§1.11. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. СПЕКТР КОЛЕБАНИ

На тело может действовать не одна, а несколько периодических сил, отличающихся амплитудой, частотой и фазой. В соответствии с принципом независимости сил каждая из сил вызывает движение тела (колебание), не зависящее от одновременного действия других сил.

Гармоническое колебание как проекция вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью

Наиболее просто складываются гармонические колебания одинаковых частот. Предварительно рассмотрим проекцию вращающегося вектора.

Пусть вектор OA вращается с постоянной угловой скоростью (D вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 1.24).

А Модуль вектора OA обозначим через а.

ю | В начальный момент времени t = О век-

гф і тор образует с осью X угол ф0. В даль-

О

х х нейшем при равномерном вращении

Рис. 1.24 угол между вектором OA и осью X ли

нейно растет со временем:

ф = Ш* + ф0. (1.11.1)

Проекция вектора OA на ось X равна:

х = a cos ф = a cos (cot + ср0). (1.11.2)

Одновременно- проекция этого вектора на ось У оказывается равной

у = a sin (cat + ф0). (1.11.3)

Мы получили простой, но важный результат.

Проекция вектора, вращающегося с постоянной скоростью, совершает гармонические колебания с частотой, равной угловой скорости вращения вектора. Амп-литуда этих колебаний равна модулю вектора, а начальная фаза равна углу, образованному вектором OA с осью координат X в начальный момент времени.

Сложение гармонических колебаний

одинаковых частот

Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить е помощью так называемой векторной диаграммы.

Векторной диаграммой называют графическое изображение гармонических колебаний и соотношений между гармонически колеблющимися величинами с помощью векторов.

Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме проекций слагаемых векторов.

= a cos (соt + ф01) и х2 = b cos (соt + ф02) (1.11.4) У, * С - ' в - - " / і / / . / ' фу Г 1 > 1 / г / 1

/ і 1^^^" ж* А 1

і і і і о / \х2 х1 х х Фоі Ф02 Фс = (Ро2-Фоі> (1.11.5)

представляет собой сдвиг фаз между этими колебаниями. Рис. 1.25

осуществляется так. Строят векторы OA и ОБ, изображающие первое и второе колебания (рис. 1.25). Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный

Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол фс между векторами OA и ОВ не меняется.

Проекция суммарного вектора ОС представляет собой результирующее колебание:

X = Хг + Х2 = ccos (cot + ф0). (1.11.6)

Оно происходит с той же частотой со, что и колебания хх и

х2. Модуль с вектора ОС равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА по-лучим:

с= Ja2 + Ь2 + 2abcosАмплитуда результирующего колебания зависит от амплитуд складываемых колебаний а и Ь и сдвига фаз между ними. С помощью рисунка 1.25 можно найти и начальную фазу ф0-

Сложение гармонических колебаний

различных частот

Гораздо более сложная картина возникает при сложении колебаний различных частот. Мы этот случай подробно рассматривать не будем. Ограничимся лишь несколькими заме-чаниями.

При сложении гармонических колебаний различных час-тот результирующее колебание уже не будет гармоническим.

Если складываются колебания с кратными частотами, то результирующее колебание оказывается периодическим, а его форма может очень сильно отличаться от синусоиды.

На рисунке 1.26 представлен результат сложения 18 гармонических синусоидальных колебаний с различными амплитудами, начальными фазами и различными, но кратными частотами. Получился профиль девушки, фотография которой помещена рядом. Такую форму будет иметь график зависимости смещения колеблющейся точки от времени (временная развертка колебаний). Каждый, если не пожалеет времени, мо-

о

со

у = 49,6 sin(co + 302°) + 17,4 sin(2co + 298°) + 13,8 sin(3co + 195°) + + 7,1 sin(4co + 215°) + 4,5 sin(5co + 80°) + 0,6 sin(6co + 171°) + + 2,7 sin(7co + 34°) + 0,6 sin(8co + 242°) + 1,6 sin(9co + 331°) + + 1,3 sin(10(B + 208°) + 0,3 sin(l lco + 89°) + 0,5 sin(12co + 229°) + + 0,? sin(13co + 103°) + 0,3 sin(14co + 305°) + 0,4 sin(15co + 169°) +

+ 0,5 sin(16co + 230°) + 0,5 sin(17co + 207°) + 0,4 sin(18co + 64°)

Рис.

жет убедиться, что вас не пытаются ввести в заблуждение. Кстати, можно убедиться и в том, что профиль девушки будет с течением времени периодически повторяться.

Спектр колебаний

Можно поставить обратную задачу: заданы периодические, но не гармонические колебания координаты, внешней силы или какой-либо другой физической величины. Надо представить данное сложное колебание в виде суммы гармонических колебаний.

Развиты строгие математические методы, которые позволяют это сделать для любого сколь угодно сложного колебания. Например, по заданному графику, изображающему профиль девушки (см. рис. 1.26), можно найти амплитуды, частоты и фазы гармонических функций, сумма которых дает исходное колебание.

Мы не будем касаться этой сложной математической задачи. Обратим внимание лишь на одно наиболее существенное обстоятельство. Важным является определение частот тех гар-монических колебаний, на которые разлагается сложное колебание. Совокупность частот сложного колебания называется его частотным спектром или просто спектром. Колебания каждой частоты представлены с той или иной амплитудой.

Значение анализа спектрального состава сложного колебания связано с резонансом. Допустим, на колебательную систему с собственной частотой колебаний со0 действует внешняя сложная периодическая сила. Тогда наша колебательная система будет заметно отзываться только на гармоническую со-ставляющую сложного колебания, частота которой совпадает с собственной частотой колебательной системы или близка к ней. При малых силах трения в системе резонансная кривая имеет резкий максимум и гармонические составляющие периодической силы с частотами, заметно отличающимися от ре-зонансной, не вызовут «отклика» системы. Если в спектре внешней силы нет частот, близких к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда вынужденных колебаний системы будет мала.

Благодаря этому с помощью набора колебательных систем с различными собственными частотами можно экспериментально определить спектр колебаний внешней силы. Например, частотомер, о котором говорилось в § 1.10, позволяет установить спектр сложных электрических колебаний силы тока. Для этого обмотку электромагнита нужно питать этим током. В такт с колебаниями силы тока будет колебаться планка с пластинами. Лишь те пластины, собственные частоты колебаний которых присутствуют в спектре колебаний тока, будут иметь заметную амплитуду колебаний.

Непериодическую функцию времени тоже можно предста-вить в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. Но частоты этих колебаний могут быть любыми.