§ 1.7. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМДВИЖЕНИИ. МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ

Ни одно тело не движется все время с постоянной скоростью. Трогаясь с места, автомобиль начинает двигаться все быстрее и быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но рано или поздно замедляет движение и останавливается.

Что же надо понимать под скоростью, если тело движется неравномерно?

Средняя скорость

Введем понятие средней скорости неравномерного движения за интервал времени At.

Средней (по времени) скоростью неравномерного движения точки называется отношение изменения ее координаты Ах к интервалу времени At, в течение которого это изменение произошло:

По форме определение средней скорости неравномерного движения не отличается от определения скорости равномерного движения. Но содержание его будет иным . Теперь отноше- V, м/с

10 8 6 4 2 В А 1 / / / 1 0 5 10 15 Рис. 1.14

20 t, с

2 мин от 2-й

До

Ах „

ние — уже не постоянно. Оно зависит как от значения интервала времени At = t2 - tv так и от выбора начального момента времени tv Например, соглас-но таблице 1 (см. с. 34), средняя ско-рость автомобиля на интервале времени от 2-й до 4-й минуты равна

2130 м- 1050 м ,

540 м/мин, на интер-

3-й минуты равна

вале 1840 м - 1050 м = 290 м/мин.

2130 м - 1840 м

ты мы получаем значение

2 мин

Средняя скорость характеризует движение в течение интервала времени At именно в среднем и ничего не говорит о том, как же движется автомобиль в различные моменты времени этого интервала.

"Другой пример. На рисунке 1.14 показан график скорости спринтера при забеге на 200 м. Проанализируем этот забег. Будем считать беговую дорожку прямолинейной. С точки зрения результата нас, конечно, интересует время забега (Ai = 20 с), и поэтому бег спортсмена можно характеризовать средней скоро-стью.

Ах = 200 м. Тогда vx = ^ = ^о ™ = М/С- споРтсмена и

его тренера интересуют и детали забега: сколько времени длился разбег, какую скорость развил спортсмен в конце разбега (точка В на графике). Ведь этим и будет определяться время забега. Но скорость спортсмена, соответствующая точке В графика, это уже не средняя скорость, а скорость спортсмена в момент времени t = 4 с.

Мгновенная скорость

Мгновенную скорость естественно было бы определить как скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. На первый взгляд определение очень простое и понятное. Но так ли это? Как надо, например, понимать следующее утверждение: «Скорость автомобиля в момент начала торможения была 90 км/ч»? Перефразировка этого утверждения«В момент начала торможения автомобиль за 1 ч прошел 90 км » бессмысленна.

Утверждение это, видимо, понимать надо так: если бы начи-ная с указанного момента времени автомобиль не стал бы тор-мозить, а продолжал бы двигаться так же, т. е. с той же быстротой, то за 1 ч он прошел бы 90 км, за 0,5 ч — 45 км, за 1 мин — 1,5 км, за 1 с — 25 м и т. д.

Результат последнего рассуждения весьма важен, ибо показывает, как в принципе можно определить мгновенную скорость автомобиля в момент t начала торможения (или любого другого тела, движущегося прямолинейно и неравномерно). Надо измерить среднюю скорость автомобиля на интервале времени от t до t + At и согласиться, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени t приблизительно равна этой средней скорости. Приближение будет тем лучше и, следовательно, мгновенная скорость будет определена тем точнее, чем меньше промежуток времени At. Ведь надо, чтобы на этом промежутке скорость менялась незначительно, а лучше, чтобы этим изменением вообще можно было пренебречь. Последнее замечание заставляет нас брать величину At все меньше и меньше, не ставя ограничения этому уменьшению.

За очень малый промежуток времени от t до t + At координата тела изменится также на малую величину Ах. Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени t, надо малую величину Ах разделить на малую величину At и посмотреть, чему будет равно частное, если промежуток At неограниченно уменьшать, т. е. стремить к нулю. В математике говорят: «Найти

Ах . .

предел отношения при стремлении At к нулю» и записывают: vr = lim ^ , где знак lim означает «предел».

Af —> 0 А*

Поясним сказанное на примере, когда движение тела описывается аналитически (формулой). Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

Пусть при движении тела вдоль оси X его координата изменяется согласно уравнению

* = kt ,

где k — постоянный коэффициент .

