Вынужденные колебания

Рассмотрим малые колебания в системе при наличии сил трения и при одновременном воздействии вынуждающей силы. Внешние силы меняются по гармоническому закону. Если вывести систему из равновесия, то возникнут внутренние силы:

Fупр= -kx',

Fтр=-γx,

Fвн=F0cosωt,

где F0 - амплитуда вынуждающей силы.

Тогда уравнение движения запишется в виде:

mx'' =F0cosωt-kx-γx' (1)

Введем обозначения:, α – коэффициент затухания, - время в течение которого А уменьшается в е раз, , тогда

x''+2αx'+ω02x=fcosωt (2)

Это неоднородное дифференциальное уравнение.

x''+2αx'+ω02x=feiωt (3)

Пусть в начальный момент тело покоилось. Под действием внешней силы тело смещается из положения равновесия, возникают колебания с собственной частотой. В общем случае внешняя сила имеет другую частоту. Поэтому действие внешней силы не будет согласовано с колебаниями. В таком случае работа, которую будет совершать внешняя сила при достаточно большом промежутке времени, равна нулю. Это значит, если внешняя сила не будет поддерживать собственные колебания, они затухнут. Одновременно в системе развиваются колебания с частотой вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний будет непрерывно расти (Рис1).

Авн ~ а

Атр ~ а2

где а – амплитуда.

Рисунок 1.

Значит с увеличением а потери энергии на трение будут возрастать быстрее, чем работа, совершаемая внешней силой.

Рисунок 2.

Это можно показать на опыте или анализируя общее решение уравнения (2). В установившемся режиме х (смещение из положения равновесия) равно:

x=aeiωt (4)

Это решение уравнения. Проверим, удовлетворяет ли оно уравнению:

x'=iωaeiωt (5),

x''=-ω2aeiωt (6)

Подставим (4)-(6) в (3), получим:

-ω2aeiωt+2iωαaeiωt+ω0aeiωt=feiωt

Сокращаем на eiωt:

а(ω2-ω02)+2iαωa=f

Это уравнение должно быть тождеством, что позволяет найти а (комплексная амплитуда):

(7)

То есть мы нашли решение задачи для установившегося режима колебаний. Нас интересует нормальная амплитуда:

(8)

Сдвиг между силой и смещением найдем следующим образом:

(9),

где tgψ – сдвиг фаз установившихся колебаний относительно вынуждающей силы. Заметим, что амплитуда колебаний в данном случае зависит от частот ω0 и ω. Чтобы исследовать данную функцию, найдем экстремумы А:

В точке экстремума производная равна нулю:

-4ω(ω02-ω2)+8α2ω=0

-(ω02-ω2)+2α2=0

(10),

где ωр – это резонансная частота, которая соответствует экстремуму функции А при достаточно большом ω (ω→∞), А→0.

Резонансная частота близка к частоте собственных колебаний (обычно трение невелико и α>А(0) при малом α.

(11)

(при малом трении).

Чем выше Q, тем больше резонансная амплитуда и тем уже резонансная кривая.

Рассмотрим, как меняется фаза колебаний вблизи резонанса (ω≈ω0): (12)

При резонансе фаза смещения колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на π/2. Благодаря этому достигается резонанс (то есть работа будет максимальной) (Рис 4).

Рисунок 4.

Разобьем период на 4 участка.

SАвне=Fвне∙dx

На первом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.

На втором участке: F0.

На третьем участке: F0.

На четвертом участке: F>0, dx>0, =>δA>0.

При сдвиге на (-π/2) внешние силы постоянно совершают положительную работу. Если частота внешних сил меняется, сдвиг фаз не будет (-π/2) и обязательно появятся участки, где работа будет меньше нуля. Общая работа за период станет меньше. Энергия, которая поступает в систему, также станет меньше, значит, амплитуда также уменьшится. Следовательно, резонанс возникает благодаря сдвигу фаз на (-π/2).