ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

Упражнение 1

-20 м; 40 м.

0; 40 м.

4 м/с, противоположно положительному направлению оси X.

Упражнение 2

5,6 м/с, под углами 45° к осям координат.

у = 6 м - 0,5Л;; Х0 = 0, у0 = 6 м, = -4 м, уг = 8 м.

второй координатной четверти.

Графики изображены на рисунке 1, а, б, в.

Части графика ВС и CD неверны, так как путь не может убывать и не бывает отрицательным.

Графики изображены на рисунке 2, а, б.

i>! = 53,3 км/ч; и2 = 60 км/ч. Vx, м/с

V,

м/с

8, М

4

2

2

6 8

0

0

16 14 12 10 8

4

t, с

4 2

-4

а)

б)

4 6 8 f, с

4 6 8 t, с 6

7. sin a > r— ; 36°45' < a < 143°15'. bv 2

cos a' Упражнение 3

Рис. 2

1.12 M, 16 M, 12 M; 4 м/с — вверх вдоль плоскости; 0; 4 м/с — вниз вдоль плоскости; 17 м. 2. 30 с; 60 м; 60 м; 135 м.

84,7 км/ч.

0,22 м/с2, 0,33 м/с.

5 м/с.

f2 = ^(2 +72).

и = ./La.

См. рисунок 3.

Упражнение 4

1 с; 5 с.

20,6 см.

330 м.

4,3 с.

30 м/с; 20 м/с, вверх, а потом вниз.

fi U° + Т 7 2'

30 м/с; 42 м/с.

30 м/с.

15 м.

Zj = 8Н sin а, а далее Zj : Z2 : Z3 ... = = 1:2:3 ...; Zj = 2,8 м.

2 кг.

Z = v{jtj2(l - sin a) ~ 22 м.

ctg a = 0,25; a = 76°.

Упражнение 5

0,5 м/с2.

Юм.

200 км.

30 км.

i>0 = JbRg, a = 64°.

2 2 . v cos a 25 м/с2.

25 м/с; 0,71 м/с2.

8,9 м/с2.

-0,1л рад/с2.

v2 = 150 м/с, ах = 10 м/с2, ап = 22 500 м/с2, а«22 500 м/с2.

0,5 с.

5 с.

Упражнение 6

30 км/ч.

20 с.

2,5 м/с.

4 м/с.

62 км/ч.

1,5 мин.

а) 144 км/ч; б) 0; в) 102 км/ч под углом 45° к горизонту.

Эскалатор движется вниз; 150.

35 суток.

25 м; сопряженные отрезки парабол с вершинами в начале и конце движения.

187,5 м вверх по течению или 62,5 м вниз по течению.

2°54' относительно указанной прямой.

13,4 м/с под углом 63° к линии МО.

(1>2 -

14 И = 7

16.

1. Упражнение 7

V.

х

Ускоренное; в конце четвертой секунды.

См. рисунок 4.

6. 2,6 Н, вниз; 0; 0,9 Н, вверх.

7.14 Н, под углом 45° к радиусу окружности, о

7 м/с2; 17 Н; 9 Н.

0,5mg; mg.

f, с

ЗН.? mv

при v = const. График

10. График 1 выражает зависимость F = 2. 2 — зависимость F = mcoV при со = const.

Т = mgcos а - ma2Rsin а; Р = m^sin а + moi2Rcos а.

Подвесить кофемолку на нити и включить мотор. В соответствии с третьим законом Ньютона она будет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения ротора двигателя.

g

Уравнение движения имеет два решения: = 0 и а2 = arccos —g- ,

со I

где со = 2JIV. Во втором случае имеют место оба решения: ctj = 0 (при этом шарик находится в состоянии неустойчивого равновесия) и а2 = 60°. В первом случае имеет место только решение ах = 0.

Упражнение 8

1. Тело следует расположить на линии, соединяющей центры Луны и Земли, в точке, отстоящей на 6 земных радиусов от центра Луны.

Sh

= 65 км.

Л = ІЦ 1 -

~ 1,7 м/с2.