Примем k = 5 м/с2 и вычислим изменения координаты тела за интервалы времени, равные 0,1, 0,01, 0,001 с ..., отсчитываемые, например, с момента времени tt = 1 с:

А*! = 5^ (1,1 с)2-5^ (1с)2 = 1,05 м,

с с

Дх2 = 5^ (1,01 с)2 - 5^ (1 с)2 = 0,1005 м,

с с

Найдем теперь отношения изменений координаты к тем промежуткам времени, за которые эти изменения произошли:

Д*1 1,05 м 1ft _ . А?7 ="0ДТ =10'5м/с'

а*2 0,1005 м 1ПЛС . Щ =-07ГПГ -10,06 м/с,

Еезультаты вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2 At, С Ax, M Ax , ~At ' C 0,1 1,05 10,5 0,01 0,1005 10,05 0,001 0,010005 10,005 0,0001 0,00100005 10,0005

Из таблицы видно, что по мере приближения интервала времени At к нулю отношение ~ приближается к определенному

значению (пределу), равному 10 м/с; это и есть скорость в мо-мент времени t1 = 1 с.

Если тело движется по закону х = kt2, то предел ^ при

At —> 0 {lim ^ ) нетрудно вычислить. В начальный момент

\U-»0 At S

времени t xl = kt2, а в момент t + At х2 = k(t + At)2, следовательно, Ах = х2 - xl = k(t + At)2 - kt2 = 2ktAt + k(At)2.

Тогда для отношения ~ получим:

— = 2kt + kAt.

At

Предел этого отношения при At —> 0 (мгновенная скорость) равен

= lim ~ = 2kt.

х At -> о At

Для данных нашего примера vx = 10 м/с.

Таким образом, для любого момента времени отношение изменения координаты тела к промежутку времени, за который это изменение произошло, стремится к определенному значению при стремлении самого промежутка времени к нулю.

Мгновенной скоростью при прямолинейном движении называется предел, к которому стремится отношение изменения координаты точки к интервалу времени, за которое это изменение произошло, если интервал времени стремится к нулю .

По определению имеем:

lim^. (1.7.1)

м ->0

т, Ах _ dx

В математике выражение lim — принято обозначать -=- .

ді —»о At dt

Тогда формулу (1.7.1) можно записать так:

... dx = dt ¦

Выражение ^ называется производной координаты по времени.

dx

Иногда производную обозначают иначе: vx(t) = = х' (читается «икс-штрих»).

Когда мы говорим, что скорость в данный момент времени равна 10 м/с, то это означает следующее: если бы начиная с этого момента тело продолжало двигаться равномерно целую секунду, то оно прошло бы 10 м. При равномерном движении средняя скорость за любой момент времени равна мгновенной.

В дальнейшем вы убедитесь, что именно мгновенная, а не средняя скорость играет в механике основную роль.

Как измерить мгновенную скорость І

Измерить мгновенную скорость, осуществив экспериментально предель-

Ах . . „ ныи переход при At —> О, практически невозможно. Используя стробоскопические фотографии (рис. 1.15), можно измерить координаты тела в очень близкие моменты времени и вычислить средние скорости между этими моментами. Но мгновенную скорость так определить нельзя.

Для измерения (разумеется, при-ближенного) используют различные явления, которые зависят от мгновен-ной скорости. Так, в спидометре авто-мобиля гибкий тросик передает вра-щение от ведомого вала коробки пере-дач к маленькому постоянному магниту. Вращение магнита возбуждает электрический ток в катушке, в ре-зультате чего происходит поворот стрелки спидометра.

Чтобы узнать скорость самолета, измеряют давление встречного потока воздуха. В радарах используют изменение частоты радиоволн при отражении от движущихся тел.

При неравномерном движении скорость изменяется. Некоторое представление о движении дает средняя скорость. Но главную роль играет скорость в любой точке в данный момент времени. Это — мгновенная скорость.

Ж

Рис. 1.15

Рисунок с фотографии двух падающих шариков различной массы. Фотографию получили, открывая объектив и чередуя вспышки света каждые 1/30 с. Заметьте, что маленький шарик достигает пола одновременно с большим. Оба шарика начинают падать одновременно.