный момент тело покоилось. Под действием внешней силы тело смещается из положения равновесия, возникают колебания с собственной частотой. В общем случае внешняя сила имеет другую частоту. Поэтому действие внешней силы не будет согласовано с колебаниями. В таком случае работа, которую будет совершать внешняя сила при достаточно большом промежутке времени, равна нулю. Это значит, если внешняя сила не будет поддерживать собственные колебания, они затухнут. Одновременно в системе развиваются колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний будет непрерывно расти (Рис1).
Авн ~ а
Атр ~ а2
где а – амплитуда.
Рисунок 1.
Значит с увеличением а потери энергии на трение будут возрастать быстрее, чем работа, совершаемая внешней силой.
Наступит такой момент когда Атр=Авн. Дальнейшее увеличение а не будет происходить. Установится стационарный режим в колебаниях. Колебания при этом будут происходить с частотой, равной частоте изменения внешней силы. Процесс установления стационарного режима называется переходным режимом(Рис 2).
Рисунок 2.
Это можно показать на опыте или анализируя общее решение уравнения (2). В установившемся режиме х (смещение из положения равновесия) равно:
x=aeiωt (4)
Это решение уравнения. Проверим, удовлетворяет ли оно уравнению:
x'=iωaeiωt (5),
x''=-ω2aeiωt (6)
Подставим (4)-(6) в (3), получим:
-ω2aeiωt+2iωαaeiωt+ω0aeiωt=feiωt
Сокращаем на eiωt:
а(ω2-ω02)+2iαωa=f
Это уравнение должно быть тождеством, что позволяет найти а (комплексная амплитуда):
(7)
То есть мы нашли решение задачи для установившегося режима колебаний. Нас интересует нормальная амплитуда:
(8)
Сдвиг между силой и смещением найдем следующим образом:
(9),
где tgψ – сдвиг фаз установившихся колебаний относительно вынуждающей силы. Заметим, что амплитуда колебаний в данном случае зависит от частот ω0 и ω. Чтобы исследовать данную функцию, найдем экстремумы А:
В точке экстремума производная равна нулю:
-4ω(ω02-ω2)+8α2ω=0
-(ω02-ω2)+2α2=0
(10),
где ωр – это резонансная частота, которая соответствует экстремуму функции А при достаточно большом ω (ω→∞), А→0.
Резонансная частота близка к частоте собственных колебаний (обычно трение невелико и α>А(0) при малом α.
В качестве характеристики резонансных систем вводят понятие добротности:
(11)
(при малом трении).
Чем выше Q, тем больше резонансная амплитуда и тем уже резонансная кривая.
Рассмотрим, как меняется фаза колебаний вблизи резонанса (ω≈ω0): 
(12)
При резонансе фаза смещения колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на π/2. Благодаря этому достигается резонанс (то есть работа будет максимальной) (Рис 4).
Рисунок 4.
Разобьем период на 4 участка.
SАвне=Fвне∙dx
На первом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.
На втором участке: F0.
На третьем участке: F0.
На четвертом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.
При сдвиге на (-π/2) внешние силы постоянно совершают положительную работу. Если частота внешних сил меняется, сдвиг фаз не будет (-π/2) и обязательно появятся участки, где работа будет меньше нуля. Общая работа за период станет меньше. Энергия, которая поступает в систему, также станет меньше, значит, амплитуда также уменьшится. Следовательно, резонанс возникает благодаря сдвигу фаз на (-π/2).