= 2,5 м/с2. ЗЯ 2

LR0 + З Н

2п,

1 +

5. Т = 2к

g k j "I- k2

7. a) k = k, + k2; б) k ¦¦ 8. al = e 0(03m. л

9. n > ~ 0,16 с" .

2тіЧ R = 0,4 M.

1 -

і 2Acos В _ Л

t = -г- ~r~ іут=1,9с.

V^sin a sin(a - P)

p / mg - fsin a2

0,77 м/с2.

tg a ~ 0,10.

a = — I cos a2 - -————— cos a.

21

mg - .Fsin ax

I

0,83 c; \i

12. t2 = tj

^fjcos a

^tjsin a - I 8. F = a(mx + m2) + 2m2\ig ~ 24,5 H.

mg

\img

mgsin а до угла a0 = arctg |х, а потом ^тр ц/n^cos а (см. рис. 5).

T = і (mt - m2)g.

Упражнение 9

7 м/с2 и 1 м/с2.

103 H.

бїс

T = ; Т = 160 мин.

VpG

71 = mn2/ = 72 Н.

ц + tg a „ , . 1 - ntg a И & a = 1 тело ни

при каких значениях ускорения не будет подниматься. 6. Т = m(gsin а + acos a); Р = m(gcos a - asin a) при gcos a > asin a, иначе P = 0.

Упражнение 10

200 H.

200 H.

Скорость тележки не изменяется.

0,75 м/с.

u =

Z

217 м/с.

m + M ' 4a.

Am = M.

Конечная скорость лодок в первом случае будет больше. Mv + m{v + и) М + m

Mv + m(v - и) M + m

10. Uj =

ti

ll v= 4Я' =

g2l2t2 | (2H-gt2)2

41

4 H" 12.

+ m 2

тл

13. Клин движется влево при

ТПч

< sin a - |icos а. Клин движется m.

вправо при — < sin a + jicos a.

m

m,

При равновесии sin a - (icos a < — < sin a + ncos a.

m<і

14. С такой же скоростью v .

I 2 2

15.p = MmyV,) + (m2v2) + 2m1m2v1v2cos a. 16.V- P^

k '

17. F = m

^ 2 V

g+T Упражнение 11

При соударении на шарик со стороны стенки действует сила, на

правленная все время в одну сторону. Поэтому импульс шарика меняется. Перемещение шарика в процессе соударения сначала происходит в сторону, противоположную направлению силы F, действующей со стороны стенки, а затем по направлению F. Поэтому работа силы F равна нулю и кинетическая энергия не меняется.

15 Дж.

9,8 кВт. N

pgH\\

4- Qv= ^tljz = 103 м3/с.

2 v0

Ь.Н=-г~ = 61,25 м.

g

AT = 6mg.

14 mg-, 4 mg.

1300 кДж.

H(l-u.ctga) _

s = . При (x > tg а санки останутся на месте.

А = ^ mgl = 1,2 Дж.

Давление воды у дна стакана больше, чем у поверхности. Поэтому кинетическая энергия воды, втекающей в сосуд, открытый у дна, больше, чем кинетическая энергия воды, втекающей в сосуд у поверхности. Следовательно, в конечном счете вода больше нагреется во втором случае, чем в первом.

2 2 m, V

иь 1 и

12-Ek = ^ ~ Ч - 17,68 Дж.

2(т, + т2)

И..-Ї

. . mMv 14.

2 (тга + М)"

Время падения больше времени подъема.

v= Jgl.

2 mgh.

20.s=(M"^)V ~ 300 M.

2M N 21.3 250 000 H.

22. A

ptfV

Изменение импульса тела равно импульсу приложенной к нему силы. Так как силы, действующие на камень и Землю, равны по модулю и действуют одинаковое время, то равны и изменения импульсов этих тел.

Изменение кинетической энергии тела равно работе, которая зависят от силы и от перемещения.

В движущейся системе отсчета сила реакции плоскости не перпендикулярна скорости кубика. Она и совершает работу, уменьшающую энергию кубика.

h = 5 R, Н = ^R.

о 1о

v = л/2|igl, АЕ = ^ (и0 + J^Lgl)2 .

