§ 3.6. СИЛА ТЯЖЕСТИ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Расскажем теперь более подробно о силе притяжения тел Землей и о том, как была «взвешена» сама Земля.

Сила тяжести

Частным, но крайне важным для нас видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле.

FT = G тМ „, (3.6.1)

(R + h)

где т — масса тела, М — масса Земли, Я — радиус Земли, h — высота тела над поверхностью Земли. Сила тяжести направлена вертикально вниз, к центру Земли.

Сила тяжести сообщает телу ускорение, называемое ускорением свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона

(3.6.2)

С учетом выражения (3.6.1) для модуля ускорения свободного падения будем иметь

Sh = G М (3.6.3)

(R + h)

На поверхности Земли (h = 0) модуль ускорения свободного падения равен

g = G-2, (3.6.4)

R

а сила тяжести равна

FT = mg. (3.6.5)

Модуль ускорения свободного падения, входящего в формулы (3.6.4) и (3.6.5), равен приближенно 9,8 м/с2.

Ускорение свободного падения

Из формулы (3.6.3) видно, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Оно уменьшается при подъеме тела над поверхностью Земли: ускорение свободного падения обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли.

Однако если высота h тела над поверхностью Земли не превышает 100 км, то при расчетах, допускающих погрешность ~ 1,5%, этой высотой можно пренебречь по сравнению с радиусом Земли (R = 6370 км). Ускорение свободного падения на высотах до 100 км можно считать постоянным и равным 9,8 м/с2.

И все же у поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково. Оно зависит от географической широты: больше на полюсах Земли, чем на экваторе. Дело в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 км.

Другой, более существенной причиной зависимости ускорения свободного падения от географической широты является вращение Земли.

Такой системой является, например, гелиоцентрическая система. Систему же отсчета, связанную с Землей, строго говоря, нельзя считать инерциальной. Земля вращается вокруг своей оси и движется по замкнутой орбите вокруг Солнца.

Вращение Земли и сплюснутость ее у полюсов приводит к тому, что ускорение свободного падения относительно геоцентрической системы отсчета на разных широтах различно: на полюсах ga0JJ ~ 9,83 м/с2, на экваторе gaKB ~ 9,78 м/с2, на широте 45° g = 9,81 м/с2. Впрочем, в наших расчетах мы будем считать ускорение свободного падения приближенно равным 9,8 м/с2.

Из-за вращения Земли вокруг своей оси ускорение свободного падения во всех местах, кроме экватора и полюсов, не направлено точно к центру Земли.

Кроме того, ускорение свободного падения зависит от плотности пород, залегающих в недрах Земли. В районах, где залегают породы, плотность которых больше средней плотности Земли (например, железная руда), g больше. А там, где имеются залежи нефти, g меньше. Этим пользуются геологи при поиске полезных ископаемых.

Масса Земли

Без «земных» опытов по определению гравитационной постоянной G мы никакими астрономическими способами не смогли бы определить массу Земли и других планет.

Определив опытным путем ускорение свободного падения, можно, пользуясь выражением (3.6.4), вычислить массу Земли:

М=Щ-. (3.6.6)

Подставив в эту формулу R ~ 6,4 • 106 м, g ~ 9,8 м/с2 и G = 6,67 • Ю-11 Н • м2/кг2, получим

М ~ 6,0 • 1024 кг.

Центр тяжести

Сила тяжести действует на все тела. Но к какой точке тела приложена эта сила, если тело нельзя считать материальной точкой?

Возьмем тело произвольной формы, например кусок фанеры. Проколем в нем несколько отверстий: в точках А, В, D (рис. 3.9, а). Подвесим этот кусок фанеры на спице, пропущенной через^этверстие в точке А. На кусок фанеры действуют сила тяжести FT и сила со стороны опоры (спицы) — сила реакции опоры N.

FT + N = 0, (3.6.7)

так как ускорение тела равно нулю.

Из выражения (3.6.7) следует, что

FT = -N,

т. е. сила тяжести FT и сила реакции опоры N направлены про-тивоположно, и линии их действия лежат на одной прямой. Эта прямая вертикальна и проходит через точку А (прямая АК), так как сила реакции спицы N приложена к куску фанеры в точке подвеса, т. е. в точке А. Следовательно, точка приложения силы тяжести (начало вектора силы тяжести), действующей на кусок фанеры, лежит на прямой АК.

Теперь подвесим этот же кусок фанеры в точке В (рис. 3.9,6). Аналогичными рассуждениями мы придем к выводу, что точка приложения силы тяжести лежит на прямой BL. Но раз точка N

N

N

б)

Рис. 3.9

. К

I

\L

К

приложения силы тяжести лежит и на прямой BL, и на прямой АК, то она должна совпасть с точкой С их пересечения. Подвесив кусок фанеры в точке D (рис. 3.9, в) и проведя через нее вертикаль, убедимся, что она тоже проходит через точку С. Таким образом, при любом положении тела в пространстве точкой приложения силы тяжести, действующей на тело, является одна и та же точка. Эта точка называется центром тяжести тела.

Центром тяжести тела называется точка приложения силы тяжести, действующей на тело, при любом его положении в пространстве.

Надо хорошо понимать, что сила тяжести действует на все частицы, из которых состоит тело. Но если положение центра тяжести известно, то мы можем «забыть» о том, что на все части тела действуют силы тяжести, и считать, что есть только одна сила, приложенная в центре тяжести.

Руководствуясь соображениями симметрии, можно указать положение центра тяжести однородных тел простой формы (рис. 3.10):

диск и шар — в центре;

225

8-Мякишев, 10 кл.

пластинка в форме параллелограмма и брус в форме параллелепипеда — в точке пересечения их диагоналей; цилиндр — на середине его оси.? Сила притяжения тел к Земле — сила тяжести — одно из проявлений силы всемирного тяготения. Эта сила приложена в точке, называемой центром тяжести тела.

? 1. Где больше ускорение свободного падения: в Москве или в Санкт-Петербурге?

Известно, что Луна притягивается к Земле с силой F = 2 • 1020 Н. Вычислите массу Луны.

Может ли центр тяжести находиться вне тела?

Где находится центр тяжести однородной пластинки треугольной формы?

Вырежьте из картона несколько пластинок произвольной формы и опытным путем найдите их центр тяжести.