§ 7.4. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
Теорема о движении центра масс формулируется сле-дующим образом: центр масс твердого тела движется так же, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе тела, под действием внешних сил, приложенных к данному телу.
Уравнение движения і-го элемента тела массой Amt запишется так:
(7.4.1)
Fik — сумма внутренних сил
Здесь Ft — внешняя сила, а действующих на і-й элемент тела со стороны всех других эле-ментов.
Запишем аналогичные уравнения для всех элементов^ и сложим их почленно.
По третьему закону Ньютона Fik = —Fkl. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю, так как в этой сумме будут встречаться только пары сил Fik + Fkl = 0 при различных значениях і и k.Следовательно, после сложения уравнений получим:
Поменяв знак суммирования ) и приращения А местами, бу-
і
дем иметь:
Но Amivi = mvc (см. § 7.3), поэтому
(7.4.2) Теорема доказана. Зная внешние силы Ft и массу тела, мы можем определить, как движется центр масс. Но, конечно, не можем сказать, как движутся остальные точки тела.
Поступательное движение твердого тела
При поступательном движении все точки твердого тела движутся одинаково. Следовательно, зная движение центра масс, мы тем самым знаем, как движется все тело. Таким образом мы доказали возможность замены твердого тела материальной точкой при рассмотрении его поступательного движения.
Следствие теоремы о движении центра масс
Из теоремы о движении центра масс вытекает одно очень важное следствие.
Если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно.
Действительно, если = 0» то согласно (7.4.2)
і
Л»с
—- = О И У = const.
At с
Если в начальный момент vc = 0, то и в даль- л
нейшем центр масс будет оставаться в покое. j
Так, например, Мюнхгаузен, герой известной [AJ
книги «Приключения барона Мюнхгаузена», в действительности не мог бы вытянуть себя из болота за косу (рис.
7.19). Сила, действующая со стороны руки, является внутренней и не в со-стоянии поднять центр масс барона.По тем же причинам неосуществим полет на Луну по проекту французского поэта Сирано де Бержерака. Бержерак предлагал периодически подбрасывать с железной тележки большой магнит. Магнит должен был якобы с каждым разом подтягивать тележку немного вверх.
Иное дело ракета. При старте ракеты в космическом прост-ранстве центр масс системы ракета — выхлопные газы будет оставаться на месте. Ракета летит в одну сторону, а отработанные газы в противоположную.
Несколько сложнее обстоит дело при старте ракеты с поверхности Земли. В этом случае остается неизменной в инерциальной (гелиоцентрической) системе отсчета скорость центра масс ракеты, Земли и газов (рис. 7.20). Ведь при старте огненная струя из сопла ракеты ударяет в Землю и слегка смещает ее на орбите. Именно из-за этого малого смещения Земли скорость центра масс системы ракета — Земля не меняется при выходе ракеты в космос.
Из теоремы о движении центра масс следует, что внутренние силы не в состоянии изменить скорость центра масс. Это могут сделать только внешние силы, если их векторная сумма не равна нулю.
Еще по теме § 7.4. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС:
- 4. Развитие движения свадеши и участие в нём масс
- Теорема 35 Если тело В приводится в движение внешним толчком, то оно получает большую часть своего движения от постоянно окружающих его тел, а не от внешней силы.
- § 7.3. ЦЕНТР МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА. ИМПУЛЬС ТВЕРДОГО ТЕЛА
- Теорема 18 Если тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В, несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество движения, какое оно имело раньше.
- Теорема 17 Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от центра круга, который оно описывает.
- Теорема 28. Четвертое правило. Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость, никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в противоположном направлении и удержит при этом свое движение неизменным.
- Теорема 12 Бог есть главная причина (causa principalis) движения.
- Теорема 39. Что способствует сохранению того способа движения и покоя, какой имеют части человеческого тела по отношению друг к другу, то хорошо; и наоборот — дурно то, что заставляет части человеческого тела принимать иной способ движения и покоя относительно друг друга.
- Теорема 16 Всякое тело, движущееся по кругу, как, например, камень в праще, постоянно определяется к движению в направлении касательной.
- Теорема 13 То количество движения и покоя, которое бог однажды сообщил материи, и теперь еще сохраняется его содействием.
- Теорема 22 Если тело А равно телу В и движется вдвое скорее В, сила или движение в А будет вдвое больше, чем в В.
- Теорема 2 Сила, которая вызвала вращение частиц материи вокруг их собственных центров, вызвала также стирание углов отдельных частиц при их взаимном столкновении.
- Теорема 20 Если тело А встречает тело В и увлекает его за собой, то А потеряет столько движения, сколько В при этой встрече получит от А.
- Центр в Традиции и центр в политике
- Теорема 19 Движение, рассматриваемое само по себе, отлично от своего определения следовать в том или другом направлении к определенному месту, и вовсе не необходимо, чтобы тело, движущееся или отталкиваемое в противоположную сторону, некоторое время покоилось.
- Движение как способ существования материи. Формы и виды движения.