Упражнение 12

96 об/мин.

а) 465 м/с; б) 233 м/с.

2,83 м/с под углом 45° к горизонтальному диаметру.

. 2 usin а

со = —т— .

Л

« R~ г

у„ = v.

в г

vB = 2со (R + г) = 1 м/с. Упражнение 13

1. Вначале тележка будет совершать колебательное движение относительно положения центра масс системы, так как жидкость в сосуде будет некоторое время колебаться. Когда колебания затухнут, то тележка окажется смещенной влево, так как положение центра масс не должно измениться. Если массой жидкости в трубке мож- но пренебречь по сравнению с массой жидкости в сосуде, то сме-щение тележки будет равно расстоянию от оси левого сосуда до крана.

Центр масс будет двигаться поступательно вправо, а грузы будут совершать колебания относительно центра масс.

Центр масс пластинки будет двигаться по параболе как материальная точка, брошенная горизонтально, а пластинка будет вращаться вокруг этого центра масс.

т

(а - Ъ). систем

. Центр обруча будет описывать окружность радиусом I.

x Л1Г , М + т

Центр масс системы находится от центра обруча на расстоянии mR

I =

М + т . Цент-

MR

Жук будет двигаться по окружности радиусом L = ^ ^ рами обеих окружностей является центр масс системы. Lm

LM

. К

7. Z =

т т + М ' м т + М'

вниз.

fml ~~ т2\ 2 8. а„ = g и направлено

с \ту + т

9. v = 2 A/ggZ.

'min 'О Ъ ' 'max ~ V 11. 4% MRm

2 '

F =

{т + М)Т

См. рисунок 6.

Рис. 6

Упражнение 14

2 • , 1 2. а = g ?sin а; / = g mgsin а.

tOj =

J -

2тИ^ + 771

CO.

m

m(g -

22,5 кг • м2.

(mP - m,)g

5. a ~ - -— = 1,7 м/с2.

m

m j + m2 + "2 Упражнение 15

1. 120°.

-R '

з j? =тш. F

і 4>-г2 2'

З кг.

iV2 = mg; NX = T = 0,5mg ctg a. 7. tg a = і .

-Fmin = -p , перпендикулярно линии BD.

>J 2

Левая.

10- umi„ = ~ 12 м/с; ctg a = jx, a = 68°. L-l+^ft-l m2\2

5,5 м/с.

12- "omin > |2^sin « 14. = 0,2.

13.Цт1п =

min i?sin a

\ymg h + v2'

F— mg = 100 H.

tga = n; ^min = 16. Fmin = 2 mg> перпендикулярно стержню BD.

ft2

17.x =

d + 2h' r2R

2 (Л2

18. Центр тяжести находится на расстоянии

ска.

19. a > ^g.

Упражнение 16

1,9 • 103H.

3,6 • 105 Па.

4 • 107 Па; 2 • 10" Па. 18. 200 Н.

5 Дж.

4 км.

49 т.

83 мм2.

В точке приложения силы напряжение равно pal, а потом оно убы

вает линейно вдоль стержня до нуля.

Л-Г,- mgc0s2« ~ 20 Н; F,- mg з -80 Н.

1 + 2cos а 1 + 2cos а

В цилиндрическом сосуде дно отпадет во всех трех случаях. В сосуде, суживающемся кверху, дно отпадет только при наливании масла. В сосуде, расширяющемся кверху, дно отпадет при наливании ртути, а также под действием гири.

20 кВт.

Половина объема кубика.

750 кг/м3.

V = V0{l - « 3,3 • Ю-4 м».

nd2Ah РвРц ^ _ _

т = — ~ 2,5 кг.

4 Рц-Рв

pcwpo-pj-^vpo-p»)} со

т„ = 77 г ~ 53 кг.

2(Рв~РмХРс-Ро)

F = ^ = 104 Н.

Навстречу втекающему потоку воды.

0,84 см2.

8 Fd4

v = я—j 2-

VrepZ) (D - d )

В направлении ускорения.

4,5 м/с.

h = = 1520 мм.

g-a

F = 2рghS.

v = 72gh ~ 4,4 м/с.