Глава 5Методы дискретизации задач математическойфизики

Ключевые слова конечноразностные методы, метод сеток, метод прямых, метод квадратур, вариационные методы, метод Ритца, метод наименьших квадратов, метод Канторовича, метод Куранта, метод Трефтца, проекционные методы, метод Бубнова-Галеркина, метод моментов, проекционные методы в гильбертовых пространствах, проекционные методы в банаховых пространствах, проекционно-сеточные методы, методы интегральных тождеств, метод интегрального тождества Марчука, обобщенная формулировка метода интегральных тождеств, метод конечных элементов

Основные понятия и обозначения

Сетка — совокупность точек в области задания дифференциального уравнения и граничных условий, на которых строится соответствующая аппроксимация задачи

Разностная схема — система уравнений, аппроксимирующая дифференциальное уравнение и граничные условия на точном решении задачи Метод прогонки (факторизации) — метод исключения Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей

Аи = / — символическая (операторная) форма записи задачи математической физики с оператором А

D(A) — область определений оператора А R(A) — область значений оператора А

Вариационная задача — задача об отыскании функций, доставляющих экстремум некоторого функционала J(u)

Вариационные (прямые) методы — методы отыскания функций, при-ближенно реализующие экстремум функционала и не использующие све-дение вариационной задачи к дифференциальным уравнениям

Минимизирующая последовательность — последовательность функций «і, «2, ,и„, такая, что lim, ,_»„(«„)=«/ = mf,, J (и)

Проекционные методы — класс методов отыскания приближенных решений мдг = а,<Р" представляемых в форме PN{AUN - /) = 0, где PN — проектор на некоторую систему базисных функций Vi,V2>

Метод интегральных тождеств — совокупность методов приближенного решения задачи Аи = /, состоящая в построении системы интегральных тождеств исходя из точной постановки задачи Аи = f и последующей аппроксимации этих тождеств.

Метод квадратур — метод сеток, применяемый к приближенному ре-шению интегральных уравнений.

Проекционно-сеточный метод (метод конечных элементов) — модификация соответствующего проекционного метода, в котором базисные функции имеют носители порядка шага сетки.