Юридическая
консультация:
+7 499 9384202 - МСК
+7 812 4674402 - СПб
+8 800 3508413 - доб.560
 <<
>>

§1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.

Как показано выше, для аналитического исследования связи темпер ратурного напора перекрестного тока с профилями входных температур теплоносителей должна быть решена система уравнений (1.1)-(1.2) с

неоднородными граничными условиями (1,7).

Переходя к безразмерным

у _ X КН у U. КН

координатам Л ^ и I ^ V$r ' выделим из системы

(1.1)-(1.2) уравнение для температуры одного из теплоносителей, например, горячего:

дХдУ дХ дУ U а'8)

Подставляя второе из соотношений (1.7) в (I.I), получим уравнение для отыскания второго граничного условия для $(Х,У) :

дд

1х=0 1Х=0

Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.9) первого порядка легко получить известным методом вариации постоянных:

Slx^(o,Y) = C(Y)e'Y , где

сМ=]еЧЩ +Сс

Пользуясь условием 'Sjy^Q^'S'fX) " находим постоянную интегрирования С0 :

Итак:

tWqM+we* (i.io)

Y

где обозначено д (у) - е'УкЧ'($Щ

Теперь исходная задача (I.I), (1.2), (1.7) сведена к уравнению (1.8) с граничными условиями (1.7) и (1.10). Аналогичное уравнение и граничные условия могут быть сформулированы для температуры t(X,Y) холодного теплоносителя.

Решение будем искать методом интегрального преобразования Лапласа. Из (1.8) получим уравнение для лапласовского изображения

оо

функции i9(X,Y) :

о

Или, учитывая (1.7) и обозначая ^Ж) = ^(х) :

дд . s &(х)+д'(х) (I.ID

дХ $Н S+1

Кроме того, преобразуя по Лапласу (1.10), получим граничное условие для изображения

Решая уравнение (I.II) методом вариации постоянных относительно ^(X.S) , получим:

= c(x,s)e'SH

где = l^f+ftW

0

С помощью (I,12) находим

Таким образом:

Зная вид изображения i9(X,s) > определим его оригинал, т.е.

искомую температуру <$(Х,У) горячего теплоносителя.

Введем обозначения: Ту __ S'{0)n--Bf. м

Будем искать оригиналы jJ, У2 , У3 лапласовских изображений

^ > > ^з' ~ г \

Обращение . Запишем согласно /49/: "у г- J0 (2чХУ)

В силу свойств преобразования Лапласа

у

Следовательно: = 6^10(2Ш)

P's+I gbi QsHn-x

В нашем случае: "^77" S + У ~~ S+f (I.I4)

Отсюда получаем: ^ = ^ ^ ^ ?-' -

Обращение У3 . Запишем в виде:

_ х

Применяя основную формулу обратного преобразования Лапласа, за-

пишем:

i+loo X 0 6-ioo

Пользуясь снова соотношением (I.I4), находим:

Обращение o Заметим, что $х ж

SX р- s+{ р S+I Р~ SH - С Ь Л- к

с S+i

Обозначим Р(Х, Y) = в~Х~У10ШУ]

Согласно (I.I4): .

P(X,Y) = f;j =P(X,S) (i .is)

Но тогда, по правилу дифференцирования оригиналов:

2P№^sP-RlY"=s<0-e-* иле)

Согласно /49/: i = SYY)

- дельта-функция Дирака.

То есть 6~*== 6yS(Y). Пользуясь (I.I6), получим:

Ж

Из (I.I5), (I.I7) следует: sx ал "

Используя правила дифференцирования цилиндрических функций, най-

е"-=е-хт)

Применяя найденное соотношение, получим в итоге: jx у У

= Uztffi-у (у- +Se-*&(r- ?)дЩ = (гщ)?ег(ит^+е-хр) =

+e**Ie"t'(u)du = }е'х'%(2Щ)-П ч-ц)щ

- 22 -

Итак: ^ = Je-x-4o Щ^.уЩ

Получается следующая форлула, являющаяся решением задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами обеих сред:

Mm)+7г =те-у~%Ш)++

х 0 (Т ТРО

Применяя к последнему члену в формуле (I.I8) интегрирование по частям, можно представить решение также в виде:

Аналогично выглядит формула для температуры холодного теплоносителя: х

t(x,y) = Г(Юе~х+1е-у-110(щШх-рс/$ +

Рассмотрим теперь частные случаи полученного решения. Если один из теплоносителей, например, горячий, имеет на входе однородное поле температур, то есть $'(X)sconst , то из (1.18) ,(1.20) следует:

Форлула (I.2I) может быть приведена к более простому и удобному для дальнейших выкладок виду. Введем обозначение:

з=е-*-%№)+]е*%(ЩЩ

Докажем, что 0=1. Прежде всего видно, что Далее задаем, Что

- 1е-ч%(2Щ Ле'Щфщщ+е*%ш)

Первый и последний члены в полученном выражении сокращаются. Третий член интегрируем по частям:

Неопределенный интеграл в квадратных скобках преобразуем, используя разложение функции Бесселя в ряд Тэйлора:

Подставляя этот результат в (1.23), а затем в выражение для Щ- ,

oY

увидим, что все члены в этом выражении сокращаются.

Таким образом o Аналогично доказывается, что ЩQ = 0 .

Следовательно, в самом деле ?9 = const - {. В силу этого тождества

(1.24)

Поэтому формулу 11.21) можно переписать в виде:

Дальше можно рассмотреть еще более простой случай, соответствующий задаче Нуссельта: оба теплоносителя имеют на входе равномерные профили температур. В формуле (1.24) температуры выйдут из-под знака интеграла:

0<_ 9/у у)

Видим, что при введении безразмерной температуры 6Г = 0, ?-

тУ- Т

полученная формула полностью совпадает с формулой (1.5) Нуссель- та-Мэйсона.

Выведенные в данном параграфе ранее неизвестные соотношения (1.18)-(1.20), а также их частные случаи (1.22), (1.24) позволяют создать аналитические методики расчета температурного напора для различных типов перекрестноточных теплообменников: с Си Z-перекрестом, общим прямотоком и противотоком теплоносителей, наличием или отсутствием межходового перемешивания теплоносителей, и с другими особенностями. Некоторые из этих методик, имеющие наибольшее значение для расчета и анализа работы ТВП, описаны в следующей главе.

<< | >>
Источник: Ямпольский Аркадий Ефимович. Повышение тепловой эффективности и коррозионной стойкости котельных воздухоподогревателей: Дис. ... канд. технических наук : 05.14.05. - М.: РГБ, 2007. 2007

Еще по теме §1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.:

  1. ПРОБЛЕМЫ И БУТИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ВОЗДУХОПОДОГРЕВАТЕЛЕЙ.
  2. §1.1. Состояние вопроса.
  3. §1.2. Решение задачи о перекрестном токе с неравномерными входными температурами.
  4. § 4.2. Методика проектирования каскадных ТВП.
  5. ГЛАВА 5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИИ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТВП И ИХ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ.
  6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.